反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討

馬多貴

摘 要：在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，反證法是一種非常常見的解題方法，它可以有效簡化數(shù)學(xué)問題，提高解題速度與解題正確率，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。在初中數(shù)學(xué)解題過程中，反證法的應(yīng)用十分廣泛。尤其是針對一些無處著手的數(shù)學(xué)問題，反證法的解題技巧可以幫助學(xué)生迅速獲得解題答案?；诖?，本文概述了反證法的理論和分類等，重點(diǎn)針對反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的分析，以供參考。

關(guān)鍵詞：反證法;初中數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2020）12-0096-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.12.047

反證法的應(yīng)用思路是先將結(jié)論否定，然后依次為基礎(chǔ)展開論證，并根據(jù)已知命題和推理原則得出與已知題設(shè)相矛盾的結(jié)論，進(jìn)而確定論題的真實(shí)性。由此可見，反證法的應(yīng)用并不需要直接證明結(jié)論，而是通過否定與結(jié)論相反的一面來證明事物的真實(shí)性。這是一種間接的、讓步的證明方法。巧妙地應(yīng)用反證法可以讓人有一種茅塞頓開的感覺，并且解題過程簡潔、明快，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”。而且在初中數(shù)學(xué)解題中，巧妙應(yīng)用反證法可以有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力。

一、反證法的概述

反證法在初中數(shù)學(xué)解題中屬于較為特別的解題方法，尤其對于一些無從下手的難題往往有較好的解題效果，但要想正確有效地運(yùn)用需要準(zhǔn)確細(xì)致地了解反證法的相關(guān)理念，下面進(jìn)行具體論述。

（一）反證法的基本理念

先對原命題進(jìn)行否定，然后再找出必要的矛盾，就可以對原命題進(jìn)行論證。也就是說，在證明一個(gè)命題的時(shí)候，可以先假設(shè)命題結(jié)論的對立面是正確的，再由已知條件得出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論，或者與數(shù)學(xué)定理、公理、已知條件等相矛盾的結(jié)果，就可以說假設(shè)不成立。而在說明假設(shè)不成立的同時(shí)，也就代表著原命題的成立。這就是反證法。

（二）反證法的理論依據(jù)

反證法的理論依據(jù)為矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一個(gè)證明過程中，如果兩個(gè)相結(jié)論相互對立，那么其中一個(gè)必然是錯(cuò)誤的。而排中律的意思是，同一個(gè)命題只有兩種可能，要么為真，要么為假。排中律的特點(diǎn)是，解題者必須要有清晰、明確的思維，不僅要確定自己的思維邏輯，還要明確自己的立場。要想有效地運(yùn)用矛盾律和排中律解決數(shù)學(xué)問題，就一定要避免出現(xiàn)邏輯矛盾，如果邏輯思維不符合排中律，那么必然也不符合矛盾律。但是矛盾律更加強(qiáng)調(diào)當(dāng)兩個(gè)結(jié)論彼此對立的時(shí)候，其中一個(gè)結(jié)論必然是錯(cuò)誤的。而排中律則強(qiáng)調(diào)兩個(gè)結(jié)論相互否定，就會(huì)存在一定的正確結(jié)論[1]。

（三）反證法的邏輯依據(jù)

與直接證明法一樣，反證法的推理過程也有著一定的邏輯規(guī)律。很多人認(rèn)為“原命題與逆否命題等價(jià)”，就是反證法應(yīng)用的邏輯依據(jù)，只有明確了四種命題之間的關(guān)系，才能夠?qū)⒎醋C法的基礎(chǔ)知識掌握扎實(shí)。但是這種理解是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵}與逆否命題之間的等價(jià)關(guān)系，正是通過反證法推理出來的，將反證法理解為“證明與原命題等效的逆命題”更是不準(zhǔn)確的。只有在矛盾假設(shè)推理出來的結(jié)果正好是題設(shè)的時(shí)候，我們才可以將被證明的命題視為原命題的逆否命題。

（四）反證法的分類

一般情況下，我們可以將反證法分為以下兩種。第一種是歸謬法，即對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定，如果只有一種情況，那么只要證明這種情況是錯(cuò)誤的，就可以證明原命題結(jié)論成立。第二種是窮舉法，即對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定，其結(jié)果有多種情況，那么就只能將所有情況進(jìn)行逐一否定，才能證明原命題結(jié)論成立。

