可移動準剛性圓柱對平面波的聲散射*

臧 雨 宸

(1.中國科學(xué)院聲學(xué)研究所，北京 100190； 2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引 言

當(dāng)聲波在流體介質(zhì)中傳播時，經(jīng)常會遇到密度或者聲速空間分布不均勻的情況，此時聲波的傳播路徑會發(fā)生改變，這種現(xiàn)象稱為聲波的散射．在聲散射問題中，將散射聲場定義為空間內(nèi)總聲場與入射聲場的差．聲散射是檢測聲學(xué)和生物醫(yī)學(xué)超聲等的重要理論基礎(chǔ)，因而一直受到研究者的廣泛重視．關(guān)于規(guī)則物體，如柱和球等對平面波的散射問題已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的理論結(jié)果[1-10]，并且得到大量的實驗驗證[11-17]．這些結(jié)果為實際中運動目標的識別以及缺陷的定位等提供了必要的理論依據(jù)，促進了相關(guān)聲學(xué)檢測技術(shù)的發(fā)展．

目前對于聲散射的研究，基本都含有一個假設(shè)，即散射體是固定在聲場中的．對于物體而言，只有對其施加一定的外力與聲波在其表面的作用力相抵消才能保證其固定不動[18]．在實際的粒子聲學(xué)操縱中，特別是利用聲學(xué)鑷子進行血管內(nèi)的藥物輸送過程中，由于聲學(xué)鑷子的非介入式特征，使得這一條件很難得到滿足．當(dāng)不存在這樣的外力時，靶向粒子在聲波的作用下必將發(fā)生前后振動，進而向外輻射聲波．此時，散射體可以看成聲場中的一個次級聲源，在考慮散射波時應(yīng)當(dāng)計入其貢獻．本文以無限長的準剛性圓柱為例，研究其在可自由移動的情況下對于入射平面波的散射聲場特性．需要指出的是，這里的“準剛性”是指其材料特性阻抗遠大于流體，可以近似看成剛性，但其密度又不是太大，從而使得其在聲場中可以發(fā)生較明顯的移動．材料工程、醫(yī)學(xué)超聲中經(jīng)常使用的聚苯乙烯、聚甲基丙烯酸甲酯等，往往處于液體甚至氣體環(huán)境中[19-20]，均滿足“準剛性”的要求，因而該問題有很強的現(xiàn)實指導(dǎo)意義．

1 理論計算

如圖1，設(shè)半徑為a的無限長準剛性圓柱體方向與Z軸平行，圓柱截面的中心位于XOY平面的坐標原點．一穩(wěn)態(tài)平面波沿X軸正方向入射，建立柱坐標系(ρ,φ,z)，設(shè)準剛性柱體在聲場中的振動位移為

w(t)=eXw0(ω)exp(-iωt)，

(1)

式中eX為入射波的傳播方向，ω為入射波的角頻率．振動位移的法向分量為

wρ(t)=w0(ω)cosφexp(-iωt).

(2)

對于準剛性圓柱而言，其邊界條件為表面的徑向速度連續(xù)，于是得到

[viρ(ρ,φ,ω)+vsρ(ρ,φ,ω)]ρ=a=w0(ω)cosφ，

(3)

式中viρ(ρ,φ,ω)和vsρ(ρ,φ,ω)分別是入射波和散射波的質(zhì)點振動速度．

圖1 無限長準剛性圓柱體的聲散射

在柱坐標下，入射波的聲壓和徑向速度分別表示為：

(4)

(5)

散射波聲壓和徑向速度分別表示為：

(6)

(7)

將式(5)和式(7)代入式(3)中可得

(8)

比較兩邊cos(mφ)的系數(shù)，可以得到：

(9)

與文獻[21]中關(guān)于固定圓柱的聲散射結(jié)果相比，柱體的可移動性僅對m=1這一項產(chǎn)生了影響．根據(jù)牛頓第二定律，圓柱的運動方程為

(10)

式中mc表示單位長度圓柱體的質(zhì)量,p為總聲場．代入式(4)和式(6)，可以計算圓柱體受到的力為

(11)

亦即

(12)

將式(12)代入式(10)得

(13)

其中

(14)

在低頻情況下可以近似表示為

(15)

這里出現(xiàn)的負號在物理上表示圓柱體的振動與入射聲波的相位相反，而分母中的ρ0πa2則等于相同的柱體體積排開的空氣質(zhì)量，在聲輻射問題中經(jīng)常被稱為同振質(zhì)量．

利用漢克爾函數(shù)的漸近性質(zhì)，可以得到遠場聲場為

(16)

式中ψs(φ,ω)表示散射波隨角度的空間分布，具體形式為

(17)

