一個組合恒等式的若干組合描述*

鄧偉升, 王守峰

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 云南 昆明 650500)

1 引 言

在組合數(shù)學(xué)中，表示組合數(shù)之間的關(guān)系的恒等式稱為組合恒等式.Riordan在其著作中第一次系統(tǒng)地介紹了組合恒等式及其相關(guān)理論[1]，Gould在《Combinatorial Identities》[2]中收錄了500多個組合恒等式，到目前為止已知的組合恒等式不下千個.組合恒等式的證明是組合數(shù)學(xué)中的一個重要和活躍的研究課題之一，其證明方法多種多樣[3-6]，如利用組合數(shù)的定義和基本性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、組合分析法、母函數(shù)法[7]、分類覆蓋法[8]、概率法[9]、微積分法[10]、遞推關(guān)系法等.

本文利用組合分析法、擋板法及母函數(shù)法等證明了組合恒等式

2 證明方法

2.1 組合分析法

組合分析法是證明組合恒等式的一種重要的方法，其思想是構(gòu)造一個組合計數(shù)問題模型，先指出組合恒等式的一邊是此組合計數(shù)問題的解，然后利用基本的計數(shù)原理來證明組合恒等式的另一邊也是該組合計數(shù)問題的解.

…

由加法原理可得

2.2 擋板法

圖1 n+r個小球和n+r+1個位置*

…

由加法原理，可得

2.3 母函數(shù)法

母函數(shù)又稱為生成函數(shù)，它是求解組合計數(shù)問題的一種重要工具，其思想是借助于冪級數(shù)的求和形式，而不考慮冪級數(shù)的斂散性來解決相關(guān)的組合計數(shù)問題.

構(gòu)造生成函數(shù)模型：設(shè)A={a1,a2,…,an+r+2}是一個n+r+2元集，則A的r可重復(fù)組合數(shù)為母函數(shù)F(x)=(1+x+x2+…)n+2的展開式中xr的系數(shù)，而

又

F(x)=(1+x+x2+…)n+2=(1+x+x2+…)(1+x+x2+…)n+1=

比較左右兩邊xr的系數(shù)，可得

2.4 利用不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)來進(jìn)行證明

2.5 利用多重集的組合意義

2.6 路徑法

圖2 從(0，0)點到(m,n)點的路徑 圖3 從(0，0)點到(r,n+1)點的路徑

3 小 結(jié)

利用組合分析法、擋板法、母函數(shù)法、不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)、多重集的組合意義及路徑法給出了組合恒等式

的組合描述，這些方法直觀、富有啟發(fā)性，對提高數(shù)學(xué)思維能力以及理解和掌握組合恒等式的證明具有一定的幫助.