關于半對偶模的若干特殊模類*

何東林 李煜彥

(隴南師范高等專科學校數信學院，甘肅 隴南 742500)

0 引 言

設C是半對偶模.由滿足下列條件的模M組成的類為Auslander類,記為AC：

且典范同態(tài)μCCM：M→HomR(C,C?M)為同構.

對偶地,由滿足下列條件的模N組成的類為Bass類,記為BC(詳見[2])：

且典范同態(tài)υCCN：C?HomR(C,N)→N為同構.

表示模M的示性模.受此啟發(fā),本文主要討論具有有限C-投射分解和C-Gorenstein投射分解的模類的一些正交性質.文中C均指固定的半對偶模,其余概念和記號參見文獻[5-8].

1 主要結論

引理1[4]gpc⊥pc.

命題1以下關系成立:

(3)由(1)和(2)易證.

為了便于討論,下面均設R為具有對偶模D的Cohen-Macaulay環(huán),C+=HomR(C,D).由文獻[3]易知C+也是半對偶模.

證明由M∈BC及[4]知,M具有真pc分解

Χ+≡0→Xn→Xn-1→…→X1→X0→M→0,

其中Xi∈pc.可見復形Χ有界.由引理1知gpc⊥pc,所以用HomR(gpc,-)作用于Χ+仍正合.從而Χ是真gpc-分解.因此Χ既是有界真pc-分解又是有界真gpc-分解.

推論1設(ε1)：0→Pn→Pn-1→…→P2→P1→P0→K→0是R模正合列,其中Pi∈pc(i=0,1,…n).則對任意M∈gpc+,(ε)在函子HomR(-,M*)下仍正合.

0→HomR(H,M*)→HomR(G,M*)→HomR(K,M*)→0,

(1)

正合.又由推論1知序列(1)在HomR(-,M*)下仍正合.即序列

0→HomR(K,M*)→HomR(P0,M*)→HomR(P1,M*)→…→HomR(Pn,M*)→0,

(2)

正合.由正合列(1)和(2)拼接可得長正合列

0→HomR(H,M*)→HomR(G,M*)→HomR(P0,M*)→…→HomR(Pn,M*)→0,

因此(ε)在HomR(-,M*)下仍正合.

引理2[1]gpc關于任意直和、直和因子及滿同態(tài)的核封閉.

命題5設0→A→G1→G0→M→0為R-正合列,其中G0,G1∈gpc.則存在正合列0→A→P?C→G→M→0和0→A→H→Q→M→0,其中P,Q為投射模且G,H∈gpc.

推出圖1

推出圖2

根據引理2知G∈gpc.將正合列0→A→P?C→B→0與0→B→G→M→0拼接易得正合列

0→A→P?C→G→M→0,

(3)

其中P為投射模且G∈gpc.

由引理2知H∈gpc.將短正合列0→A→H→U→0和0→U→Q→M→0拼接易得正合列

0→A→H→Q→M→0,

(4)

其中Q為投射模且H∈gpc.

定理1設0→K→Gn-1→…→G1→G0→M→0為R-正合列,其中Gi∈gpc(i=0,1,…,n-1).則以下結論成立：

(i)存在正合列0→K→Pn-1?C→…→P1?C→P0?C→U→0和0→M→U→G→0,其中Pi(i=0,1,…,n-1)為投射模且G∈gpc;

(ii)存在正合列0→V→Qn-1→…→Q1→Q0→M→0和0→V→H→K→0,其中Qi(i=0,1,…,n-1)為投射模且H∈gpc.

證明對n用數學歸納法.

(i)當n=1時,0→K→G0→M→0正合,其中G0∈gpc.由gc投射模的定義知,存在短正合列0→G0→P0?C→N→0,其中P0為投射模且N∈gpc.考慮如下推出圖5.

推出圖5

易知0→K→P0?C→U→0和0→M→U→N→0就是滿足要求的正合列.

假設結論對于任意整數k(2≤k

0→K→Pn-1?C→…→P1?C→U′→0,

(5)

0→L→U′→G′→0,

(6)

其中Pi(i=1,…,n-1)為投射模且G′∈gpc.考慮如下推出圖6.

推出圖6

由G0,G′∈gpc及引理2知X∈gpc.可見存在正合列0→X→P0?C→G→0,其中G∈gpc且P0為投射模.構造如下推出圖7.

推出圖7

將正合列0→U′→P0?C→U→0與(5)拼接可得正合列

0→K→Pn-1?C→…→P1?C→P0?C→U→0,

(7)

顯然正合列(7)與推出圖(7)的第3列0→M→U→G→0就是滿足要求的正合列.從而結論對于n-1也成立. (ii)證明過程與(i)類似.