多圓柱上加權(quán)Bergman 空間到Bloch 型空間的加權(quán)Cesàro 算子

趙艷輝，廖春艷，鄧春紅，吳修云

(1.湖南科技學(xué)院理學(xué)院，湖南永州425199; 2.湖南科技學(xué)院理學(xué)院計算數(shù)學(xué)研究所，湖南永州425199)

0 引 言

表示Un上的加權(quán)Bergman 空間Αpα(Un)，其中

dv 表示Un上正規(guī)化的Lebesgue 體積測度，即v(Un)=1,dv(z)也可表示成

在單位球上, 文獻(xiàn)[1-5]討論了混合?？臻g、μ-Bloch 空間、Bloch 型空間和Dirichlet 型空間上的加權(quán)Cesàro 算子的有界性和緊性問題；文獻(xiàn)[6-8]討論了單位球Bergman 空間上的復(fù)合算子和Cesàro 算子的有界性和緊性問題。 記定 義Un上的加權(quán)Cesàro 算子Tg為

則Tg是線性算子。在多圓柱上, 文獻(xiàn)[9-10]討論了從Bergman 空間到Bloch 空間的加權(quán)復(fù)合算子的有界性和緊性的充要條件。文獻(xiàn)[11]討論了加權(quán)Bergman 空間上的復(fù)合算子的有界性和緊性問題。對于多圓柱上Bergman 空間上的加權(quán)Cesàro 算子的有界性和緊性問題尚未見結(jié)果。本文的主要工作是在Cn中的多圓柱上給出Tg為加權(quán)Bergman 空間到Bloch 型空間的有界算子和緊算子的充要條件。文 中 均 假 定 α=(α1,α2,…,αn),αj＞-1,j=1,2,…,n；c 表示與變量z,ω 均無關(guān)的正常數(shù)，不同地方可代表不同的值。

1 有關(guān)引理及證明

引理1[9]設(shè)，則

引 理2設(shè)0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(Un)，則Tg是Αpα(Un)到Βq(Un)上的緊算子的充要條件是:對Αpα(Un)中在Un上內(nèi)閉一致收斂于0 的任意有界序列{ fm}，當(dāng)m →∞時，有||Tg( fm)||Βq→0。

證明由引理1 和Montel 定理，按緊算子的定義便可證得。

2 主要結(jié)果及證明

定 理1設(shè)0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(Un)，則Tg是Αpα(Un)到Βq(Un)上的有界算子的充要條件是:

證明先證充分性。任取z ∈Un,f ∈Αpα，由引理1 及式(1)，有

又Tgf(0)=0, 所以Tg是有界的。

再證必要性。設(shè)Tg是Αpα(Un)到Βq(Un)的有界算 子，取 函 數(shù)

則

由文獻(xiàn)[12]中的定理1.12, 有

所以hω∈Αpα, 且||hω||p,α=1。

由Tg的有界性，知

令z=ω,有

由ω 的任意性,知式(1)成立。定理1 得證。

對于單位圓盤的情形，不難得到以下結(jié)論：

推論1設(shè)0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(D)，則Tg是Αpα(D)到Βq(D)上的有界算子的充要條件是:

定 理2設(shè)0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(Un)，則Tg是Αpα(Un)到Βq(Un)上的緊算子的充要條件是:g ∈Βq(Un)，且

證明先證充分性。任取Αpα(Un)中一個在Un上內(nèi)閉一致收斂于0 的有界序列{ fm}，不妨設(shè)||fm||Αpα(Un)≤1，由 式 (2)，?ε ＞0,?0 ＜δ ＜1, 當(dāng)dist(z,?Un)＞1-δ 時，有

(i) 當(dāng)dist(z,?Un)＞1-δ 時，由式(3)和引理1，有

(ii) 令 E={ z ∈Un:dist(z,?Un)≤1-δ }, 則{ fm}在E 上一致收斂于0，當(dāng)dist(z,?Un)≤1-δ時，由g ∈Βq(Un)，有

由式(4)、(5),有

令m →∞，則||Tgfm||Βq≤ε，由ε 的 任 意 性，知||Tgfm||Βq→0。由引理2，知Tg為Αpα(Un)到Βq(Un)上的緊算子。

再證必要性。若Tg為Αpα(Un)到Βq(Un)上的緊算子，取f (z)=1∈Αpα(Un)，因為

所以g ∈Βq(Un)。

假設(shè)式(2)不成立，則存在ε0＞0 及Un中的點列{ zi}，當(dāng)i →∞時，zi→?Un，使得

又因為當(dāng)i →∞時，zi→?Un，因此，其分量中至少有一個模趨于1，即存在j0(1≤j0≤n)和{ zi}的子列，不 妨 設(shè) 為{ zi}，于 是 有zij0→1(i →∞)，即

下證{ fi}在Un上內(nèi)閉一致收斂于0。

設(shè)E 為Un上任一緊子集，則存在0＜r＜1，使得則 由 式 (7)，知

所以{ fi}在Un上內(nèi)閉一致收斂于0。由式(6)，有與引理2 矛盾，從而式(2)成立,定理2 得證。

對于單位圓盤的情形，不難得到以下推論：

推論2設(shè)0 ＜p,q ＜+∞,g ∈H(D)，則Tg是Αpα(D) 到Βq(D) 上 的 緊 算 子 的 充 要 條 件 是:g ∈Βq(D)，且