由等級(jí)水平說(shuō)起
——例談培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的教學(xué)方法和策略

葛云云

(江蘇省姜堰中學(xué)，225500)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一,它是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)．主要包括:理解運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果等．

新版課標(biāo)具體提出了數(shù)學(xué)運(yùn)算形成的三個(gè)水平,如下表1所示.

表1 數(shù)學(xué)運(yùn)算的三個(gè)等級(jí)水平

水平數(shù)學(xué)運(yùn)算 水平1能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象,提出運(yùn)算問(wèn)題.能夠了解數(shù)學(xué)運(yùn)算法則及其適用范圍,正確進(jìn)行運(yùn)算;能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中,根據(jù)問(wèn)題的特征形成合適的運(yùn)算思路,解決問(wèn)題.在運(yùn)算過(guò)程中,能夠體會(huì)運(yùn)算法則的意義和作用,能夠運(yùn)用運(yùn)算驗(yàn)證簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)論.在交流的過(guò)程中.能夠用運(yùn)算的結(jié)果說(shuō)明問(wèn)題. 水平2能夠在關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境中確定數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象,提出運(yùn)算問(wèn)題.能夠針對(duì)運(yùn)算問(wèn)題,合理選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,解決問(wèn)題.能理解運(yùn)算是一種演繹推理;能夠在綜合運(yùn)用運(yùn)算方法解決問(wèn)題的過(guò)程中,體會(huì)程序思想的意義和作用.在交流的過(guò)程中.能夠借助運(yùn)算探討問(wèn)題. 水平3在綜合的情境中,能夠把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題,確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則,明確運(yùn)算方向.能夠?qū)\(yùn)算問(wèn)題,構(gòu)造運(yùn)算程序,解決問(wèn)題.能夠用程序性思想解決與表達(dá)問(wèn)題,理解程序思想與計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的聯(lián)系.在交流的過(guò)程中.能夠用程序性思想理解和解決問(wèn)題.

上述三個(gè)等級(jí)水平循序漸進(jìn),能力要求逐步提升.基于此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中,有以下兩個(gè)問(wèn)題是需要引起關(guān)注.

問(wèn)題1等級(jí)水平最優(yōu)化問(wèn)題:不同學(xué)生對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題所形成的數(shù)學(xué)運(yùn)算等級(jí)水平勢(shì)必不一樣,那么對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng),該如何開(kāi)展教學(xué)才能讓學(xué)生個(gè)體達(dá)到其最高的等級(jí)水平?

問(wèn)題2等級(jí)水平評(píng)估問(wèn)題:學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí),所形成的數(shù)學(xué)運(yùn)算所處的等級(jí)水平,該如何得到有效的確認(rèn)和評(píng)價(jià)?

面對(duì)上述問(wèn)題,結(jié)合自身的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視野下,本文從以下方面對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)進(jìn)行探討.

一、理解算法、算理

理解算法,算理包括兩層含義：(1)能透徹理解數(shù)學(xué)概念,并能運(yùn)用有關(guān)概念進(jìn)行運(yùn)算；(2)能記憶和運(yùn)用公式、法則進(jìn)行變形,運(yùn)算．對(duì)蘇教版《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修1-5,選修2-1,2-2,2-3模塊中的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則、運(yùn)算律進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表2:

表2

由表2可知，概念教學(xué)的任務(wù)繁重,通?？刹扇∫韵略诟拍罱虒W(xué)中策略.

1.從對(duì)比教學(xué)中,區(qū)分概念的含義

概念、公式教學(xué)中,有時(shí)很多概念、公式非常相似,容易混淆,可通過(guò)列表、圖示進(jìn)行對(duì)比,還可通過(guò)新舊對(duì)比,正誤對(duì)比,相似對(duì)比等．幫助學(xué)生區(qū)別模糊認(rèn)識(shí),理解清晰．比如對(duì)于等差數(shù)列的定義,可以在習(xí)題課上給出如下兩道題:

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+2,求an；

2.從變式教學(xué)中,領(lǐng)悟公式的要點(diǎn)

應(yīng)用基本不等式求最值是高考熱點(diǎn),但學(xué)生應(yīng)用時(shí)錯(cuò)誤層出不窮．可以通過(guò)變式教學(xué)幫助學(xué)生掌握．

說(shuō)明此變式主要讓學(xué)生體驗(yàn)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，首先要關(guān)注的也是最重要的一點(diǎn)，是函數(shù)中的變量必須為正數(shù)．

說(shuō)明此變式主要讓學(xué)生關(guān)注應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),即乘積是否為定值.

