一道全國卷立體幾何高考題的再思考

杜云龍 周長林 陳玉艷

(寧夏銀川市第九中學(xué),750011)

著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》一書中基于宏觀思考過程對數(shù)學(xué)問題解決進(jìn)行了分析,提出數(shù)學(xué)解題應(yīng)為審題、計(jì)劃、執(zhí)行、回顧與檢驗(yàn)四個(gè)步驟,是從現(xiàn)有水平出發(fā),突破障礙,達(dá)到目標(biāo)的過程,系統(tǒng)地闡述了數(shù)學(xué)問題解決實(shí)質(zhì)上是一種既有過程又有結(jié)果的思維活動(dòng)．

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中，逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù),更重要的是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條邏輯思維的暗線．本文以一道2018年全國Ⅱ理20題為例,在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上,探究多種解答策略,領(lǐng)會(huì)命題立意,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí),啟發(fā)學(xué)生思維創(chuàng)新,實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

(1)證明:PO⊥平面ABC;

(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

一、理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則

任何問題的解答都始于對題目的理解,要解決問題，就必須從題目的敘述開始熟悉、梳理,將解答目標(biāo)深深印入腦海．本題是一道符合高中數(shù)學(xué)立體幾何部分考查要求的典型好題．表面上看，是考查立體幾何中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間角(線線角、線面角、二面角)的問題,命題背景簡潔,但內(nèi)涵豐富,具有探究性和創(chuàng)新性等特點(diǎn)．如能深度挖掘命題立意、運(yùn)算對象和育人價(jià)值,將激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣,促進(jìn)學(xué)生思維過程和創(chuàng)新意識發(fā)展．

理解運(yùn)算對象的關(guān)鍵是分離題目的主要部分,從逐個(gè)考慮題設(shè)中的已知量和條件入手,利用圖形把單個(gè)條件組合起來加以考慮,聯(lián)系整個(gè)題目猜測未知量．題目以學(xué)生熟悉的三棱錐為載體,給出了三棱錐的六條棱的線段長度,如何使用六條棱的線段長度的已知條件?第(1)問要證明的是空間幾何體中直線與平面垂直問題， 似乎一下子難以找到解題途徑,需要進(jìn)一步剖析線段的長度與點(diǎn)線面位置關(guān)系中隱含的背景知識，幫助尋找解題思路．要求學(xué)生通過觀察數(shù)據(jù)大小,利用勾股定理判斷出ΔABC與ΔAPC中的直角關(guān)系,以數(shù)解形;要求學(xué)生分析圖形，厘清線線關(guān)系、線面關(guān)系,熟悉線面垂直判定定理．第(2)問是關(guān)于空間角的考查，陳述性的知識是六條棱的長度和一個(gè)二面角大小,解答本題的關(guān)鍵是要求學(xué)生熟悉空間角的定義以及未知點(diǎn)、未知線段、未知角之間內(nèi)在轉(zhuǎn)化,解題方法多種多樣，思維將更加靈活、開放．下面以第(2)問為例進(jìn)行探究．

二、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果

1.坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是大多數(shù)教師引導(dǎo)學(xué)生解決立體幾何相關(guān)問題的首選方法,只需領(lǐng)會(huì)到建系、找點(diǎn)、列式、解答的一般步驟,然后套用結(jié)構(gòu),代入公式即可．影響運(yùn)算的關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確、簡潔地找到相關(guān)的未知點(diǎn)的坐標(biāo),以及空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則的熟練程度．

運(yùn)算思路首先,以第(1)問證明的PO⊥平面ABC為基礎(chǔ),建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系．如圖2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz..

再次,利用空間向量法則列式運(yùn)算．

設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).

取平面PAC的一個(gè)法向量為

i=(1,0,0).

