基于磨損量正態(tài)分布刀具可靠性模型及驗證

崔昌，石偉偉，胡珊珊*，覃夢玲

(廣西大學 機械工程學院，廣西 南寧 530004； 廣西科技信息網絡中心，廣西 南寧 530022)

0 引言

碳化硅陶瓷以其優(yōu)異的抗熱震、耐高溫、抗氧化和耐化學腐蝕等特性而廣泛地應用于石油化工、汽車、機械和航空航天等工業(yè)領域中[1]。然而碳化硅陶瓷作為非金屬難加工材料，在加工過程中刀具的磨損劇烈，且易產生崩刀、斷刀等現象，因此加工時及時了解刀具的可靠度尤為重要[2-4]。在金屬加工領域中，國內外學者對多種加工條件下刀具的可靠性及可靠性模型理論開展了大量研究，通過采集刀具信號特征并提取后，運用了隨機響應面法和蒙特卡羅抽樣等方法建立了可靠性估計模型，并對刀具的工作狀態(tài)分析和壽命預測[5-6]；文獻[7-9]基于可靠度函數計算并得到了更換刀具的最佳時間，并成功預測了刀具的磨損狀態(tài)。

而在非金屬材料加工領域，在宏觀和介觀尺度，非金屬材料的去除過程以脆性斷裂為主，其加工刀具的耐用度和可靠性與金屬加工刀具相去甚遠，而國內外針對非金屬材料加工的刀具的研究主要集中在探索刀具適用性及預測刀具磨損狀態(tài)等方面[10-12]，并不能準確估計持續(xù)加工過程中刀具的可靠性。因此，為了研究加工非金屬脆硬材料刀具的可靠性，選用高溫燒結制成的金剛石刀具，并選擇非金屬脆硬材料碳化硅陶瓷作為工件，通過采集刀具一定時間內的持續(xù)磨損量作為刀具性能退化數據，并結合統計學中貝葉斯相關理論，建立了基于退化量正態(tài)分布的可靠性模型，來研究非金屬脆硬材料在加工過程中刀具的可靠性問題。

1 可靠性建模方法

關于產品性能退化數據建模的方法很多，但由于碳化硅陶瓷孔加工試驗時間長、成本高，獲得的數據樣本小，因此本文通過采集刀具的持續(xù)磨損量，采用基于退化量分布的建模方法評估刀具的可靠性。具體建模流程見圖1。

1.1 確定分布模型

首先要確定刀具退化數據的分布模型，將采集到的刀具磨損量數據導入SPSS軟件，利用軟件中的P-P圖對數據進行分析，然后對數據進行Weibull分布、正態(tài)分布、指數分布、伽馬分布和對數正態(tài)分布等擬合，同時將各種分布擬合后的結果進行對比，最后選取一種最適合描述刀具退化數據的分布模型，接著進行擬合優(yōu)度檢驗，根據數據的類型和特點選用的是非參數檢驗中的K-S檢驗。

1.2 確定先驗分布

設x1，x2，…xn為實驗的原始數據，且x1≤x2≤…≤xn為截尾數據。假設通過擬合確定最適合描述刀具退化數據的模型是正態(tài)分布，則可以確定先驗分布如下：

正態(tài)分布概率密度函數為

(1)

可靠度函數為

(2)

式中：x>0;σ>0,為標準差;μ∈R,為均值。

通過使用最小二乘估計法對采集到的刀具退化數據回歸分析，可以得到正態(tài)分布中的參數μ、σ，并將參數μ、σ作為已知的樣本。為了擴大樣本的數據，再對區(qū)間(0，1)上隨機數組e[n]抽樣，這里使用的是蒙特卡羅抽樣法，同時再反求出正態(tài)分布中的隨機變量，其中通過抽樣得到的樣本總數記為M組。

由蒙特卡羅抽樣公式有

(3)

抽樣結束后，需要對抽樣的數據x[n]先進行排序，并將得到的數據依次同采集到的實驗截尾數據對比，在比較中若第l個數據，有x[l]>D，則x[l]=D，通過這種方法可以得到相應的抽樣數據，所得到的抽樣數據用最小二乘估計法進行參數估計，這樣得到每組數據對應的μi、σj，并將每組數據的參數估計值分別保存在其對應的數組μ[i]、σ[j]，此時保存到每一個數組的值相互獨立，由此便可以得到μ和σ的聯合概率密度為

(4)

由貝葉斯統計相關理論可以得到μ、σ的聯合概率密度均為常數。

(5)

其中：i=1,2,…,M;j=1,2,…,M。上式(5)即為確定的先驗分布公式。

1.3 貝葉斯公式計算

在統計學中，貝葉斯公式是計算概率的重要公式，其表達式為

(6)

