雙時滯單擺系統的穩(wěn)定性分析*

毛莉, 趙東霞

(中北大學 理學院,山西 太原 030051)

1 引 言

在機器人技術中，最簡單的問題之一就是利用樞軸上的馬達來控制單鏈接旋轉接頭的位置，從數學角度來講，這可以看作是用一個外部扭矩來控制平面單擺的運動，這種運動可由如下二階非線性微分方程刻畫：

(1)

其中，θ表示偏離自然位置的角位移，L是擺長，g是重力加速度，m表示小球的質量，ρ表示阻尼系數，u(t)表示施加的外部扭矩，即控制器.系統(1)平衡點處的穩(wěn)定性主要取決于線性化方程：

(2)

的動力學性能與控制器的選取[1-4].

Suh和Bien首次引入PDP(位置反饋和時滯位置反饋)控制器[5]：

(3)

其中φ表示反饋過程中的時滯.由于時滯現象是普遍存在的，即控制器本身亦可能含有時滯，因此本文考慮控制器(3)本身具有時滯τ,從而系統(2)(3)可轉化為如下閉環(huán)系統：

(4)

化簡得如下雙時滯系統：

(5)

其特征方程為

λ2+kλ+c-ae-λτ-be-λσ=0

(6)

其中

(7)

近年來，關于受控無阻尼單擺系統(ρ=0)的穩(wěn)定性研究已經取得了很多有價值的成果和方法[6-10].但是由于實際的工程系統中，經常會存在阻尼項，則系統的特征方程中增加了一次項，采用特征根方法無法解決此類情形；而且，控制器本身的時滯和反饋過程的時滯通常是不同的[11]，因此本文結合指數型多項式的零點性質及相關理論展開研究，討論了有阻尼單擺系統τ≠φ時參數值和系統穩(wěn)定性之間的關系，得出了充分性條件.

2 系統的穩(wěn)定性分析

首先給出以下結論.

引理1[12]考慮指數型多項式

(8)

本文所考慮的特征方程(6)是一個包含兩個時滯τ和σ的二階指數型多項式，特別地，當τ=0時，方程(6)退化為

λ2+kλ+c-a-be-λσ=0

(9)

引理2.已知k>0,則當σ=τ=0時，特征方程(6)的所有根均具有負實部當且僅當c-a-b>0.

證明：當τ=0,σ=0時，特征方程(6)退化為

λ2+kλ+c-a-b=0

(10)

根據一元二次方程求根公式得

顯然，λ1，2均具有負實部當且僅當c-a-b>0.引理得證.

下面討論τ=0時，系統穩(wěn)定對于時滯σ的容許區(qū)間.為了方便后續(xù)討論，不妨先給出如下三個條件：

引理3.假設c-a-b>0,τ=0,則

(i)如果系統參數k,a,b,c還滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，則對于任意的σ∈[0，),特征方程(9)的所有根均具有負實部.

(ii)如果系統參數k,a,b,c不滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，則必存在某正數σ0>0,使得對任意的σ∈[0，σ0),特征方程(9)的所有根都具有負實部.

證明：假設λ=iω(ω∈R)是特征方程(9)的純虛根，則代入方程(9)得

-ω2+ikω+c-a-be-iωσ=0

(11)

即

-ω2+ikω+c-a-b(cosωσ-isinωσ)=0

分離實部虛部得

(12)

兩式左右兩邊平方和對應相加得

(c-ω2-a)2+k2ω2=b2

(13)

令ω2=d,化簡得

d2+(2a+k2-2c)d-b2+a2-2ca+c2=0

(14)

則

(15)

其中，Δ=k4+4k2(a-c)+4b2.

根據一元二次方程的性質可知，當且僅當如下三個條件

之一成立時，方程(14)無正實根.也就是說，當且僅當系統參數k,a,b,c滿足條件(P1)(P2)(P3)其中之一時，特征方程(9)不會產生純虛根.結合引理1和引理2可得結論(i)成立.

