以問題為導(dǎo)向 引發(fā)學(xué)生深度思考
——以“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思路及其初步應(yīng)用”教學(xué)為例

黃基榮 廖克杰

(廣西南寧市第三中學(xué)，530201)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高中數(shù)學(xué)教材充分考慮了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,為“教”與“學(xué)”提供了很好的主題和內(nèi)容,是實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源.“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思路及其初步應(yīng)用”蘊(yùn)含著豐富的統(tǒng)計(jì)思想,有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀,增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí),是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的理想教材.“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,以問題為紐帶,可以引發(fā)學(xué)生深度思考,從而思維得到有效鍛煉.因此,本文以“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思路及其初步應(yīng)用”為例,談?wù)勗诮y(tǒng)計(jì)專題中以問題為導(dǎo)向,落實(shí)核心素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.

一、創(chuàng)設(shè)情境,引出問題

創(chuàng)設(shè)情境若以教師敘述為主,容易引發(fā)認(rèn)知疲勞,不利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí).因此以問題為載體,有利于激活學(xué)生的認(rèn)知活力,讓學(xué)生進(jìn)行探究,主動(dòng)思考、自然生長.

視頻播放“美國煙民患肺癌去世,煙草公司被判236億美元天價(jià)賠償”，“韓國肺癌患者敗訴,狀告煙草公司賠償無果”的新聞. 接著就以下問題與學(xué)生進(jìn)行交流.

問題1兩起案件中被告方申辯的主要依據(jù)是什么?

問題2要研究吸煙與患肺癌是否有關(guān)系,應(yīng)收集哪幾方面的數(shù)據(jù)?

設(shè)計(jì)意圖通過真實(shí)法律案件激發(fā)學(xué)生的好奇心,為引入本課內(nèi)容做準(zhǔn)備,同時(shí)也強(qiáng)調(diào)了本節(jié)內(nèi)容與實(shí)際生活緊密聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從生活中來又應(yīng)用于生活的價(jià)值.

二、案例展示,初步體驗(yàn)

學(xué)生通過具體案例剖析,通過數(shù)與形直觀感受“吸煙與患肺癌有關(guān)系”,使學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感知事物本質(zhì)的能力.

為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響,某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9 965人,得到如下結(jié)果:

不患肺癌患肺癌總計(jì) 不吸煙7 775427 817 吸煙2 099492 148 總計(jì)9 874919 965

師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光，觀察統(tǒng)計(jì)表格的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及核心數(shù)據(jù),介紹分類變量和2×2列聯(lián)表的概念.組織學(xué)生討論如下問題.

問題3請(qǐng)你用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)來分析“吸煙與患肺癌是否有關(guān)”的數(shù)據(jù),你能獲得什么結(jié)論?

師生活動(dòng):學(xué)生利用頻率分布表初步感知吸煙與患肺癌有關(guān),教師用Excel表格作出等高條形圖,引導(dǎo)學(xué)生分析圖形的頻率特征,直觀體現(xiàn)兩者的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生體驗(yàn)讀取、整理、分析和用數(shù)據(jù)說話的過程,體會(huì)統(tǒng)計(jì)的作用,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí).

三、勤于思考,探究新知

問題4你能有多大的把握認(rèn)為”與患肺癌有關(guān)”？

教師先不急于引導(dǎo),而是給學(xué)生留有充足的時(shí)間獨(dú)立思考,接著小組合作探究,互相交流解決問題的方法. 直接研究兩個(gè)分類變量有關(guān)比較困難,可以引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為研究兩個(gè)分類變量無關(guān),即相互獨(dú)立,引出獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想.

假設(shè)H0:吸煙與患肺癌沒有關(guān)系

用A表示不吸煙,B表示不患肺癌,則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌相互獨(dú)立”,即假設(shè)H0等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B).

設(shè)計(jì)意圖前面通過頻率分布表和等高條形圖,學(xué)生已直觀感受到了吸煙與患肺癌有關(guān)系,教師再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用相關(guān)概率知識(shí)分析吸煙與患肺癌之間關(guān)系的大小,由感性分析過渡到理性分析,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題5如何表示P(AB)、P(A)和P(B)?在H0成立的條件下，你能得出什么結(jié)論?

師生活動(dòng):將數(shù)據(jù)一般化,用a,b,c,d來表示,得到如下列聯(lián)表:

不患肺癌患肺癌總計(jì) 不吸煙aba+b 吸煙cdc+d 總計(jì)a+cb+da+b+c+d

學(xué)生以頻率來代替概率,在假設(shè)H0成立的條件下推導(dǎo)得出ad≈bc.

問題6如何通過|ad-bc|的大小判定兩個(gè)分類變量之間關(guān)系的大小?

學(xué)生:|ad-bc|越小,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng).

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生通過“用頻率估計(jì)概率”自主探究獲得判斷“兩個(gè)分類變量之間關(guān)系的大小”的粗略方法,充分鍛煉學(xué)生讀取數(shù)據(jù)以及用數(shù)學(xué)的思維分析問題的能力,落實(shí)數(shù)據(jù)分析這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

問題7如何評(píng)判“大”和“小”的標(biāo)準(zhǔn)呢?

