例談平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用

劉立強(qiáng) 杜紅全

摘?要：本文通過舉例說明利用平面向量的數(shù)量積可以求解向量的長(zhǎng)度、兩向量夾角、兩向量垂直、參數(shù)的取值范圍、判斷三角形的形狀等問題.

關(guān)鍵詞：平面向量;數(shù)量積;應(yīng)用

平面向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容，也是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、幾何意義、模與夾角、垂直等問題.下面舉例說明平面向量的數(shù)量積常見的幾種應(yīng)用.

1?求向量的長(zhǎng)度（模）

例1?已知向量a→，b→，c→兩兩所成的角相等，均為120°，且|a→|=2，|b→|=3，|c→|=1，求向量a→+b→+c→的長(zhǎng)度.

分析?由公式|a→|=a→2得|a→+b→+c→|=（a→+b→+c→）2，再利用條件即可求解.

解析?因?yàn)橐阎蛄縜→，b→，c→兩兩所成的角相等，均為120°，且|a→|=2，|b→|=3，|c→|=1，所以a→·b→=|a→|·|b→|cos120°=-3，b→·c→=|b→|·|c→|cos120°=-32，a→·c→=|a→|·|c→|cos120°=-1.

所以|a→+b→+c→|2=（a→+b→+c→）2

=a→2+b→2+c→2+2a→·b→+2b→·c→+2a→·c→

=|a→|2+|b→|2+|c→|2+2a→·b→+2b→·c→+2a→·c→

=4+9+1-6-3-2

=3.

所以|a→+b→+c→|=3.

點(diǎn)評(píng)?根據(jù)題意先求|a→+b→+c→|2的值是求|a→+b→+c→|的關(guān)鍵.

2?求兩向量夾角

例2?已知a→，b→是兩個(gè)非零向量，且|a→|=|b→|=|a→-b→|，求a→與a→+b→的夾角.

分析?求a→和a→+b→的夾角，一般應(yīng)先計(jì)算|a→|，|a→+b→|及a→·（a→+b→），然后利用變形公式cosθ=a→·（a→+b→）|a→|·|a→+b→|及條件求解.

解析?由|a→|=|b→|=|a→-b→|得，|a→|2=|b→|2，|b→|2=|a→|2-2a→·b→+|b→|2.

所以a→·b→=12|a→|2.

又因?yàn)閨a→+b→|2=|a→|2+2a→·b→+|b→|2=2|a→|2+2×12|a→|2=3|a→|2，所以|a→+b→|=3|a→|.

設(shè)a→與a→+b→的夾角為θ，則cosθ=a→·（a→+b→）|a→|·|a→+b→|=|a→|2+12|a→|23|a→|2=32.

又因?yàn)?°≤θ≤180°，所以θ=30°.

點(diǎn)評(píng)?解本題的關(guān)鍵是建立a→·（a→+b→）|a→|·|a→+b→|與條件式的聯(lián)系，故應(yīng)該先算出a→·（a→+b→）與|a→|·|a→+b→|.本題還有其他解法.

3?兩向量的垂直問題

例3?已知|a→|=5，|b→|=4，且a→與b→的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka→-b→與a→+2b→垂直？

分析?利用向量垂直的充要條件（ka→-b→）·（a→+2b→）=0及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，列出關(guān)于k的方程即可.

解析?若要向量（ka→-b→）⊥（a→+2b→），則需（ka→-b→）·（a→+2b→）=0.

即k|a→|2+（2k-1）a→·b→-2|b→|2=0.

所以52k+（2k-1）×5×4×cos60°-2×42=0.

解得k=1415.

即當(dāng)k=1415時(shí)，向量ka→-b→與a→+2b→垂直.

點(diǎn)評(píng)?解決向量垂直問題常用向量數(shù)量積的性質(zhì)a→⊥b→a→·b→=0，這是一個(gè)重要性質(zhì)，它把垂直問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算問題.