二、反證法在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的重要性

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)和實(shí)際解題過程中，應(yīng)用反證法不僅可以提高解題效率和解題的正確性，同時(shí)反向的思維方式還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與邏輯能力，改進(jìn)和豐富初中數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，增加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性并提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，以上均可以整體推動(dòng)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展與進(jìn)步。

（一）提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

反證法的解題思維與常規(guī)性的數(shù)學(xué)解題思維完全相反，所以反證法的應(yīng)用可以對學(xué)生的解題思維產(chǎn)生新的啟發(fā)，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。當(dāng)面對數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，學(xué)生往往會(huì)習(xí)慣性地運(yùn)用常規(guī)性方法展開思考與分析，但是還有相當(dāng)一部分的數(shù)學(xué)問題，很難通過常規(guī)方法獲得答案，只有從反面思考才能找到解題突破口。所以，在初中數(shù)學(xué)解題過程中，反證法的應(yīng)用可以拓寬學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生思考并嘗試更多非常規(guī)的解題方法。久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也就得到了有效提高。

（二）推動(dòng)了數(shù)學(xué)教育的發(fā)展與進(jìn)步

面對數(shù)學(xué)問題，如果初中學(xué)生長期使用正向思維，很容易形成一種定性思維，甚至對學(xué)生多樣化的思考方式產(chǎn)生限制，影響學(xué)生對問題的多角度思考的同時(shí)，也讓學(xué)生對枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無法提起學(xué)習(xí)興趣。隨著新課程改革的不斷深化，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)方面，對于學(xué)生也提出了更高的要求，即學(xué)生不僅要掌握足夠的基礎(chǔ)知識，為后期數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，還要學(xué)會(huì)多角度的分析數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思維獲得問題答案。另外，掌握了反證法的應(yīng)用技巧的學(xué)生，還可以將這種數(shù)學(xué)思維應(yīng)用到日常生活中特殊問題的解決當(dāng)中，而這正好為數(shù)學(xué)教育的發(fā)展提供了有力的支持。

（三）改進(jìn)了初中數(shù)學(xué)的教學(xué)方法

反證法不僅是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法，還是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，與常規(guī)的數(shù)學(xué)解題思維有著很大的差異。在新課程改革不斷深化的背景下，數(shù)學(xué)教師必須要按照新課程的教學(xué)要求實(shí)施教學(xué)活動(dòng)，并加強(qiáng)新型數(shù)學(xué)解題方法以及數(shù)學(xué)思維模式的學(xué)習(xí)，保證教學(xué)質(zhì)量。而反證法的巧妙應(yīng)用，不僅可以簡化數(shù)學(xué)問題的解析過程，還可以保證數(shù)學(xué)問題的解析效率。另外，教師合理地應(yīng)用反證法，還可以加深對現(xiàn)有數(shù)學(xué)教學(xué)方法的深思，并在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行自身教學(xué)方法的不斷的優(yōu)化和調(diào)整。只有不斷嘗試新的教學(xué)方法，才能夠不斷激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問題的解題樂趣。

三、反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用步驟

反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用步驟，主要有三步：第一反設(shè)，第二歸謬，第三結(jié)論。首先，反設(shè)，這是應(yīng)用反證法解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，反設(shè)的正確與否，直接影響著數(shù)學(xué)問題的解題進(jìn)度與解題結(jié)果。要想進(jìn)行正確的反設(shè)，第一要明確題設(shè)條件與結(jié)論，第二全面詳細(xì)地找出與結(jié)論相反的架設(shè)，第三對結(jié)論進(jìn)行肯定或者否定。為了提高反設(shè)的正確率，可以引導(dǎo)學(xué)生熟知常用的幾種互為否定詞。例如“是”的反義詞是“不是”，“都”的反義詞是“不都”，“大于”的反義詞是“不大于”，“小于”的反義詞是“不小于”，“有限”的反義詞是“存在”，“存在”的反義詞是“不存在”。另外，針對至少有1個(gè)，至多有n個(gè)，至多有1個(gè)等證明結(jié)論的反設(shè)，就需要用心琢磨，了解“一個(gè)也沒有”“最多有兩個(gè)”以及“至多有n個(gè)”的含義。其次，歸謬，這是應(yīng)用反證法正確解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，也是應(yīng)用反證法的難點(diǎn)所在。主要是通過反設(shè)來得出矛盾，需要解題者明確推理方向反設(shè)后條件部分，明確如何找出矛盾。最后，結(jié)論，即通過反證法獲得預(yù)期結(jié)果。歸謬得出的矛盾是因?yàn)榉瓷洳女a(chǎn)生的問題，并不是所謂的新理論。只有這樣，才能夠得出原命題成立的結(jié)論[2]。

