數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)視角下的“支架式”教學(xué)
——以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例

劉潤慧

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院,730070)

本文以《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》(人教A版)選修2-1,第2章第2節(jié)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例,探析基于支架式教學(xué)模式培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一般策略，旨在為一線教師的課堂教學(xué)提供參考,更好地落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目的.

一、數(shù)學(xué)抽象及支架式教學(xué)理論的相關(guān)介紹

數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)重要的基本思想,是通過學(xué)習(xí)而形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力[1].數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng),是形成理性思維的重要基礎(chǔ),反映數(shù)學(xué)的本質(zhì),貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用過程中[2].史寧中老師在《數(shù)學(xué)思想概論》中提到,數(shù)學(xué)抽象依照其深度差異可分為三個階段:簡約階段、符號階段、普適階段[3].高中生經(jīng)過義務(wù)教育階段的發(fā)展,思維水平早已跨越第一層次,因此,高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)和思維發(fā)展水平為著力點,合理設(shè)計教學(xué),采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法,啟發(fā)學(xué)生思維,逐步引導(dǎo)學(xué)生進行學(xué)習(xí),從而提高自身的抽象素養(yǎng).

支架式教學(xué)是基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)提出的教學(xué)模式,它通過調(diào)動各環(huán)境要素為學(xué)生搭建合適的教學(xué)支架,通過分層分段的教學(xué)體系將知識或任務(wù)呈現(xiàn)給學(xué)生,使學(xué)生形成對新知的建構(gòu),旨在培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和自主學(xué)習(xí)能力,從而達到素養(yǎng)提升的目的.支架式教學(xué)分為五個具體環(huán)節(jié):創(chuàng)設(shè)情境、搭建支架、獨立探索、合作學(xué)習(xí)、效果評價[4].

探究抽象素養(yǎng)視角下支架式教學(xué)模式在課堂中的具體應(yīng)用,即通過設(shè)置一定的情境中,搭建與學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知水平相適應(yīng)的教學(xué)支架,引導(dǎo)學(xué)生在支架的搭建與撤銷中,主動思考、合作探索,完成對新知識的學(xué)習(xí),接著再針對整個學(xué)習(xí)過程進行綜合評價,最終使學(xué)生達到知識和素養(yǎng)的雙重提升[4].

二、支架式教學(xué)模式下“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計探究

1.支架式教學(xué)設(shè)計理念分析

在學(xué)習(xí)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”內(nèi)容之前,學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了用坐標(biāo)法研究幾何問題的一般思路,并掌握了求曲線方程的方法.通過橢圓概念的探究過程,使學(xué)生學(xué)會從具體實例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法;通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),讓學(xué)生熟練掌握求動點軌跡方程的方法——坐標(biāo)法.由“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué),探析支架式教學(xué)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一般策略.在教學(xué)過程中，要特別注重發(fā)揮學(xué)生的主體地位,促進學(xué)生探究意識、合作意識的培養(yǎng),并在教學(xué)支架的搭建與撤銷過程中,逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”支架式教學(xué)的具體實施路徑

(1)新課引入

教師利用多媒體向?qū)W生展示一則衛(wèi)星成功發(fā)射的新聞,接著教師引導(dǎo)學(xué)生觀察衛(wèi)星的運行軌跡,引出橢圓.教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的其它橢圓現(xiàn)象,使學(xué)生感知,橢圓在我們?nèi)粘Ｉ钪械钠毡榇嬖?從而引出本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”.

評注教師以我國北斗衛(wèi)星順利發(fā)射為背景,搭建情感支架,喚起學(xué)生強烈的民族自豪感,從而激發(fā)學(xué)生求知欲.

(2)新知探究

① 橢圓概念的探究

支架1教師提問:“橢圓在生活中十分常見,那么如何在一個平面上作一個橢圓呢?”

活動1教師提示在黑板或桌面的硬紙板上，用圖釘固定繩子的兩端,并要求繩子的長度要大于兩圖釘間的距離,接著套上鉛筆,使繩子保持拉緊狀態(tài),移動筆尖,畫出相應(yīng)的軌跡.

通過以上操作,結(jié)合圓的定義,學(xué)生通過小組合作,討論交流,得到如下定義：“平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于定常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓.”

支架2思考該定義是否完整?還需要補充哪些內(nèi)容?

活動2學(xué)生進行小組討論,給出以下的補充內(nèi)容：第一,兩定點與動點必須在同一平面上;第二,必須強調(diào)動點到兩定點的距離之和大于兩定點之間的距離.

支架3通過上述活動,橢圓的定義得到初步完善.思考:如果給定線段長度和兩個不動點位置,是否可以生成橢圓?如果可以生成,有哪些限制?