說(shuō)明此變式主要讓學(xué)生關(guān)注應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)最致命的要點(diǎn),這一點(diǎn)最容易遺漏,也就是檢驗(yàn)等號(hào)是否取到．

通過(guò)這三道變式題,學(xué)生會(huì)對(duì)應(yīng)用基本不等式求最值有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí),教師還可以讓學(xué)生最后總結(jié)注意點(diǎn),提高運(yùn)算的正確性．在公式教學(xué)時(shí),為了深入記憶和理解公式,我們可以通過(guò)公式的正用,逆用,變用進(jìn)行變式教學(xué)．

3.從知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)中,經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)運(yùn)算出錯(cuò)的很大原因是學(xué)生概念模糊,公式混淆．在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)有效的情景,講清每個(gè)概念,公式的生長(zhǎng)點(diǎn),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程,這樣學(xué)生才能全面理解概念、公式．

二、掌握數(shù)學(xué)思想方法

古人云:“授人以魚(yú),不如授之以漁．”因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)充分重視數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng).所謂“數(shù)學(xué)思想”是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí),帶有普遍的指導(dǎo)意義,是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想．高中數(shù)學(xué)中的主要思想方法有:化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想等等．所謂“數(shù)學(xué)方法”是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下,為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供具體的實(shí)施手段,是數(shù)學(xué)地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題過(guò)程中所采用的各種具體方式、手段、途徑等．基本數(shù)學(xué)方法主要有:數(shù)學(xué)歸納法、配方法、待定系數(shù)法、消元法、換元法、參數(shù)法、反證法、解析法等等．還有一些技巧性較強(qiáng)的方法,比如,因式分解中的拆項(xiàng)法、立體幾何中的割補(bǔ)法等等．?dāng)?shù)學(xué)思想方法對(duì)提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的優(yōu)越性,教學(xué)時(shí)可以用對(duì)比手法引起學(xué)生的注意．

例如，化歸與轉(zhuǎn)化思想.所謂化歸,就是把比較困難的復(fù)雜的問(wèn)題,通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程,歸類(lèi)到比較容易解決的簡(jiǎn)單的問(wèn)題中去,以此獲得原問(wèn)題的解決的一種思想方法．運(yùn)用化歸方法,關(guān)鍵是學(xué)會(huì)兩點(diǎn):一是學(xué)會(huì)“轉(zhuǎn)化”；二是在頭腦中必需貯藏大量的基本問(wèn)題的模式、類(lèi)型．

說(shuō)明在3a=5b=c中，a,b都在指數(shù)位置,運(yùn)算困難,采用把指數(shù)由“高”降“低”的方法,使得出現(xiàn)同底對(duì)數(shù)運(yùn)算,順利得到c的值．這種指數(shù)對(duì)數(shù)互化的方法是指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算中要求學(xué)生熟練掌握的．

三、掌握常用運(yùn)算技巧

除了掌握通解通法和數(shù)學(xué)思想方法,還必須注意掌握運(yùn)算小細(xì)節(jié),小技巧．所以技巧是數(shù)學(xué)知識(shí)中非常有用的部分,教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生有意識(shí)地收集,積累經(jīng)驗(yàn),以提高運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性．

比如混合運(yùn)算時(shí),不能見(jiàn)積就乘,見(jiàn)冪就乘方,見(jiàn)商就除,見(jiàn)根式就開(kāi)方,盡量保留積、冪、商、根的形式,以便提取公因式、通分、約分等簡(jiǎn)化運(yùn)算的變換．運(yùn)算技巧有時(shí)還體現(xiàn)在巧設(shè)變量上,有時(shí)設(shè)取一個(gè)變量比設(shè)另一個(gè)變量代入運(yùn)算要簡(jiǎn)捷得多．通常三角運(yùn)算技巧性比較強(qiáng),公式正用、逆用、變用,教學(xué)時(shí)應(yīng)精心設(shè)計(jì)題目,訓(xùn)練運(yùn)算技能．

解題過(guò)程略.

平時(shí)解題時(shí)，很多學(xué)生看到等式就化簡(jiǎn),思維比較呆板導(dǎo)致運(yùn)算量大．如果我們具備較強(qiáng)的觀察能力,透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),充分運(yùn)用運(yùn)算技巧,就可得到簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法．心理學(xué)告訴我們:感覺(jué)和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的初級(jí)形式,而觀察則是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài),所以我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致透徹的觀察能力．

四、加強(qiáng)推理訓(xùn)練

明確運(yùn)算程序,構(gòu)造運(yùn)算對(duì)象,是運(yùn)算的最高等級(jí)水平,它需要培養(yǎng)思維的靈活性．思維的敏捷程度主要體現(xiàn)在思維的多向性、連動(dòng)性和跨越性上．在教學(xué)中，我們可以通過(guò)一題多解訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生多向性思維,還可通過(guò)一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的跨越性思維．我們可以在復(fù)習(xí)課上多讓學(xué)生系統(tǒng)地把知識(shí)與知識(shí)、知識(shí)與方法、方法與方法進(jìn)行對(duì)比、類(lèi)比和歸納,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度,各個(gè)方面把握問(wèn)題的關(guān)鍵,加強(qiáng)推理訓(xùn)練．

在高三教學(xué)中,加強(qiáng)推理訓(xùn)練,每一步怎么想到的,用了什么知識(shí)？什么方法？都要做到步步有根據(jù).例題講解可以一題多解,一法多用,一題多變,積極構(gòu)造運(yùn)算程序,提高運(yùn)算能力．