錯 中 悟 道
——一道不等式例題的教學感悟

江中偉

(廣東省梅州市虎山中學，514299)

一、問題提出

這是筆者近期高一隨堂聽課時一位年輕教師所采用的一道例題. 在學生思考片刻后,教師讓學生A在黑板上書寫他的如下解答過程.

最后教師強調(diào):若多次利用基本不等式求最值時,必須保證每一次取得等號的條件要一致,否則就會出錯.

教師點到為止, 然后進行第二題的講評.筆者認為此時教師應該趁熱打鐵,引導學生進行一題多解和多題一解的探究,培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

二、解法探究

為方便表述，把剛才上面的正解解法記為解法1.教師可以引導學生觀察題設中的x和y的關(guān)系,y可以看作是x的函數(shù),從而得到：

教師引導學生聯(lián)想初中學過的因式分解公式ab+a+b+1=(a+1)(b+1),從而得到：

教師繼續(xù)引導學生:能否引進一個參數(shù)t,消去變量x,代入題設條件，得到一個含有參數(shù)t關(guān)于變量y的一元二次方程,從而得到：

解法4由已知得xy-9x-4y=0.令x+3y=t,得x=t-3y,代入上式得到方程

3y2-(t+23)y+9t=0

這樣,教師引導學生從不同角度、多種方法解答問題,既幫助學生鞏固了以前學過的知識和方法,又提高了學生的解題能力，培養(yǎng)了學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 另外，為了方便學生掌握這些解題方法,教師可以給解法1命名為“1”的妙用,解法2命名為“函數(shù)法”, 解法3命名為“整體處理法”,方法4命名為“判別式法”. 如模型:設實數(shù)x,y滿足方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,求mx+ny的最值(其中a,c>0,b,d,e,f,m,n∈R). 此類題型的通法是:可令mx+ny=k,與方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0聯(lián)立, 消去變量y(或x)后,得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程,利用一元二次方程有實根的必要條件(判別式大于或等于零). 這樣, 對于具體的問題，學生就能快速合理地選用恰當?shù)姆椒?

三、觸類旁通

教師還可以趁熱打鐵出示下列幾組練習題,以檢驗學生學習的效果(括號內(nèi)為答案).

7.(2010年高考重慶卷理科第7題)已知x>0,y>0,且x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值為(B)

核心素養(yǎng)是高中教育教學的靈魂,尤其是高中數(shù)學學科更是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的重要陣地. 因此，在高中數(shù)學課堂教學中，應充分體現(xiàn)學生的主體參與過程,不能是教師的一言堂.因為“告訴我,我會忘記;分析給我,我可能記住;如果讓我參與,我會真正理解” .通過一題多解和多題一解的訓練,激發(fā)了學生的探究興趣和參與意識,使得學生有了創(chuàng)新的沖動,化被動為主動參與、積極探究.