基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的高職數(shù)學(xué)建模課程案例教學(xué)研究

摘 ?要：培養(yǎng)高職學(xué)生的創(chuàng)新能力是高等職業(yè)教育的重要使命和擔(dān)當(dāng)，高職數(shù)學(xué)建模課程案例教學(xué)緊密圍繞創(chuàng)新能力培養(yǎng)這一主線，總結(jié)了數(shù)學(xué)建模和競賽五個作用，分析了案例教學(xué)的六個特點，剖析了案例教學(xué)應(yīng)該注意的三個問題：選擇合適的案例、充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，以易拉罐的優(yōu)化設(shè)計模型為例闡述案例教學(xué)課堂設(shè)計理念。

關(guān)鍵詞：高職教育;創(chuàng)新能力;數(shù)學(xué)建模;案例教學(xué)

中圖分類號：G712 ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2020）13-0096-05

Abstract： Cultivating the innovation ability of students is an important mission and responsibility of higher vocational education， and the case teaching of higher vocational mathematics modeling course closely centers on the main line of innovation ability training. This paper summarizes five functions of mathematical modeling and competition and analyzes the six characteristics of case teaching and the three problems that case teaching should be paid attention to： selecting the right case， giving full play to the leading role of teachers and the main role of students， and taking the design optimization model of "ring-pull can" as an example to expound the design concept of case teaching.

Keywords： higher vocational education; innovation ability; mathematics modeling; case teaching

創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的不竭動力。高等學(xué)校是創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的搖籃，高職教育是高等教育的一個類型，高職院校規(guī)模占據(jù)高等學(xué)校半壁江山，高職學(xué)生與本科生相比，普遍存在創(chuàng)新意識淡薄、創(chuàng)新精神缺乏、創(chuàng)新能力不足等現(xiàn)象，因此，培養(yǎng)高職院校學(xué)生創(chuàng)新能力是每一名教育工作者的責(zé)任和義務(wù)。數(shù)學(xué)建模于20世紀(jì)80年代成為一門新興的大學(xué)數(shù)學(xué)課程，是連接數(shù)學(xué)與工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、社會生活的橋梁，在創(chuàng)新性人才培養(yǎng)中具有不可替代的作用。然而，對數(shù)學(xué)建模課程運用傳統(tǒng)方法教學(xué)，學(xué)生參與度不高，教師拼命地教，學(xué)生被動地接受，效果不佳。采用案例教學(xué)，從傳統(tǒng)的以教師為中心的教學(xué)模式向以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)模式轉(zhuǎn)變，充分調(diào)動學(xué)生課上、課下的積極性，是提高數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)效果、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效途徑之一。

一、數(shù)學(xué)建模及競賽在創(chuàng)新能力培養(yǎng)中的作用

創(chuàng)新常常是在問題解決中產(chǎn)生的，問題解決是創(chuàng)新的源泉，是創(chuàng)新的土壤，當(dāng)然，不是所有的問題解決都是創(chuàng)新，但創(chuàng)新一定是來源于問題的解決。問題解決一般分為四個步驟：1. 準(zhǔn)備。認(rèn)識問題，進(jìn)行聯(lián)想，試圖用術(shù)語對問題進(jìn)行解釋;2. 孕育。對問題一步一步分析，理清問題的邏輯結(jié)構(gòu)，找出與其它相關(guān)問題的聯(lián)系;3. 明朗。得出問題的解決方法，有時會產(chǎn)生頓悟一樣的感覺;4. 驗證。檢驗解決方法是否正確，若正確，問題得到解決，不正確，則全面重復(fù)或者部分重復(fù)前面的解決問題的過程。[1]

數(shù)學(xué)建模就是從問題出發(fā)，通過分析問題，在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，建立問題之間的聯(lián)系，找出問題的客觀規(guī)律，達(dá)到問題解決的目的。數(shù)學(xué)建模的四個步驟為：模型準(zhǔn)備-模型分析（孕育）-模型求解（明朗）-模型驗證，建模過程就是問題解決的全過程，也是創(chuàng)新思維產(chǎn)生的過程，三者在很大程度是相通的。

