保持Ricci孤立子結(jié)構(gòu)的共形變換*

吳元芬, 郭震, 何雅

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)

1 引 言

設(shè)(Mn,g)為一個(gè)完備的n維黎曼流形,如果存在Mn上的光滑向量場ν,使得

(1)

其中Ric是度量g的Ricci曲率張量,Lνg是黎曼度量g沿著方向ν的Lie-導(dǎo)數(shù),λ為給定常數(shù),則稱M為Ricci孤立子.特別地,當(dāng)ν是梯度向量場,即存在Mn上以ν為梯度的勢函數(shù)f,(1)變?yōu)?/p>

Ric+Hess(f)=λg

(2)

其中Hess(f)是f的Hessian,則稱M為梯度Ricci孤立子,f稱為Ricci勢函數(shù),當(dāng)常數(shù)λ分別滿足λ<0,λ=0,λ>0時(shí),分別稱Mn為膨脹的,穩(wěn)定的,收縮的.特別地,當(dāng)函數(shù)f為常數(shù),則稱Mn為平凡的Ricci孤立子,此時(shí)Mn是Einstein流形；反之,若Mn是Einstein流形,則f為常數(shù),即Mn為平凡的.

Ricci孤立子作為Ricci流的自相似解,是幾何及分析的重要研究對象,受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注[1-5].本文研究保持Ricci孤立子結(jié)構(gòu)的共形變換,證明了2維梯度Ricci孤立子的共形剛性定理,給出了在維數(shù)大于2的情況下，保持梯度Ricci孤立子結(jié)構(gòu)的共形變換必須滿足的條件.

(3)

(a)如果λ≤0,該共形變換是等距變換；

(b)如果λ>0,則minF≤1≤maxF,且等號(hào)成立的充分必要條件是該變換是等距變換.

Ric(F,F)+〈ΔF,F〉

(4)

2 準(zhǔn)備工作

利用外微分和活動(dòng)標(biāo)架法給出共形變換下一些基本量的變換公式及梯度Ricci孤立子的基本方程.為了簡便,采用Einstein求和法(重復(fù)指標(biāo)為求和指標(biāo)),規(guī)定指標(biāo)范圍:1≤i,j,k,t,…≤n.設(shè)(Mn,g)是一個(gè)黎曼流形,且n≥2,在Mn中選取局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場{ei}，{θi}為{ei}的對偶標(biāo)架場.則Mn的結(jié)構(gòu)方程為

其中d為外微分算子,θij,Rijkt為黎曼度量g誘導(dǎo)的聯(lián)絡(luò)形式與黎曼曲率.Ricci曲率與純量曲率R分別為Rij=ΣkRikjk,R=ΣiRii.

設(shè)f∈C(M),有df=fiθi,其中fi=ei(f),定義函數(shù)f的協(xié)變導(dǎo)數(shù)：

fi,jθj=dfi+fjθji

fi,jkθk=dfi,j+fi,kθkj+fk,jθki

則

fi,j=fj,i,fi,jk-fi,kj=ftRtijk

(5)

其中(5)的第二式是光滑函數(shù)f的Ricci恒等式.f的梯度向量場f,Hessian和Laplacian分別為

f=fiei,Hess(f)=fi,jθi?θj,Δf=fi,i

(6)

(7)

若(Mn,g)為滿足(2)的一個(gè)梯度Ricci孤立子,則(2)可改寫為

Rij+fi,j=λδij

(8)

容易得到

R+Δf=nλ

3 定理的證明

先證如下引理:

(9)

和

2(n-1)ΔF-n(n-1)F-1|F|2-(n-2)〈f,F〉=nλF-1(1-F2)

(10)

證明在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下(3)變?yōu)?/p>

(11)

將(6),(7),(8)代入(11)得

(n-2)Fi,j+(fiFj+fjFi)-[(n-1)F-1|F|2-ΔF+〈f,F〉]δij=λF-1(1-F2)δij

(12)

對(12)進(jìn)行i=j收縮有(10),將(10)代入(12)即可得(9).

3.1 定理1的證明

證明(a) 因?yàn)閚=2時(shí),(9)和(10)簡化為

-(fiFj+fjFi)+〈f,F〉δij=0

(13)

和

ΔF-F-1|F|2=λF-1(1-F2)

(14)

若M2緊,則F一定有最大最小值,在最大最小值點(diǎn)處|F|=0.又因?yàn)棣恕?,所以由(14)有

導(dǎo)致F|M=1.

(b) 因?yàn)?/p>

(15)

把(14)代入(15)有

ΔlogF=λF-2(1-F2)

對上式兩邊同時(shí)積分,因?yàn)棣?0,所以

因此maxF≥1,同理可得minF≤1.下證等號(hào)成立的條件

(16)

且

(17)

由(16)和(17)有

F-2(F2-maxF2)=0

則

F2=maxF2=1

同理有F2=minF2=1.

綜上所述，定理1得證.

3.2 定理2的證明

證明從(9)開始,令

(18)

(19)

則(9)變?yōu)?/p>

(n-2)Fi,j=-fiFj-fjFi+pδij

(20)

由(20),則

(21)

另一方面,由Ricci恒等式有

(22)

由(21),(22)以及(8),(18),(19)推出

(23)

對(9)兩邊同時(shí)平方有

(24)

把(10),(24)代入(23)中消去含f的項(xiàng),即可得到(4),定理2得證.