4?判斷三角形的形狀

例4?在ΔABC中，已知BA·CA>0，BC·AB<0，CB·CA>0，判斷ΔABC的形狀.

分析?由已知條件根據(jù)角來判斷三角形的形狀.

解析?根據(jù)向量數(shù)量積及兩個(gè)向量的夾角定義，可得BA·CA=|BA|·|CA|cosA，

BC·AB=|BC|·|AB|cos（π-B）=-|BC|·|AB|cosB，

CB·CA=|CB|·|CA|cosC.

又因?yàn)锽A·CA>0，BC·AB<0，CB·CA>0，所以cosA>0，cosB>0，cosC>0.

所以∠A，∠B，∠C均為銳角.

所以ΔABC為銳角三角形.

點(diǎn)評(píng)?根據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)判斷平面圖形的形狀，關(guān)鍵是由已知條件建立數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度、向量的夾角等之間的關(guān)系.

5?求參數(shù)的取值范圍

例5?已知|a→|=2，|b→|=3，a→與b→的夾角為45°，求向量a→+λb→與λa→+b→的夾角是銳角時(shí)，λ的取值范圍.

分析?根據(jù)向量a→+λb→與λa→+b→的夾角是銳角，則有（a→+λb→）·（λa→+b→）>0且（a→+λb→）與（λa→+b→）不共線，列出關(guān)于λ的不等式即可.

解析?因?yàn)橄蛄縜→+λb→與λa→+b→的夾角是銳角，所以（a→+λb→）·（λa→+b→）>0且（a→+λb→）與（λa→+b→）不共線.

即λa→2+（λ2+1）a→·b→+λb→2>0，且λ≠±1.

又|a→|2=2，|b→|2=9，a→·b→=|a→|·|b→|cos45°=3，所以2λ+（λ2+1）×3+9λ>0，λ≠±1.

所以3λ2+11λ+3>0且λ≠±1.

解得λ<-11-856或λ>-11+856且λ≠1.

點(diǎn)評(píng)?兩個(gè)非零向量a→與b→的夾角為θ（0≤θ≤π），則cosθ=a→·b→|a→|·|b→|.

①a→⊥b→a→·b→=0;

②a→與b→的夾角為銳角，則a→·b→>0;

③a→與b→的夾角為鈍角，則a→·b→<0.

運(yùn)用結(jié)論可求當(dāng)a→與b→的夾角滿足：0≤θ≤π時(shí)參數(shù)λ的取值范圍，但要注意a→與b→共線時(shí)對(duì)應(yīng)的λ值，否則會(huì)出錯(cuò).

6?證明平面幾何題

例6?已知O是ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2.求證：點(diǎn)O是ΔABC的垂心.

分析?本題考查運(yùn)用向量的數(shù)量積概念及其性質(zhì)解答三角形中的問題.要證點(diǎn)O是ΔABC的垂心，需證AB⊥OC ，BC⊥OA，即證AB·OC=0，BC·OA=0.

證明?設(shè)OA=a→，OB=b→，OC=c→，則BC=c→-b→，CA=a→-c→，AB=b→-a→.

因?yàn)閨OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，

所以a→2+（c→-b→）2=b→2+（a→-c→）2=c→2+（b→-a→）2.

所以c→·b→=a→·c→=b→·a→.

所以AB·OC=（b→-a→）·c→=b→·c→-a→·c→=0，

BC·OA=（c→-b→）·a→=c→·a→-b→·a→=0.

所以AB⊥OC，BC⊥OA.

所以點(diǎn)O是ΔABC的垂心.

點(diǎn)評(píng)?設(shè)OA=a→，OB=b→，OC=c→，將題設(shè)中的條件用a→，b→，c→表示出來，化簡(jiǎn)得c→·b→=a→·c→=b→·a→是解本題的關(guān)鍵.

（收稿日期：2019-12-07）