在上式中，若刀具磨損量數據服從正態(tài)分布，則θ為正態(tài)分布中的μ、σ；g(θ)為θ的先驗概率密度，g(θ|x)為對應的后驗信息；x為樣本X的觀測值；f(x)為關于x的函數；在給定θ時f(x|θ)可以看做X條件分布密度，可以近似地看作似然函數，即f(x|θ)=L(x|θ)。

當參數樣本值已知的情況下，正態(tài)分布的概率密度函數可以看做條件分布。

(7)

似然函數為

(8)

其中：r為樣本個數。

由式(5)已知貝葉斯先驗分布，并根據貝葉斯公式結合蒙特卡羅抽樣和先驗信息即可以得到

(9)

式中：i，j=1，2，…，M。式(9)為關于μ、θ的貝葉斯后驗概率密度公式[13]。

1.4 可靠度計算

在給定樣本的情況下，可靠度R可以看做一種函數，即R=f(m，η)，結合概率統計中分布函數相關知識，由此可以確定關于R的后驗累計分布函數為

(10)

式中：m為形狀參數，η為尺度參數。

通過對公式(10)求導便可以得到分布函數對應的概率密度函數為

fR(r)=FR′(r)，0

(11)

然后，對概率密度函數積分可以得到可靠度每個點的估計值為

(12)

上述計算可靠度R值的方法顯然較為繁瑣，在實際加工過程中，為了更快速地計算可靠度的值，可以采用數值分析方法來求解。根據上述公式推導過程和式(9)，可以求出可靠度函數的點估計值為

(13)

由式(13)可求出刀具在每一次固定測量時刻的可靠度Rj，表示為(tj，Rj),j=1,2,…,n，若在實驗過程中刀具性能退化數據服從正態(tài)分布，可以計算出刀具在某一確定時刻的可靠度，同時利用計算出的可靠度值對未知的參數估計，最后求出刀具的失效模型。

2 實驗方案及設備

2.1 實驗方案

在鉆削實驗中，刀具磨損的影響因素有很多，但主要取決于機床主軸的轉速、刀具切削深度、進給速度，而實驗中采集到的最終數據是刀具在一定加工時間內的磨損量，因此實驗設計每次鉆削相同的深度。結合實驗設備和實際加工情況，經過預實驗反復探索最終得到適合本實驗的最佳參數，主軸轉速n為7 000～10 000 r/min、進給速度Vf為0.2～0.5 mm/min。實驗采用3把刀具，分別記為刀具甲，刀具乙，刀具丙；采用直孔鉆削的加工方式；同時采用純油性切削液以澆注的方式冷卻，流速120 mL/min。采用單因素實驗法進行加工實驗，所選因素水平見表1。

表1 實驗各因素對應水平Tab.1 Corresponding levels of each factor in the experiment

刀具磨損量的測量方法有很多，但是由于本實驗所用的金剛石刀具的特殊性，刀具的磨損主要集中在工作層圓柱面和刀具唇面，考慮到實驗所使用的刀具和工件材料均屬于脆硬材料，在實驗過程中不會出現黏刀等情況，結合眾多學者研究[14-16]，最終選擇鉆削前后刀具的質量變化△M來評估刀具的磨損程度。

2.2 實驗設備及材料

實驗時所用的設備為日本FANUC的ROBODRILL_@-T14iFlb型數控機床，最高轉速為24 000 r/min；采用上海力辰科技有限公司生產的FA324TC高精度電子分析天平測量刀具磨損前后的質量變化，測量精度為0.1 mg，最大稱量質量320 mg。實驗采用河南中拓磨料磨具有限公司生產的燒結金剛石鉆頭，該鉆頭既有金剛石強度高、耐磨性強等優(yōu)點，又具有硬質合金抗沖擊性強度高、出刃大等特點，其基體材料為高速鋼，鉆頭外徑為5 mm，內徑2 mm。工件材料選用浙江鑫飛達電子有限公司生產的無壓燒結碳化硅陶瓷，這種陶瓷以高純度、超精細的碳化硅粉為原料并加入適量的燒結助劑高溫燒結制成，所得制品致密性良好。

3 實驗結果與刀具可靠性分析

3.1 實驗結果

在實驗過程中，切削力和振動等動態(tài)信號從側面描述了加工狀況，但是刀具在固定測量時間前后的質量變化ΔM更適合作為刀具性能退化數據，左轉速為8 500 r/min，進給速度為0.5 mm/min工況下刀具持續(xù)磨損量的測量值見表2。