相應(yīng)的徑向速度為

(18)

根據(jù)聲強的計算公式，可以得到遠場散射聲強為

(19)

2 數(shù)值仿真模擬

根據(jù)理論計算結(jié)果進行數(shù)值仿真模擬．假設(shè)位于空氣中的無限長圓柱體是聚苯乙烯泡沫材料，半徑為0.01 m, 密度為30 kg/m3, 常溫下的聲速為2 330 m/s．材料的聲阻抗是空氣的近170倍，在空氣中可以看成是很好的剛性散射體．平面波垂直入射到其上，并且圓柱體可以自由移動．

2.1 散射聲場的分布

假設(shè)入射平面波的頻率(f)分別是10和50 kHz，這2種情況下無量綱參量ka分別等于1.8和9.1．根據(jù)式(6)，其散射聲場分別如圖2(a)和2(b)所示．在頻率較低時，散射波的方向性不是很明顯，圓柱周圍存在向外輻射的聲波，而當(dāng)頻率較高時，散射波的方向性更加顯著，大部分聲波幾乎沿反方向“彈”回，另外在圓柱的背側(cè)2個相對稱的方向還存在旁瓣．在藥物的定向輸送中，往往希望聲波盡可能精確地作用于靶向粒子或靶細胞，而減小對周圍組織的影響．但在超聲治療等方面，通常又希望聲波在一定強度限度的范圍內(nèi)作用于某一區(qū)域的組織或細胞，這里的分析為參數(shù)選擇提供了一定的理論基礎(chǔ)．

圖2 準剛性圓柱的散射聲場(單位/m)(a)f=10 kHz；(b)f=50 kHz

2.2 準剛性圓柱的受力

利用式(12)，作出圓柱表面受力大小隨入射聲波頻率的變化曲線如圖3所示，其中縱坐標為|Fx|/(2aπp0i)，即歸一化的單位長度圓柱受力大小．不難發(fā)現(xiàn)，無論是固定還是可移動的情況，受力曲線隨頻率的變化趨勢大體相同．在低頻時隨頻率的升高快速增大，在f=6 kHz,即ka≈1.1左右時達到峰值，隨后開始緩慢下降．并且低頻時兩者幾乎重合，在峰值處可移動圓柱體的受力明顯更大，差異也最為顯著．隨后可移動圓柱體的受力曲線隨頻率升高更快地下降，直至小于固定的圓柱體．在實踐中，峰值處往往是需要的頻點，而 2種情況差異最大的地方恰恰在峰值處，值得重視．

圖3 準剛性圓柱表面的受力大小隨頻率變化

2.3 散射方向的分布

圖4 準剛性圓柱散射方向性(單位/(°)，其中半徑單位為m)(a)f=2 kHz；(b)f=5 kHz；(c)f=10 kHz；(d)f=20 kHz

3 結(jié) 論

本文針對傳統(tǒng)的聲散射理論中散射體固定在聲場中這一較強的限制條件提出了改進，在假定散射體可以自由移動的情況下計算了散射聲場，得到了表面受力大小的公式和方向性函數(shù)的表達式．針對可以在空氣中看成準剛性的物質(zhì)聚苯乙烯泡沫進行了數(shù)值仿真，得到如下結(jié)論：

(1)在不同的入射頻率下散射聲場有著很大的不同．在頻率較低或ka值較小時，幾乎沒有呈現(xiàn)明顯的方向性，而當(dāng)頻率較高或ka值較大時，方向性顯得十分明顯，大部分沿反方向反射回去，同時還有一些旁瓣的存在.

(2)低頻時，圓柱體表面的受力隨頻率升高快速增加，在ka=1.1左右達到峰值，隨后隨著頻率的升高出現(xiàn)下降．與固定圓柱體相比，可移動圓柱體在峰值處的受力更大，并且隨后下降更快一些.

(3)散射方向的分布隨著頻率的升高變得更加復(fù)雜，方向性更加明顯．與固定圓柱體相比，可移動圓柱體在低頻時的方向性圖案顯示出明顯的不同，各個方向都有顯著的增加，然而這樣的差異隨著頻率的升高很快消失，即兩者趨于一致．

由此可見，實際運用中對于可以看成準剛性而密度又不是很大的散射物體而言，假定散射物體固定在聲場中可能會帶來一定的誤差，消除這一限制則會得到更加精確的結(jié)論．本文的結(jié)論為檢測聲學(xué)中圓柱形狀構(gòu)件的散射問題，以及醫(yī)學(xué)超聲和材料工程等領(lǐng)域廣泛使用的聲學(xué)鑷子的分析提供了理論參考．