基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念教學(xué)*
——以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例

趙天璽

(安徽省界首第一中學(xué)，236500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》)指出“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),概念是思維的細(xì)胞,概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.下面，將北師大版“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)如下,懇請(qǐng)同行斧正.

一、創(chuàng)設(shè)情境,引入概念

情境1生活圖片展示

播放PPT讓學(xué)生欣賞鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡、噴泉、煙花等圖片.

設(shè)計(jì)意圖概念教學(xué)要講究背景.本情境通過(guò)身邊生活實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生了解拋物線幾何圖形的背景,產(chǎn)生拋物線的直觀感受.

情境2探究思考

問題1平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)的圖象是拋物線.旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)的圖象,旋轉(zhuǎn)后的拋物線還是二次函數(shù)圖象嗎?拋物線的本質(zhì)究竟是什么?

設(shè)計(jì)意圖概念教學(xué)要講必要性.將二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)后得出的拋物線不一定是二次函數(shù)的圖象.什么才是拋物線的本質(zhì)？問題的提出引發(fā)了學(xué)生探索拋物線概念的渴望.

情境3數(shù)學(xué)抽象

兔子逃跑問題如圖1,一只貪吃的兔子為了吃到更肥美的青草,冒險(xiǎn)來(lái)到這片危機(jī)四伏的草原,不過(guò)好在這里也有避險(xiǎn)的地方：一個(gè)是左前方的洞穴,一個(gè)是右邊的樹林.當(dāng)危險(xiǎn)發(fā)生時(shí),兔子選擇什么樣的逃跑路線才能以最快的速度抵達(dá)安全地帶?本著就近避險(xiǎn)的原則,請(qǐng)?jiān)诓莸厣献饕粋€(gè)邊界,使得位于邊界一側(cè)的點(diǎn)到樹林避險(xiǎn),位于另一側(cè)的點(diǎn)到洞穴避險(xiǎn).

師:這個(gè)邊界上的點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件?

生:到洞穴和樹林的距離相等.

師:如果把地面看作一個(gè)平面,樹林的邊界和洞穴可以分別看作什么?這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問題?

生:一條直線和一個(gè)點(diǎn).問題可以轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)找到定點(diǎn)距離和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡.

師:很棒！要補(bǔ)充說(shuō)明一下,這個(gè)定點(diǎn)是在直線外.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察身邊生活,發(fā)現(xiàn)問題.“兔子逃跑問題”來(lái)源于動(dòng)畫片,有很強(qiáng)的趣味性,更重要的是它使拋物線概念的生成更加自然,同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

二、操作探究,構(gòu)建概念

師:我們把上述這條定直線叫做l，定點(diǎn)叫做F,請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞寮埳显囍页鲆恍M足條件的點(diǎn),看看點(diǎn)的軌跡大致是什么形狀.

(幾分鐘后)

生:很難找.除了F到l垂線段中點(diǎn)外,其他的點(diǎn)只能目測(cè),很難準(zhǔn)確地畫出來(lái),軌跡大致是一條曲線.

師:為了準(zhǔn)確地畫出這個(gè)軌跡,請(qǐng)拿出我給大家準(zhǔn)備的工具(畫板、直尺、三角板等)，把直尺固定在畫板上當(dāng)作直線l,把三角板的一條直角邊緊靠在直尺的邊緣,把細(xì)繩(長(zhǎng)度與另一直角邊相等)的一端固定在頂點(diǎn)A處,另一端固定在畫板上釘子(點(diǎn)F)處，用鉛筆尖(點(diǎn)M)扣緊繩子,靠住三角板如圖2,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生:點(diǎn)M到點(diǎn)F和直線l的距離相等,M在軌跡上.

師:很好！請(qǐng)同學(xué)們將三角板沿著直尺上下滑動(dòng),筆尖在畫板上描出軌跡的一段.

(學(xué)生四人一組,合作操作)

師:當(dāng)三角板下滑到釘子處,下移不動(dòng)了,怎么辦?

生:把三角板往下翻轉(zhuǎn),就可以畫出下面一段軌跡.

師:真聰明.根據(jù)操作過(guò)程,軌跡上半部分和下半部分有什么關(guān)系?

生:關(guān)于過(guò)點(diǎn)F和l垂直的直線對(duì)稱.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)合作操作培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作意識(shí),在活動(dòng)探究中發(fā)現(xiàn)軌跡的軸對(duì)稱特征,讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅.

師:很好！同學(xué)們畫出的軌跡是什么形狀?

生:一條向右彎曲的曲線.

師:為了清晰完整地展現(xiàn)軌跡形狀,我們用GeoGebra動(dòng)畫展示作圖過(guò)程,如圖3.

設(shè)計(jì)意圖動(dòng)態(tài)演示讓學(xué)生對(duì)軌跡有更加直觀、精準(zhǔn)的認(rèn)識(shí),為概念的抽象做好充分的準(zhǔn)備.

師:如果將軌跡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,像什么曲線?

生:開口向下的拋物線.