表2 刀具持續(xù)磨損量測量結果Tab.2 Measurement of toolwear duration

3.2 確定分布模型

以表2中刀具的磨損量為分析指標，結合第1章提出的方法對刀具進行可靠性分析，結合實際加工狀況以及與廠家溝通，將刀具失效閾值設為150×10-4g。首先借助SPSS軟件對刀具甲、刀具乙、刀具丙的磨損量按照1.1所述方法分布擬合，擬合后各分布的擬合偏差值見表3。

表3 擬合偏差值Tab.3 Fitting deviation value

本文的顯著性水平為α=0.05，通過表3可以看出：擬合后5種分布中正態(tài)分布的偏差值最小，這說明正態(tài)分布更適合描述金剛石刀具鉆削碳化硅陶瓷的磨損量。接著根據K-S檢驗理論對擬合后的分布進行檢驗，SPSS軟件結果顯示漸進顯著性(雙側檢驗)的P值為0.200，大于給定的顯著性水平，進一步說明描述刀具磨損量最合適的分布為正態(tài)分布。

3.3 可靠性分析

由上述對刀具磨損量數據擬合的對比，已經確定刀具磨損量△M最合適的分布為正態(tài)分布，正態(tài)分布概率密度函數為

(14)

累計分布函數為

(15)

上式可以轉換為

(16)

則將式(15)轉化為線性回歸方程:

y=a+bx。

(17)

為了求出t值，首先需要估計對F(w)，這里可以利用中位數的方法來估計對F(w)的值，表達式為

(18)

其中：i為在測量過程中刀具磨損量的順序，n為總的樣本數。然后利用線性回歸的方法對正態(tài)分布中的參數μ、σ進行估計。

由式(17)可以估計出F(w)的值，利用最小二乘法結合測量的刀具磨損量計算出a和b的值，用MATLAB軟件編程計算出參數μ、σ的值，結果見表4。

表4 參數估計值Tab.4 Parameter estimates

以表4中刀具甲的參數估計值μ=95.247、σ=55.514為例，按照前文所述方法抽樣得到滿足刀具性能退化的數據，對不同的抽樣結果進行比較，發(fā)現抽樣在30次左右結果相對較為穩(wěn)定。并利用最小二乘法對每組抽樣數據進行參數估計，得到正態(tài)分布的參數μi、σj。

表5 抽樣樣本的參數估計值Tab.5 Parameter estimates of the samples

結合表5的參數估計值和貝葉斯公式求出參數μ、σ的概率分布，代入式(12)得到刀具甲在每個測量時刻的可靠度，同時根據以上方法計算出刀具乙的可靠度值，將2把刀具的可靠度值進行擬合，最終得到2把刀具可靠度的變化趨勢見圖2。

圖2 刀具甲、乙可靠度隨時間的變化趨勢Fig.2 Reliability of tool A and B over time

為了更直觀地驗證模型的準確性，根據測量時刻刀具甲、刀具乙的可靠度值，聯合式(2)、(3)、(11)、(12)、(18)計算出二者的理論磨損量，結合上文中測得的實際磨損量，繪制出2把刀具的實際磨損量與理論磨損量對比曲線見圖3至圖4。

圖3 刀具甲實際磨損量與理論磨損量對比Fig.3 Comparison of actual and theoretical wear of tool A

圖4 刀具乙實際磨損量與理論磨損量對比Fig.4 Comparison of actual and theoretical wear of tool B

由圖3至圖4可以明顯看出：經過計算，2把刀具實際磨損量與根據可靠度模型計算出的理論磨損量擬合的結果基本一致，最小誤差為1.3 %，最大誤差為7.6 %，證明了建立的可靠度分析模型具有較高的準確性，結果表明通過這種方法可以準確地估計刀具在每個時刻的可靠度，所得到的可靠度能夠反映刀具鉆削過程中實際的工作狀態(tài)，為加工過程中是否需要換刀提供理論參考。

4 結論

從碳化硅陶瓷加工過程中刀具的可靠度問題出發(fā)，以最直觀的刀具磨損量作為描述刀具退化的指標，從退化量的角度對刀具的可靠性進行評估，并結合貝葉斯理論提出了刀具可靠性分析方法，從數學理論的角度建立了一種磨損量數據服從正態(tài)分布的可靠度分析模型，對模型中的參數采用最小二乘法進行估計計算，首先將實驗中轉速為8 500 r/min，進給速度5 mm/min下的2把刀具的磨損量ΔM進行擬合分析并選擇合適的分布模型，后用貝葉斯理論確定先驗分布，最終確定了刀具的可靠度模型，經過計算得出了刀具在每個時刻的可靠度，并通過最后刀具實際的磨損量與根據可靠度模型計算出的磨損量對比，發(fā)現兩者誤差較小，從而驗證了模型的可行性。結果表明這種方法可以準確地估計刀具在每個時刻的可靠度，為更快速、準確確定非金屬加工過程中刀具的可靠性提供了一種有效途徑。