教師:在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,為度量觀測(cè)值與預(yù)期值的差值,1900年,英國著名的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家皮爾遜(K.Pearson)引進(jìn)了著名的卡方統(tǒng)計(jì)量:

(其中n=a+b+c+d為樣本容量).

“卡方檢驗(yàn)法” 提出后得到了廣泛的應(yīng)用,在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)理論中占有重要地位.

設(shè)計(jì)意圖介紹K2公式的由來,在課堂上增加數(shù)學(xué)史內(nèi)容,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展的過程,體會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值,提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生觀察隨機(jī)變量K2公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),然后給出K2的臨界值表,加以解釋,并簡單介紹小概率事件的標(biāo)準(zhǔn).

臨界值表:

p(k≥k0)0.500.400.250.150.10 k00.4550.7081.3232.0722.706 p(k≥k0)0.050.0250.0100.0050.001 k03.8415.0246.6367.87910.828

問題8我們以k0=6.635為例,如何理解在H0成立的情況下,P(K2≥6.635)≈0.010的含義呢?

師生活動(dòng):教師提問,學(xué)生討論、解釋P(K2≥6.635)≈0.010體現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,使學(xué)生明白:① 在H0成立的情況下,K2≥6.635的概率不到0.010,是一個(gè)小概率事件.若其發(fā)生,則可以否定H0成立,即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系.② “H0成立”的概率不超過0.010.或者說判斷“H0不成立”會(huì)犯錯(cuò)誤,但犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過0.010.

讓學(xué)生根據(jù)表格中的具體數(shù)據(jù),動(dòng)筆計(jì)算K2的觀測(cè)值，其中

教師:如何快速計(jì)算上述式子?

部分學(xué)生能計(jì)算得到56.632,教師引導(dǎo)學(xué)生通過提取平方項(xiàng)的公因數(shù),提高化簡效率.在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)算理意識(shí),有效落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

教師:根據(jù)以上分析,請(qǐng)解釋在H0成立的情況下,P(56.632≥6.635)≈0.010的含義.

學(xué)生1:“吸煙與患肺癌有關(guān)系”這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤,但犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過0.010.

學(xué)生2:我們有99%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.

此時(shí)教師應(yīng)當(dāng)指出:對(duì)于實(shí)際問題,臨界值的確定不能根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的結(jié)果,需要在獲取觀測(cè)數(shù)據(jù)之前確定.

設(shè)計(jì)意圖把卡方臨界值表提前講述,使P(56.632≥6.635)≈0.010的引入更加符合邏輯,同時(shí)也更利于學(xué)生對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解.通過反復(fù)提問,讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用概率知識(shí)準(zhǔn)確地對(duì)實(shí)際問題下統(tǒng)計(jì)學(xué)的結(jié)論,體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的素養(yǎng).

四、理解運(yùn)用,鞏固練習(xí)

例1在某醫(yī)院,因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂,而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂.

(1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān);

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系?

練習(xí):有甲乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門課程的考試,按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績后,得到如下的列聯(lián)表:

優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì) 甲班103545 乙班73845 總計(jì)177390

請(qǐng)畫出列聯(lián)表的等高條形圖,并通過圖形判斷成績與班級(jí)是否有關(guān)系.根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01 的前提下認(rèn)為成績與班級(jí)有關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生再次熟悉獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟,強(qiáng)調(diào)規(guī)范的書寫過程,提升用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的素養(yǎng).

五、總結(jié)反思,歸納提升

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)上述解決問題的過程,先讓學(xué)生回答,然后教師再補(bǔ)充完善.

設(shè)計(jì)意圖由具體問題總結(jié)得出判別“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的一般方法,引出獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義,讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的過程.

獨(dú)立性檢驗(yàn)定義:上面這種利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法,稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

教師再次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的一般步驟進(jìn)行總結(jié),進(jìn)一步加深對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理以及方法的理解:

① 給出假設(shè)H0:兩個(gè)分類變量無關(guān).② 計(jì)算K2的觀測(cè)值k.③ 查表確定臨界值k0.④ 作出判斷:有(1-P(k≥k0))×100%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān);或者說在犯錯(cuò)誤的概率不超過P(k≥k0)的前提下,認(rèn)為這兩個(gè)分類變量有關(guān).

問題9獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理與反證法有什么區(qū)別和聯(lián)系?

師生活動(dòng):學(xué)生總結(jié),不斷補(bǔ)充,最后教師完善.

設(shè)計(jì)意圖與熟悉的方法進(jìn)行比較,加深學(xué)生對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想方法的理解與掌握,并且通過新舊知識(shí)的對(duì)比,幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,完善知識(shí)結(jié)構(gòu).

教學(xué)設(shè)計(jì)通過“吸煙與患肺癌是否有關(guān)”典型案例的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法. 以問題為導(dǎo)向,遵循概念教學(xué)中的直觀性、理解性、反面性原則去充分暴露概念的創(chuàng)造性過程. 讓學(xué)生觀察、思考,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感受,體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn). 進(jìn)一步地設(shè)置問題,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程,體會(huì)運(yùn)用數(shù)據(jù)分析解決實(shí)際問題的基本思想與方法,提高抽象概括能力和邏輯思維能力,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的素養(yǎng).