一題多變 思維提升

摘?要：本文以一道模擬試題為素材，對(duì)試題不斷進(jìn)行變式，最終達(dá)到一般性結(jié)論，這可以拓寬學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美和數(shù)學(xué)的博大精深.

關(guān)鍵詞：變式研究;拓展思維;解題能力

通過一題多變的訓(xùn)練可以激發(fā)學(xué)生把問題多元化，由淺及深.一題多變的目的在于思維的“激發(fā)性”與“創(chuàng)造性”，在于讓學(xué)生從多變中分析出解題的本質(zhì)，獲得思維水平更高的提升.本文通過一道平面向量試題的多變及解析，希望對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)解題有所幫助.

1?題目呈現(xiàn)與解析

題目?已知點(diǎn)O是ΔABC的外心，AB=4，AC=2，則AO·（AB+AC）=（?）.

A.10?B.9?C.8?D.6

解析?AO·（AB+AC）=AO·AB+AO·AC

=AB·AO·cos∠OAB+AC·AO·cos∠OAC

=12AB2+12AC2=10.

故選A.

2?題目變式與解析

變式1?已知點(diǎn)O是ΔABC的外心，AB=4，AC=2，AC·AB=-2，若AO=xAC+yAB，則x+y=.

解法1?因?yàn)锳O=xAC+yAB，

所以AO·AC=4x-2y，AO·AB=-2x+16y.

即4x-2y=2，-2x+16y=8.解得x=45，y=35.

故x+y=75.

解法2?如圖1建系，A（0，0），C（2，0），B（-1，15）.BC的中垂線為y-152=155（x-12）.

令x=1時(shí)，y=3155，即O（1，3155）.

因?yàn)锳O=xAC+yAB，所以x=45，y=35.

故x+y=75.

變式2?（2018年吉林松原模擬）已知△ABC外接圓的圓心為O，AB=2 3，AC=2 2，∠A為鈍角，M是BC邊的中點(diǎn)，則AM·AO等于（?）.

A.3?B.4?C.5?D.6

解析?因?yàn)镸是BC邊的中點(diǎn)，

所以AM=12（AB+AC）.

因?yàn)镺是△ABC的外接圓的圓心，所以AO·AB=AO·ABcos∠BAO=12AB2=12×（2 3）2=6.

同理可得AO·AC=12|AC|2=12×（2 2）2=4.

所以AM·AO=12（AB+AC）·AO=12AB·AO+12AC·AO=12×（6+4）=5.

故選C.

變式3?（2018年山西四校聯(lián)考）△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若AB+AC=2AO，且|OA|=|AC|，則BA在向量BC方向上的投影為（?）.

A.32?B.32?C.3?D.-32

解析?△ABC的外接圓的圓心在線段BC的中點(diǎn)O處，因此△ABC是直角三角形，且∠A=π2.

又因?yàn)閨OA|=|CA|，所以∠C=π3，∠B=π6.

所以AB=3，AC=1.

故BA在BC方向上的投影|BA|cosπ6=32.

故選A.

變式4?（原創(chuàng)題）已知O是ΔABC內(nèi)一點(diǎn)（包括三邊），AB=4，AC=2，AC·AB=-4，

若AO=xAC+yAB，則x+2y的最大值是.

解析?如圖3建系， A（0，0），B（4，0），C（-1，3），設(shè)O（x0，y0）.

因?yàn)锳O=xAC+yAB，所以x0=-x+4y，y0=3x.①

因?yàn)镺（x0，y0）是ΔABC內(nèi)一點(diǎn)（包括三邊），

則滿足y0+3x0≥0，y0≥0，35（x0-4）+y0≤0.②

將①代入②得x≥0，y≥0，x-1+y≤0.

問題轉(zhuǎn)化為：x，y滿足x≥0，y≥0，x-1+y≤0，求x+2y的最大值，畫出x，y的可行域.

當(dāng)x=0y=1時(shí)，x+2y取最大值2.

變式5?（2009年安徽卷理）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°，如圖4所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解析?設(shè)OA與OC的夾角為θ，則OB與OC的夾角為2π3-θ.|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c.

所以O(shè)C=ca·sin（2π3-θ）sin2π3OA+cb·sinθsin2π3OB

=sin（2π3-θ）32OA+sinθ32OB.

所以x=sin（2π3-θ）32，y=sinθ32.

所以x+y=sin（2π3-θ）32+sinθ32=23（32cosθ+32sinθ）=3sinθ+cosθ=2sin（θ+π6）.

因?yàn)?≤θ≤2π3，所以π6≤θ+π6≤5π6.

所以12≤sin（θ+π6）≤1.

所以1≤x+y≤2.

所以x+y的最大值是2.

推廣?已知向量OA和OB不共線，OA=a，OB=b，OC=c，且OA與OC的夾角為θ，OB與OC的夾角為φ，

（1）當(dāng)點(diǎn)C位于第Ⅰ，Ⅲ區(qū)域時(shí)，則有 OC=ca·sinφsin（θ+φ）OA+cb·sinθsin（θ+φ）OB;

（2）當(dāng)點(diǎn)C位于第Ⅱ，Ⅳ區(qū)域時(shí)，則有 OC=ca·sinφsin（φ-θ）OA-cb·sinθsin（φ-θ）OB.

參考文獻(xiàn)：

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[2]呂二動(dòng). 一道以解析幾何為背景的最值問題的多角度思考[J]. 理科考試研究，2019，26（07）：18-20.

[3]劉占權(quán).一道“希望杯”試題解法的深入研究. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2017（08）：30-31.

（收稿日期：2019-11-12）