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一次，是一項深受廣大師生歡迎的賽事，其宗旨：創(chuàng)新意識，團(tuán)隊精神，重在參與，公平競爭。競賽試題來自科學(xué)與工程技術(shù)、社會、經(jīng)濟(jì)、生活某個領(lǐng)域的實際問題，由專家簡化、加工、提煉而成，具有非常高的代表性和權(quán)威性，略高于大學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識水平。學(xué)生3人組成一個競賽隊，挑選一道題目，完成一篇包括模型的假設(shè)、模型的建立和求解、結(jié)果的檢驗和分析、模型的改正等方面的論文。論文的評閱以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。

數(shù)學(xué)建模和競賽對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的作用主要體現(xiàn)在五個方面：一是大多數(shù)建模問題來自學(xué)生未接觸的領(lǐng)域，在建模過程中，學(xué)生必須學(xué)習(xí)新知識、新方法、新技術(shù)，從而培養(yǎng)了學(xué)生與時俱進(jìn)的學(xué)習(xí)能力和文獻(xiàn)資料的查閱能力;二是大多數(shù)建模問題沒有準(zhǔn)確的答案，沒有固定的求解模型，假設(shè)不同答案也不一樣，在整個建模過程中，學(xué)生的思維不受約束，建模的方法靈活多樣，從而培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維的簡化能力和發(fā)散思維的聯(lián)想能力;三是數(shù)學(xué)建模和競賽需要團(tuán)隊的合作，在整個建模過程中，個人既要獨立承擔(dān)自己的建模任務(wù)，又要相互協(xié)作、共同討論，從而培養(yǎng)了學(xué)生豐富靈活的想象能力和團(tuán)結(jié)協(xié)作的攻關(guān)能力;四是數(shù)學(xué)建模從實際問題出發(fā)，構(gòu)建一個理論模型，再用實際數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ?，然后?yīng)用模型指導(dǎo)現(xiàn)實世界，為學(xué)生提供了從實踐到理論，再從理論回到實踐的科學(xué)訓(xùn)練方法，從而培養(yǎng)了學(xué)生會抓重點的判斷能力和活學(xué)活用的創(chuàng)造能力;五是數(shù)學(xué)建模競賽最終是提交一篇論文，論文的撰寫水平直接影響評獎結(jié)果，從而培養(yǎng)了學(xué)生科技論文的寫作能力和靈活運用的綜合能力。

二、案例教學(xué)在創(chuàng)新能力培養(yǎng)中的特點

案例教學(xué)法是為了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生對選定的典型案例，進(jìn)行有針對性的分析、思考和討論，作出自己的判斷和評價的教學(xué)方法，教學(xué)過程由傳統(tǒng)的講解說明進(jìn)程轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^情景假設(shè)、問題探究、合作學(xué)習(xí)、意義建構(gòu)等以學(xué)生為主體的過程，它的顯著特點就是案例的運用，這是區(qū)別其他教學(xué)方法的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)建模案例是來自工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、生活等典型的實際問題，如“椅子能在不平的地面放平嗎”？就是一個來自生活中的數(shù)學(xué)建模案例，通過構(gòu)建椅腳到地面距離和的函數(shù)，利用連續(xù)函數(shù)介值定理可以得出其結(jié)論。數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)法就是利用這樣的案例進(jìn)行教學(xué)的一種方法，它具有以下特點：

（一）問題的綜合性

數(shù)學(xué)建模案例來自工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、社會等領(lǐng)域，問題復(fù)雜、內(nèi)涵豐富。要求學(xué)生不僅需要具備基本的數(shù)學(xué)理論知識， 還需要學(xué)生通過查閱文獻(xiàn)、綜合運用各種專業(yè)知識和靈活的技巧來求解問題。

（二）理論的應(yīng)用性

數(shù)學(xué)理論抽象難懂，學(xué)生往往感到學(xué)而無用，通過一個具體的案例，將理論知識與實際問題結(jié)合起來，教學(xué)的著眼點不是學(xué)會定理的推導(dǎo)、公式的證明，而是靈活運用這些數(shù)學(xué)知識去解決實際問題。