四、反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用注意事項(xiàng)

反證法是通過驗(yàn)證與所求結(jié)論相反結(jié)論的錯(cuò)誤性來得出所求結(jié)論的正確性的一種數(shù)學(xué)解題方式。在實(shí)際解題過程中，要注意以下幾點(diǎn)才能正確有效的運(yùn)用，并得出正確答案。

（一）正確否定結(jié)論

在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，要想巧妙地應(yīng)用反證法獲得問題答案，必須要對結(jié)論進(jìn)行正確的否定，這是應(yīng)用反證法解題的前提。

例如，針對“在一個(gè)三角形中內(nèi)角最多只有一個(gè)直角”的題設(shè)，將“最多只有一個(gè)”進(jìn)行反設(shè)，就是“一個(gè)三角形中三個(gè)內(nèi)角可以有兩個(gè)直角或者三個(gè)直角?！彼?，要想正確應(yīng)用反證法解決數(shù)學(xué)問題，必須要注意到實(shí)際的題型結(jié)構(gòu)，然后通過對原始結(jié)論的否定來對原結(jié)論進(jìn)行肯定。而要想對原始結(jié)論進(jìn)行否定，就必須要在正確的邏輯推理過程中發(fā)現(xiàn)矛盾或者制造矛盾。由此可見，反證法的應(yīng)用可以有效訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[3]。

（二）明確推理特點(diǎn)

在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，要想巧妙地應(yīng)用反證法獲得問題答案，就需要先否定結(jié)論，再推導(dǎo)出矛盾。但是會(huì)出現(xiàn)什么樣的矛盾，或者推導(dǎo)到什么程度會(huì)出現(xiàn)矛盾具有一定的不確定性。但是可以通過相關(guān)領(lǐng)域的聯(lián)想來猜測矛盾的種類。例如，如果題目是與平面幾何相關(guān)的問題，那么就要聯(lián)想與平面幾何相關(guān)的公理、定理以及定義等。而且只要做到反設(shè)無誤，推導(dǎo)過程嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯正確，就可以自然而然地找到矛盾，證明結(jié)論。

（三）了解矛盾種類

常見的矛盾主要有以下幾種形式：第一自相矛盾，第二與假設(shè)矛盾，第三與已知條件矛盾，第四與數(shù)學(xué)定理、公理以及定義矛盾。與直接證明法相比，反證法的應(yīng)用可以跨越一些解題阻礙，簡化解題步驟，而且通過反設(shè)還可以增加解題條件，快速得出結(jié)論。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)的解題實(shí)踐過程中，反證法是一種非常有效的數(shù)學(xué)解題方法，很多看似無從下手的問題，使用反證法都可以迎刃而解，而且解題的效率非常高。但是反證法的應(yīng)用具有一定的難度，學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)掌握。所以初中數(shù)學(xué)教師要講究一定的方式方法對反證法的知識點(diǎn)進(jìn)行教授，對反證法的概念、種類、解題步驟以及適用的題型進(jìn)行充分詳細(xì)的講解和反復(fù)強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生形成深刻印象才能更好地應(yīng)用。筆者著重分析了反證法在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的重要性，并對反證法的步驟和解題時(shí)應(yīng)該注意的事項(xiàng)進(jìn)行了詳細(xì)的論述。只有采取有效的措施加深學(xué)生對于反證法的理解，熟練反證法的解題步驟，學(xué)生才能夠在實(shí)際解題時(shí)信手拈來做到熟練運(yùn)用，才能夠熟練地假設(shè)問題的矛盾，明確解題思路，正確獲得問題答案，同時(shí)節(jié)約答題時(shí)間。

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[3]王淼生，陳莉紅.例談反證法在中小學(xué)數(shù)學(xué)中的精彩演繹[J].江西教育，2017（5）：14.

[責(zé)任編輯 杜建立]