活動3教師在黑板演示,定點為A、B,動點為C有哪些可能存在的情況?學(xué)生動手實驗,小組討論，歸納結(jié)論.根據(jù)我們動手實驗及老師的演示以及討論,同學(xué)們得到如下結(jié)論：(i)當(dāng)|AC|+|BC|>|AB|時,軌跡是橢圓.(ii)當(dāng)|AC|+|BC|=|AB|時,軌跡是一條以AB為端點的線段.(iii)當(dāng)|AC|+|BC|<|AB|時,無法構(gòu)成圖像,無軌跡.

評注教師基于學(xué)生的討論,分別用文字語言和集合語言對橢圓定義加以描述,進一步完善橢圓定義.至此,橢圓完整的定義就在學(xué)生自主探索合作交流中完成了,在該過程中教師通過搭建不同層次的教學(xué)支架,引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、討論,最后總結(jié)出橢圓的定義.學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體,全程參與概念的探究過程,加深對于概念形成的理解,提高概括能力和動手操作能力,在活動中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

② 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)探究

支架4基于用坐標(biāo)法求動點的曲線方程,橢圓的軌跡方程如何推導(dǎo)?

教師和學(xué)生一起復(fù)習(xí)用坐標(biāo)法求動點軌跡方程的一般步驟,接著通過搭建問題支架4和5,推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

活動4學(xué)生獨立思考、合作交流“建立直角坐標(biāo)系”，學(xué)生通過交流,歸納出建立兩種建立直角坐標(biāo)系的方法,接著以不同的建系方式推導(dǎo)相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

支架5教師引導(dǎo)學(xué)生小組合作,歸納焦點在x軸和y軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點?

活動5學(xué)生獨立思考后與小組成員討論,焦點不同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其特點.討論結(jié)果，如表1.

表1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其特點的歸納

(3)鞏固應(yīng)用

教師通過多媒體展示相關(guān)習(xí)題,學(xué)生先獨立完成,接著小組討論,最后教師對學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果做出評價.通過相關(guān)題型的鞏固,達到對知識更加深入理解與掌握的目的.

(4)課堂小結(jié)

評注學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,親身經(jīng)歷了“問題支架——獨立思考——合作交流——結(jié)果評價”的多次循環(huán)的探究過程,實現(xiàn)較高層次的思維啟迪,從而達到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的目的.

學(xué)生通過自身體驗、動手實踐,在支架的搭建與撤銷中,完成了橢圓概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探索,既掌握了求曲線方程的方法,又在一定程度上提高了概括能力,發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

三、支架式教學(xué)模式下培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的路徑分析

應(yīng)用支架式教學(xué)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),既要分析教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)進、厘清重難點,又要考慮學(xué)生現(xiàn)有的知識水平,構(gòu)建科學(xué)合理的教學(xué)支架.

1.搭建與認(rèn)知水平相適應(yīng)的教學(xué)支架

教師在設(shè)計教學(xué)支架時,要以學(xué)生作為主要參考對象,根據(jù)學(xué)生知識基礎(chǔ)和認(rèn)知水平,遵循由易到難、循序漸進、螺旋上升的原則搭建教學(xué)支架[5].通過搭建支架,引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí),在數(shù)學(xué)活動中,經(jīng)歷知識的建構(gòu),逐步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.搭建與抽象層次相適應(yīng)的教學(xué)支架

學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)必須在數(shù)學(xué)抽象的過程中培養(yǎng),而數(shù)學(xué)抽象的過程又具有層次性,因此在搭建教學(xué)支架時要與學(xué)生的抽象層次相一致.高中生經(jīng)過九年義務(wù)教育,其思維的抽象水平早已跨過了抽象的第一層次“簡約階段”,到達了抽象的第二層次“符號階段”.在這一階段,強調(diào)去除具體內(nèi)容支撐,利用數(shù)學(xué)符號描述數(shù)與形之間的關(guān)系.如上述橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),就是用符號語言描述橢圓曲線所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程,這是抽象的第二層次在教學(xué)中的體現(xiàn).

3.搭建與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)長期性和潛在性相關(guān)的教學(xué)支架

需要注意,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)是多方面的,也是一個長期的過程,它的形成與發(fā)展不是一蹴而就的,需要長期潛移默化的熏陶[6].因此,我們在利用支架式教學(xué)進行教學(xué)實踐時,要考慮到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的潛在性和長期性,立足當(dāng)下,搭建與學(xué)生自身發(fā)展相適應(yīng)的教學(xué)支架,為后續(xù)抽象素養(yǎng)的繼續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

總之,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)抽象過程中逐漸積累核心素養(yǎng),是適應(yīng)個人終生發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.支架式教學(xué)則是以學(xué)生為主體,通過搭建螺旋上升的教學(xué)支架,在自主探索、合作交流中,逐漸形成對新知的系統(tǒng)建構(gòu),進而達到對知識靈活運用的目的.支架式教學(xué)模式是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一個有力工具.