（三）結(jié)論的不確定性

對學(xué)生而言，案例的結(jié)論是未知的，不同的假設(shè)，會產(chǎn)生不同的結(jié)論。教學(xué)上引導(dǎo)學(xué)生作出多種合理的假設(shè)，尋求多種解決問題的方法，提升學(xué)生認(rèn)知加工的層次和水平。

（四）思維的靈活性

案例教學(xué)擺脫原有的思維慣性，根據(jù)不同的信息，學(xué)生獨立自主地去思考、探索，及時修訂自己對問題的認(rèn)識，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生建立一套分析、解決問題的多角度思維方式。

（五）學(xué)生的主體性

在案例教學(xué)過程中，教師從臺前走向幕后，鼓勵學(xué)生獨立思考，參與案例的分析、討論、交流， 獲取信息，提煉觀點，探尋問題的解決方法，得出問題的結(jié)論。學(xué)生通過討論和教師的指導(dǎo)，既學(xué)到了知識，又鍛煉了才干，學(xué)習(xí)的主動性、積極性和創(chuàng)造性得到有效的發(fā)揮。

（六）過程的動態(tài)性

在教學(xué)過程中存在著教師個體與學(xué)生個體、教師個體與學(xué)生群體、學(xué)生個體與學(xué)生個體、學(xué)生群體與學(xué)生群體的交往，即師生互動，生生互動。

三、案例教學(xué)在創(chuàng)新能力培養(yǎng)中應(yīng)注意的三個問題

從文獻(xiàn)對案例教學(xué)的定義中可以看出，它包含三要素：案例、教師和學(xué)生[2]。案例教學(xué)只有從這三大要素入手，這樣才能理解案例教學(xué)的內(nèi)涵，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的目的。

（一）選擇合適的教學(xué)案例

案例是案例教學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容，它是否合適直接影響教學(xué)效果，選擇合適的數(shù)學(xué)建模案例是一項重要而有難度的工作，需要從課堂教學(xué)目標(biāo)，可行性、實用性等多個維度來衡量案例。

1. 課堂教學(xué)目標(biāo)。是指教學(xué)活動預(yù)期達(dá)到的結(jié)果，是教育目的、教學(xué)目標(biāo)和課程目標(biāo)的具體化，也是教師完成教學(xué)任務(wù)所要達(dá)到的要求和標(biāo)準(zhǔn)。案例教學(xué)教學(xué)目標(biāo)不僅要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能和創(chuàng)新能力，而且要培養(yǎng)學(xué)生正確的人生觀、價值觀。

2. 可行性。是指案例符合高職學(xué)生的認(rèn)知水平，既不能過高，也不能過低，過高導(dǎo)致學(xué)生失去對案例分析、思考、討論的興趣，過低達(dá)不到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的效果。同時要契合學(xué)生的專業(yè)，為專業(yè)服務(wù)。此外，還要考慮課堂教學(xué)時間因素的可行性，一個案例教學(xué)用時以45分鐘或者90分鐘為宜。

3. 實用性。是指案例要符合實際需求，滿足社會需要，解決實際問題。這樣學(xué)生能充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模理論和方法在實際問題解決中的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣，培養(yǎng)他們的解決實際問題的能力。

例如，利用一元函數(shù)的最大值和最小值構(gòu)建實際問題的優(yōu)化模型，下面3個案例，如何選擇？

案例1：客房定價優(yōu)化問題

某剛建的賓館有150個客房，經(jīng)過一段時間的試運營，經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：每間客房定價為160元時，住房率為55%;每間客房定價為140元時，住房率為65%;每間客房定價為120元時，住房率為75%;每間客房定價為100元時，住房率為85%。欲使賓館每天收入最高，每間客房應(yīng)如何定價？

案例2：不允許缺貨的存貯問題

配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時因積壓資金，占用倉庫要付貯存費。設(shè)已知某一部件的日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不允許出現(xiàn)缺貨，試安排該產(chǎn)品的的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費用最小。