師:很好！其實(shí)軌跡就是一條開口向右的拋物線.根據(jù)拋物線的畫法,請(qǐng)同學(xué)們給拋物線下個(gè)定義.

生:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線.

師:運(yùn)用集合語(yǔ)言，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡還可以表示為{M||MF|=d1},d1是M到定直線l的距離，定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.

設(shè)計(jì)意圖概念教學(xué)要注重生成過(guò)程.通過(guò)學(xué)生合作操作畫拋物線,發(fā)現(xiàn)其幾何特征,抽象概括出拋物線的定義,并用文字語(yǔ)言和集合語(yǔ)言予以表征,提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

思考1如果直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,那么平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l距離相等的點(diǎn)的集合還是拋物線嗎?

生:不是,是過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線.

師:很對(duì)！因?yàn)閘過(guò)F時(shí),其軌跡不是拋物線,所以定義中一定不能忽略“l(fā)不過(guò)點(diǎn)F”這個(gè)條件.

設(shè)計(jì)意圖思考1的目的是進(jìn)一步深化對(duì)概念的理解,完善概念.

思考2觀察圖4,你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述嗎?

生:過(guò)定點(diǎn)和定直線相切的動(dòng)圓圓心軌跡是拋物線.

設(shè)計(jì)意圖思考2是在定義生成之后,第一次用拋物線的概念解決問題,目的是再一次在學(xué)生腦海中生成集合{M||MF|=d1}的曲線特征,提升直觀想象素養(yǎng).

三、選軸建系,求得方程

問題2根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的構(gòu)建過(guò)程,求曲線方程的一般步驟是什么?如何求拋物線方程?

生:1.建系；2.設(shè)點(diǎn)；3.列式；4.化簡(jiǎn)；5.證明(可省略).

師:類比橢圓,如何建立坐標(biāo)系才能使所得到的拋物線的方程更簡(jiǎn)單?由于焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為定值,不妨設(shè)為p(p>0),亦即KF=p(K為垂足).

生:以曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系求得的曲線方程簡(jiǎn)單.因?yàn)閽佄锞€關(guān)于KF對(duì)稱,所以直線KF可以作為x軸.

師:不錯(cuò),關(guān)鍵是y軸怎樣確定,即坐標(biāo)原點(diǎn)O怎樣確定？

經(jīng)過(guò)討論,學(xué)生有代表性的建系方案共三種(方案1、方案2、方案3分別對(duì)應(yīng)圖5、圖6、圖7),學(xué)生分成三組分別求曲線方程.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷建系求曲線方程的過(guò)程,用代數(shù)語(yǔ)言描述拋物線,提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).教材只給出了一種建系方式,但學(xué)生在建系時(shí)可能不只一種.三種建系方式都是自然合理的選擇,體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.

三組學(xué)生得到的拋物線方程分別為:y2=2px-p2(p>0);y2=2px(p>0);y2=2px+p2(p>0).教師用同屏軟件將得到的曲線方程投影到一體機(jī)大屏幕上.

設(shè)計(jì)意圖信息技術(shù)的應(yīng)用,使不同小組的學(xué)生能及時(shí)交流推導(dǎo)的結(jié)果,提升了課堂教學(xué)效率,也是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式的一種改進(jìn).

師:上述結(jié)果是否都對(duì)?為什么?你認(rèn)為哪個(gè)最好?

生:都對(duì),因?yàn)榻⒌淖鴺?biāo)系不同導(dǎo)致的方程不同,第二個(gè)方程最簡(jiǎn)單,最好.

師:方案2求得的拋物線方程y2=2px(p>0)比較簡(jiǎn)潔,我們把它叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖概念教學(xué)要講合理性.讓學(xué)生在比較中體會(huì)哪種建系方法得到的方程簡(jiǎn)單,理解y2=2px(p>0)作為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的原因,讓學(xué)生知其然并知其所以然.

設(shè)計(jì)意圖分析標(biāo)準(zhǔn)方程的要素和形式,加深對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和記憶.

問題3類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中不同的參數(shù)對(duì)應(yīng)不同形狀的橢圓,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)中只有一個(gè)參數(shù)p,它是如何影響拋物線形狀的?

師生交流,最后教師用GeoGebra使p的值從大變小,得到不同形狀的拋物線,其開口也從大變小,p=0時(shí)軌跡是一條直線,不再是拋物線,如圖8.

設(shè)計(jì)意圖利用信息技術(shù)了解參數(shù)p對(duì)拋物線的影響,加深了對(duì)解參數(shù)p本質(zhì)的認(rèn)識(shí),深化對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.

四、思考交流,深化提升

請(qǐng)同學(xué)們思考交流后，填寫下表(如圖9).

問題4在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),由于焦點(diǎn)的位置不同,我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程那么,對(duì)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,除了開口向右的還有哪些不同的形式?請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考交流.

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步掌握拋物線的另外三種標(biāo)準(zhǔn)方程,培養(yǎng)類比推理和知識(shí)遷移的能力,提升邏輯推理素養(yǎng).

五、例題解析,鞏固概念(略)

六、課堂小結(jié)積累經(jīng)驗(yàn)(略)