“導函數(shù)隱零點問題探究”微專題教學案例

周 輝

(江蘇省高淳高級中學，211300)

一、案例背景

在近年的高考壓軸題中,用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及不等式問題，成為命題趨勢.用導數(shù)解決函數(shù)綜合問題,最終都會歸結為對函數(shù)單調(diào)性的判斷,而函數(shù)的單調(diào)性又與導函數(shù)的零點有著密切的聯(lián)系.可以說，函數(shù)零點的求解或估算，是函數(shù)綜合問題的核心.函數(shù)的零點是高中數(shù)學中的一個極其重要的概念,經(jīng)常借助于方程、函數(shù)的圖象等加以解決.

二、課堂簡錄

師:導數(shù)是高中數(shù)學知識體系的重要組成部分,是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具.利用導數(shù)工具能解決一些什么問題?

生:切線、單調(diào)性、極值、最值.

師:求極值最值的一般步驟是怎樣的?

生:令f′(x)=0，解方程求得導函數(shù)的零點,判斷零點左右導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性,再求出原函數(shù)的極值最值.

師:我們來看一個最值問題.

例1求函數(shù)f(x)=x-elnx的最小值. (投影學生解答過程)

x(0,e)e(e,+∞) f '(x)-0+ f (x)減極小增

所以,f(x)min=f(e)=0.

設計意圖本題旨在復習回顧求極值最值的一般流程,感知導函數(shù)零點的作用,是導函數(shù)零點的研究起點,也為后續(xù)問題的研究提供方法準備.

師:我們再來看一個最值問題.

例2求函數(shù)f(x)=ex-e lnx的最小值.(投影學生解答過程)

x(0,1)1(1,+∞) f '(x)-0+ f (x)減極小增

所以,f(x)min=f(1)=e.

師:本題中導函數(shù)的零點是怎樣得到的?(引導學生先考慮存在性)

生:猜出來的.

師:很好,本題中方程f′(x)=0為超越方程,我們不會解,但可通過觀察,猜出其零點.那么一般我們都怎么猜?

生:含有ex的式子我們會取0、1、-1、ln 2，等等;含有l(wèi)nx的式子我們會取1、e、e2等等.這樣取值方便計算.

師:猜出一個零點,你覺得會有什么問題嗎?(引導學生先考慮唯一性)

生:可能還有其它零點我們看不出來.

師:是的,那怎么判定零點的個數(shù)?

生:對導數(shù)再求導,判斷導函數(shù)的單調(diào)性.

生:觀察零點,求導驗證.

設計意圖當f′(x)=0為超越方程時,我們不會求解,此時我們可以觀察導函數(shù),找出導函數(shù)的零點,為驗證零點的唯一性,對導函數(shù)再求導,判斷導函數(shù)的單調(diào)性,將本題的方法歸納為:觀察零點,求導驗證.通過設問，引導學生從存在性與唯一性兩個方面積極思考,并得到問題的解決方案.

例3函數(shù)f(x)=ex-lnx,求證:f(x)>2恒成立.

師:導函數(shù)的零點可求嗎?可猜嗎?

生:不可求也不可猜.

師:如何解決呢?(引導學生對零點存在性的探索)

生:先判斷有沒有零點.

x(0,x0)x0(x0,+∞) f '(x)-0+ f (x)減極小增

所以,f(x)min=f(x0)=ex0-lnx0.

設計意圖當f′(x)=0為超越方程不可解,也猜不出其零點,問題的解決又需要這個零點,引導學生先利用零點存在定理判斷零點的存在性,再由導函數(shù)的單調(diào)性驗證零點的唯一性,進而求得原函數(shù)的單調(diào)性與最值.

師:問題轉化為f(x0)=ex0-lnx0大于2,那么如何證明呢?

師:上述解答過程的兩個關鍵步驟是什么?

生:判斷零點的存在性,利用等式f′(x0)=0對目標回代化簡.

師:為什么要回代?如何回代?

生:回代化簡方便求解,化超越式為普通式.

設計意圖引導學生利用方程f′(x0)=0對目標式進行回代化簡,以方便求證所求目標.

設計意圖利用二分法縮小零點的存在區(qū)間進而縮小所求目標的范圍,當零點存在區(qū)間足夠小時,可得函數(shù)最值的近似值,體會二分法的思想.

課堂練習:

1.(2017年南京一模)設函數(shù)f(x)=(x-3)lnx,關于x的不等式2λ≥f(x)有解,求出整數(shù)λ的最小值.

解法略.

設計意圖通過課堂練習,鞏固本節(jié)課探究的解題方法,了解學生掌握情況.

課后探究:

三、案例反思

(1)高三數(shù)學一輪復習側重全面復習,夯實基礎,提升能力.高三數(shù)學二輪復習,以大專題為主,構建知識網(wǎng)絡,強調(diào)復習的廣度,跨度大、思維跳躍性強.為了突出重點,突破難點,提升解題能力,在一輪、二輪復習過程中,適當穿插一些微專題,選取高考中的重點難點,展開微專題的形式探究,精準突破學生學習中的難點,提高復習效率.微專題因指向性強、提升學生能力實效性高等特點,高三復習普遍采用.

(3)微專題“微”在精心預設.本微專題精心設計了三個例題,第一題導函數(shù)的零點存在可解,第二題導函數(shù)的零點存在難求解但可猜,第三題導函數(shù)的零點存在難求解也不可猜,問題的設計由易到難,層層推進,揭示問題的來龍去脈.問題的設計應做到目標明確，重點突出，刪繁就簡，直擊要害.同時精心預設課堂問題，引導學生思考,如，“導函數(shù)的零點可求嗎?可猜嗎?如何解決呢?”引導學生對零點存在性的探索.再如， “猜出一個零點,你覺得會有什么問題嗎?” 引導學生考慮零點的唯一性.

(4)微專題“微”在學生探究.微專題的教學重在學生探究,綜合運用小組合作、討論、探究、展示等多種組織形式,讓學生充分交流、各抒己見,完成知識體系的建構、思維模式的建立.突出學生的主體地位,將學生自探、互探、悟探融為一體,教師應根據(jù)實際需要,在一些思維的關鍵節(jié)點進行點撥引導，發(fā)揮教師的主導作用.