案例3：易拉罐的優(yōu)化設(shè)計

為什么市場上銷售的飲料瓶（易拉罐）做成差不多的樣子？

三個案例均滿足實用性。案例1給的數(shù)據(jù)詳實，供分析、假設(shè)、討論的信息不多，達(dá)不到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的教學(xué)目標(biāo)，不適宜作為教學(xué)建模案例。案例2給了一些數(shù)據(jù)，是用來驗證模型，該案例構(gòu)建為經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型（EOQ模型）。案例3是一種現(xiàn)象，沒有具體的數(shù)據(jù)，需要學(xué)生做課前調(diào)查、測量、分析數(shù)據(jù)，是一個難度較大的案例。案例2適合經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)，授課時間為45分鐘;案例3適合工科類專業(yè)，授課時間為90分鐘。

（二）教師的主導(dǎo)作用

教師不再是主宰課堂的權(quán)威，教師在此時所起的作用類似于“導(dǎo)演”，是學(xué)生的學(xué)習(xí)信心之源，對學(xué)生的分析、討論不作過多干預(yù)、不作過多評論，充分尊重學(xué)生的觀點、想法，成為學(xué)生友好的、值得信賴的學(xué)習(xí)伙伴。但教師絕不是袖手旁觀，除選擇合適的案例外，主導(dǎo)作用應(yīng)體現(xiàn)在以下幾個方面：

1. 設(shè)計案例情景。教師對案例有關(guān)信息進(jìn)行透徹分析，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和認(rèn)知能力，設(shè)計符合高職學(xué)生現(xiàn)狀和興趣的案例情景，問題由淺入深，由具體到抽象，層層遞進(jìn)，便于學(xué)生盡快將理論與實踐快速融合。

2. 明確教學(xué)重點。案例教學(xué)的時間有限，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)目標(biāo)對案例中重要的問題作優(yōu)先安排。在教學(xué)重點的準(zhǔn)備過程中， 須多考慮教學(xué)目標(biāo)與高職學(xué)生特點等因素， 教師切忌憑主觀想象確定教學(xué)重點，造成學(xué)生需要的而沒有列為重點，學(xué)生已經(jīng)掌握的或掌握不了的卻被作為重點。

3. 做好授課計劃。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點，教師按照課前準(zhǔn)備、課堂實施和課后評估三步制訂教學(xué)實施計劃。

課前準(zhǔn)備：包含兩個方面，一是明確提出學(xué)生課前準(zhǔn)備的要求，學(xué)生按照教師的要求對案例進(jìn)行閱讀、思考和個人分析，帶著問題和目的進(jìn)入案例教學(xué)課堂實施環(huán)節(jié);二是深入分析案例內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)寫出細(xì)致而全面的分析提綱，便于有效地調(diào)控整個教學(xué)過程，對學(xué)生進(jìn)行及時引導(dǎo)與評價。

課堂實施：教師希望課堂上發(fā)生什么？如何讓其發(fā)生？ 討論按什么方式、順序進(jìn)行？ 每一部分大約討論多長時間？ 是對討論進(jìn)行引導(dǎo)，還是任其自由發(fā)揮？是否需要將學(xué)生分組？如何分組？小組成員間應(yīng)該如何協(xié)調(diào)？同時還要組織引導(dǎo)、激勵控制，對學(xué)生的觀點加以歸納和總結(jié)，促使學(xué)生知識和能力的升華。

課后評估：教師結(jié)合學(xué)生對案例的分析和交流情況進(jìn)行總結(jié)和評估， 教師在總結(jié)時應(yīng)注意避免空談。可從以下幾個方面入手，選擇的案例是否符合課程教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)？是否突出教學(xué)的重點和難點？案例教學(xué)各階段組織是否恰當(dāng)？是否符合教學(xué)設(shè)計要求？是否適合高職學(xué)生？是否提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力？指出學(xué)生的特點、優(yōu)勢和不足，為其進(jìn)一步分析案例積累經(jīng)驗、指明方向。

（三）學(xué)生的主體作用

在案例教學(xué)中，教師與學(xué)生之間是一種“師生互補，教學(xué)相輔”的關(guān)系，學(xué)生是教育資源，學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)和動力從根本上說是他們的潛能，案例學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生激發(fā)潛能的過程，教師將分析案例的“主權(quán)”交給學(xué)生，讓學(xué)生運用所掌握的各種知識，甚至是課外的知識去分析這些問題，討論解決方法。