如果系統參數k,a,b,c不滿足條件(P1)(P2)(P3)中的任何一個，即特征方程(9)會產生純虛根.接下來討論產生純虛根時的時滯值σ的臨界情況.從(12)式可得：

(16)

即

(17)

由(14)可得，ω的取值最多有4個，則可設

σ0=min{σj:σj>0},1≤j≤4

(18)

顯然，σ0是特征方程(9)產生第一個純虛根時的臨界值.于是，結合引理1和引理2可知，當σ∈[0，σ0)時，方程(9)的所有根均有負實部.引理3的結論(ii得證.

下面分析時滯τ≠0的情形，即系統中同時存在兩個時滯.此時，對于特征方程(6)，假設有純虛根λ=iω(ω∈R),則

-ω2+ikω+c-ae-iωτ-be-iωσ=0

(19)

等價于

(20)

則方程(20)兩端平方和相加可得ω必須滿足

(21)

顯然，方程(21)的根為有限個，不妨設為ω1，ω2，…，ωn,從方程(20)的第一個式子可得

(22)

故可設

τ0=min{τj:τj>0},1≤j≤n

(23)

因此，結合引理1，引理2和引理3可得以下結論.

定理1.假定k>0,c-a-b>0.

(i)如果系統參數k,a,b,c滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)無正根，則對于任意的σ≥τ≥0,方程(6)的根均有負實部，如圖1(a)所示;

(ii)如果系統參數k,a,b,c滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)有正根，則存在τ0>0,使得當0≤τ≤τ0且σ≥τ時方程(6)的根均有負實部，如圖1(b)所示;

(iii)如果系統參數k,a,b,c不滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)無正根，則只要0≤τ≤σ<σ0,方程(6)的根均有負實部，如圖1(c)所示;

(iv)如果系統參數k,a,b,c不滿足條件(P1)或(P2)或(P3)，并且(21)有正根，則存在τ0>0,使得當0≤τ<τ0且τ≤σ<σ0時方程(6)的根均有負實部，如圖1(d)所示.

圖1 系統滯量τ-σ平面上的穩(wěn)定性區(qū)域

3 數值仿真

利用數值模擬來說明系統(4)在平衡點處的動力學性質.不妨取小球質量m=1,則系統(4)可改寫為：

(24)

情形1:取系統參數值為:

則由(7)計算可得:a=3,b=1,k=2,c=6,σ=6 s .顯然，

c-a-b>0,Δ=k4+4k2(a-c)+4b2=-28<0

滿足引理1和條件(P1).此時，方程(21)變?yōu)椋?/p>

(25)

圖2方程(21)無實根 圖3系統(24)的狀態(tài)在時間區(qū)間(0，15s)上的收斂性

Fig.2 Equation (21) has no real roots Fig.3 Convergence of the state of the system (24) on the time interval (0,15 s)

情形2:取系統參數值為:

則由(7)計算可得:a=7,b=5,k=3,c=14.5,σ=1.25 s.容易驗證參數滿足引理1和條件(P1)，并且方程(21)變?yōu)?

(26)

圖4方程(21)根的分布情況 圖5系統(24)狀態(tài)在時間區(qū)間(0，15s)上的收斂性

Fig.4 Distribution of the roots of equation (21) Fig.5 Convergence of the state of the system (24) on the time interval (0,15 s)

4 結 語

建立了具有雙時滯單擺系統的數學模型，并進行穩(wěn)定性分析.首先固定控制器本身的時滯τ=0,對系統的特征方程進行分析，得出特征根均具有負實部的參數條件；接著考慮兩個時滯同時存在的情形，通過討論特征方程產生純虛根的臨界點分析，得到了判斷系統零解漸近穩(wěn)定的充分性條件；最后，采用MATLAB數學軟件進行數值仿真，其結果很好的佐證了本文的理論結果.