在批閱試卷時(shí)，發(fā)現(xiàn)大量考生的(*)步計(jì)算非常繁瑣,在答題卡上解方程占了很大篇幅,致使后面書寫區(qū)域不夠,無法作答．造成這一現(xiàn)象的主要原因是學(xué)生的不良運(yùn)算習(xí)慣與思維習(xí)慣．運(yùn)算能力的培養(yǎng)不能拘泥于單純的運(yùn)算操練進(jìn)行,需要結(jié)合知識點(diǎn)優(yōu)化方法，減少運(yùn)算,整體規(guī)劃，養(yǎng)好習(xí)慣．

2.綜合法

從幾何視角觀察和解決立體幾何問題,建立空間圖形與圖形關(guān)系的想象力,提升學(xué)生識圖作圖能力,根據(jù)幾何問題和圖形的特點(diǎn),逐步形成解決幾何問題的思路．影響正確運(yùn)算的關(guān)鍵是熟悉立體幾何有關(guān)角的定義,識別與變換空間圖形的空間想象能力．學(xué)生往往難以掌握,需要精心設(shè)計(jì)例題,選擇幾何法，強(qiáng)化概念的理解,明晰運(yùn)算對象,增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念,為全面提升學(xué)生立體幾何運(yùn)算水平打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

平面ABC內(nèi)過點(diǎn)M作MD⊥AC，連結(jié)PD.因?yàn)镻O⊥平面ABC，MD?平面ABC，由線面垂直的性質(zhì)定理得MD⊥PO.

①

②

我們仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)，無法直接計(jì)算線面角大小,如何利用二面角M-PA-C的條件?如何選擇PC與平面PAM所成角的入口?如何實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的過渡?如何尋找等量關(guān)系突破障礙?往往會(huì)用到正難則反的變通思想,根據(jù)結(jié)論推理分析后預(yù)見解題方向,再通過條件的邏輯推理、運(yùn)算整理,翻譯成解答過程．

三、選擇運(yùn)算方法、簡化運(yùn)算過程

前兩種方法在教學(xué)中都得到強(qiáng)化訓(xùn)練、學(xué)生運(yùn)算思路嫻熟,但運(yùn)算量較大,往往算錯(cuò)的概率就越大．這就需要進(jìn)一步化繁為簡,提升運(yùn)算能力,增加思維深度,深刻理解概念,真正實(shí)現(xiàn)“想”得多“寫”的少,促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展．

運(yùn)算思路在前面幾何法中,三棱錐P-AMC中，計(jì)算頂點(diǎn)C到平面PAM距離的垂線長度,花費(fèi)大量篇幅,如果僅僅在圖形中畫出來,用圖說話,設(shè)而不求,則完美無瑕．

立體幾何以立體圖形為研究對象,所以，選擇簡化幾何法，既體現(xiàn)立體幾何概念本質(zhì),又培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力,形成空間觀念．

四、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、形成運(yùn)算機(jī)理

空間角是歷年高考必考內(nèi)容.這道題看似普通但不尋常,用幾何的眼光觀察與思考,在立體圖形中看圖、畫圖、識圖、融匯貫通圖中的異面直線角、二面角的平面角、線面角，方法簡捷、優(yōu)美．

已知二面角α-AB-β為θ，直線CD?α，CD與AB所成的角為φ，CD與平面β所成角的φ，則有sinφ=sinφsinθ.

結(jié)合題目直觀辨析有關(guān)條件及相互關(guān)系,由表及里,螺旋上升地探究解題方法,充分揭示解題的思考過程,科學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,不斷優(yōu)化解題策略,拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野,使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識．

數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)具有個(gè)體差異性,不可能一蹴而就,是一個(gè)從無到有、去粗取精、日臻完善的長期過程;是通過數(shù)學(xué)好題的探究,把握數(shù)學(xué)問題解決的基本規(guī)律,學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)家那樣“數(shù)學(xué)地思維”的思考過程;是理解運(yùn)算對象,掌握運(yùn)算法則,明確運(yùn)算方向,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種思想過程．