課前準(zhǔn)備：學(xué)生閱讀案例，對已掌握的資料進(jìn)行分析，歸納相似性、尋找差異性，對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。

課堂實施：積極參與小組討論和課堂討論，通過思想碰撞，引發(fā)并記錄新發(fā)現(xiàn)和新認(rèn)識。

課后評估：從案例選擇是否適合課程目標(biāo)、可行性、實用性等方面及時反饋;從課堂討論的組織與引導(dǎo)，激勵機制、課堂控制及案例的總結(jié)等方面對教師課堂教學(xué)進(jìn)行評價，并提出改正意見。[3]

四、案例教學(xué)在創(chuàng)新能力培養(yǎng)中的常用方法

在具體的案例教學(xué)過程中，運用不同的教學(xué)方法，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能。大致采用以下五種教學(xué)方法：

案例講授法。教師講解案例，說明案例教學(xué)目標(biāo)，講解案例需要的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法，理順學(xué)生案例思路，做出案例總結(jié)和評估，形成完整的課程內(nèi)容體系。

案例討論法。案例討論是案例教學(xué)的主要形式，它是在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生對案例進(jìn)行充分的討論，彼此發(fā)表自己獨立見解的一種方法。它有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，培養(yǎng)他們分析和解決問題的能力，也有利于訓(xùn)練學(xué)生的口頭表達(dá)能力。

案例辯論法。數(shù)學(xué)建模案例有多種解決問題的方法，方法不同，結(jié)論也不一樣。引導(dǎo)采用不同方法的學(xué)生分組辯論。首先各方闡述自己的觀點，然后指出他方的不足，形成激烈的思想碰撞，達(dá)到理越辯越明的目的。

案例練習(xí)法。教師選定一個案例，作為學(xué)生課后、單元、數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)練習(xí)，學(xué)生三人一組，合作完成一篇論文。它有利于檢驗案例教學(xué)效果和培養(yǎng)學(xué)生獨立性、自主性。[9]

案例評價法。運用發(fā)展性、形成性等多種評價方式對案例進(jìn)行課后評估的一種方法。它有利于選擇合適的案例和完善案例教學(xué)過程，提高課堂教學(xué)效果。

以易拉罐的優(yōu)化設(shè)計模型為例[4]，說明案例教學(xué)設(shè)計過程。

環(huán)節(jié)一：選擇合適的案例

1. 教學(xué)目標(biāo)：調(diào)查市場上易拉罐的形狀，分析其原因;構(gòu)建節(jié)省易拉罐成本模型。

2. 學(xué)情分析：學(xué)生已掌握求一元函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的原理和方法，會求簡單實際問題的最大值和最小值。

3. 可行性：構(gòu)建易拉罐的設(shè)計形狀，以達(dá)到節(jié)省材料的目的，屬于一元函數(shù)的最小值問題，符合高職工科學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和能力結(jié)構(gòu)。

4. 實用性：外面銷售的易拉罐，其形狀、尺寸大致一樣，這并非偶然，應(yīng)該是節(jié)省成本的最優(yōu)設(shè)計，單個這樣的易拉罐設(shè)計優(yōu)勢是有限的，大量的（幾十億）這樣的設(shè)計就可觀了。

5. 重點與難點：重點是建立模型;難點是模型的求解和分析。

環(huán)節(jié)二：課堂教學(xué)實施計劃

1. 課前準(zhǔn)備

學(xué)生分組：在過去案例分析過程中，根據(jù)大致掌握的不同學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和性格特點，優(yōu)化學(xué)生分組，組成最佳組合。

布置案例：（1）以小組為單位收集3-5個不同的易拉罐，觀察其形狀;（2）測量易拉罐數(shù)據(jù)，找出數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系;（3）初步分析，簡要回答易拉罐為什么做成這種形狀？

2. 課堂實施

（1）模型準(zhǔn)備（10分鐘）

學(xué)生分小組匯報，從學(xué)生對該問題的理解，教師綜合得出易拉罐形狀、尺寸大致相同，肯定是基于某種節(jié)省成本的優(yōu)化設(shè)計，形成問題：將易拉罐看作一個圓柱體，其容積一定，當(dāng)圓柱體底面直徑和高的比例如何設(shè)計，制作易拉罐所用的材料最??？

（2）模型分析（20分鐘）

根據(jù)學(xué)生小組的分析情況，教師將學(xué)生出現(xiàn)的較大錯誤及時予以糾正，學(xué)生沒有掌握的必要知識點進(jìn)行啟發(fā)性講解，引導(dǎo)學(xué)生從易拉罐形狀（圓柱體）、材質(zhì)、厚度等方面比較分析。

材質(zhì)：易拉罐看成同一材質(zhì)。

厚度：不考慮易拉罐厚度差異（底蓋、頂蓋與側(cè)面厚度相同）;考慮易拉罐厚度差異，底蓋、頂蓋厚度相同，比側(cè)面厚一些，設(shè)側(cè)面厚度為b， 底蓋、頂蓋厚度為ab，a>1）。

（3）模型求解（45分鐘）

重點講授模型的建立過程，分散、突破難點。下面用r和h分別表示易拉罐的底蓋半徑和高度，S和V分別表示易拉罐的表面積和容積，SV表示易拉罐所用材料的體積。

定理：如果一個實際問題可以預(yù)先斷定必存在最值，并且函數(shù)在定義域內(nèi)只有唯一極值點，則無需判別即可斷定，該極值點的函數(shù)值必為所求最值。

（4）模型驗證和推廣（15分鐘）

學(xué)生通過驗證模型，分析與實際情況是否吻合，運用討論法，找出問題的關(guān)鍵在哪？教師總結(jié)如下：

根據(jù)模型一的結(jié)論，很少有這種形狀的易拉罐，與實際不符，問題出在哪兒呢？模型二的結(jié)論，通過同學(xué)們測量易拉罐底蓋、頂蓋的厚度通常比側(cè)面的厚度多2倍以上，比如取a=3，即易拉罐的高度是底圓直徑的3倍，大多數(shù)易拉罐就是按這個比例設(shè)計的。

仔細(xì)觀察易拉罐，其頂蓋是一個小圓臺，這樣設(shè)計更省材料，也更美觀。若易拉罐頂蓋是一個小圓臺，罐身是一個圓柱體，在容積一定的條件下，如何設(shè)計才能達(dá)到用料最??？這是一個復(fù)雜的多元函數(shù)的極值問題，是一個不適合高職學(xué)生的案例。

如果其他形狀的易拉罐，比如長方體型、球體型等，充分考慮其實用性、安全性和美觀等因素，如何設(shè)計才能用料最省，也是一個值得探討的問題。

3. 課后評估

教師：點評學(xué)生的課前、課堂情況，重點是針對課前測量易拉罐的側(cè)面、底蓋、頂蓋的厚度數(shù)據(jù)，底圓直徑與高的數(shù)據(jù)進(jìn)行評價;根據(jù)學(xué)生課堂的反應(yīng)，評估案例、教學(xué)方法是否適應(yīng)學(xué)生，是否有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

學(xué)生：評價案例、教學(xué)方法是否適合自己，案例難易如何？這個案例對自己的創(chuàng)新思維有哪些啟發(fā)？哪些教學(xué)方法有待改正？

五、案例教學(xué)在創(chuàng)新能力培養(yǎng)中的成效

通過在數(shù)學(xué)建模課程采用案例教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，激勵了學(xué)生的創(chuàng)新精神，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力，根植了學(xué)生的創(chuàng)新基因。2010至2019年，筆者所在學(xué)校參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，獲國家一等獎5項、二等獎11項;獲省一等獎24項、二等獎36項、三等獎48項，獲獎數(shù)量位居廣東省近百所同類院校前列。

六、結(jié)束語

誠然，培養(yǎng)高職學(xué)生的創(chuàng)新能力不是一種新的教育理念，但確實是一個新的課題，更是對高職教育體制和高職數(shù)學(xué)建模微觀教育一場前所未有的挑戰(zhàn)。采用案例教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，還有許多值得探討的內(nèi)容，筆者希望與同行一道，無怨無悔為之努力、為之奮斗。

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