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    多項(xiàng)式最大公因式的“更相減損術(shù)”

    2020-04-09 13:36:38劉興祥
    關(guān)鍵詞:數(shù)域公因式減損

    劉興祥,王 姣,張 宇

    (1.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000;2.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,陜西西安710000;3.西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院,陜西咸陽(yáng)712000)

    關(guān)于求整系數(shù)項(xiàng)多項(xiàng)式最大公因式,大多數(shù)教材均介紹了“輾轉(zhuǎn)相除法”[1],國(guó)際上將其稱為歐幾里得算法,是一種古老的算法[2],出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》[3]中。而在我國(guó),更相減損這種古老的數(shù)學(xué)思想[4-9]在實(shí)際的操作過(guò)程中卻被僅僅局限于最終獲得的等數(shù)。本文將對(duì)更相減損術(shù)進(jìn)行引申,根據(jù)其原理與矩陣行初等變換原理存在的一定相似性,將其擴(kuò)充至求兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的最大公因式,進(jìn)而將“更相減損術(shù)”從兩個(gè)整系數(shù)多形式推廣至多個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。

    1 “更相減損術(shù)”計(jì)算最大公因式

    在九章算術(shù)中“更相減損術(shù)”是一個(gè)及其重要的基本算法,其原理為:其所以相減者,皆等數(shù)之重疊,故以等數(shù)約之。不僅適用于化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),同樣可用于多項(xiàng)式來(lái)求最大公因式。

    2 計(jì)算兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的最大公因式

    矩陣的行(列)初等變換指的是對(duì)一個(gè)矩陣施行的下列變換:

    (1)交換矩陣的兩行(列);

    (2)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣得某一行(列),即用一個(gè)不為零的數(shù)乘矩陣得某一行(列)的每一個(gè)元素;

    (3)用某一數(shù)乘矩陣得某一行(列)后加到另一行(列),即用某一數(shù)乘矩陣的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上[10]。

    “更相減損術(shù)”其步驟如下:

    令F是數(shù)域,求F[x]的多項(xiàng)式

    f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

    g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

    ai,bj∈F(i=0,1,2,…,n;j=0,1,2,…,m),求(f(x),g(x))。

    我們首先引進(jìn)多項(xiàng)式形成的矩陣,把兩個(gè)多項(xiàng)式寫成矩陣,將其按照矩陣初等變換中的第二和第三性質(zhì)進(jìn)行變換。具體的步驟如下:

    第一步:

    (1)分別給f(x)乘以v,使得vxn=xm,此時(shí)

    vf(x)=va0xn+va1xn-1+…+van-1x+van,

    g(x)=b0xm+b1xm-1+…x+bm-1x+bm,

    使得vf(x)和g(x)中的最高次數(shù)相同。

    (2)給g(x)乘以w,使得a0=wb0,此時(shí),

    wg(x)=wb0xm+wb1xm-1+

    …+wbm-1x+wbmf(x)=

    a0xn+a1xn-1+…+an-xx+an,

    通過(guò)兩次計(jì)算會(huì)產(chǎn)生va0xn=wb0xm,

    使得r(x)=vf(x)-wg(x)(則可以將f(x)中得anxn項(xiàng)去掉)。

    第二步:此時(shí)

    r(x)=vf(x)-wg(x)=

    (a1-wb1)xm-1+(a2-wb2)xm-2+

    …+(van-wbn),

    給r(x)和g(x)分別乘以v1和w1,使得

    v1(a1-wb1)xm-1=w1b0xm,

    則r1(x)=w1g(x)-v1r(x)(可以將g(x)中得b0xm項(xiàng)去掉)。

    第三步:依次循環(huán)一二步進(jìn)行降次數(shù),直到rq(x)和rq-1(x)對(duì)應(yīng)成比例,則

    (f(x),g(x))=rq(x)。

    注:vi,wj∈F(i=0,1,2,…,j=0,1,2,…),vi,wj根據(jù)f(x)和g(x)得最高次項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù)選取,要使的其系數(shù)和次數(shù)對(duì)應(yīng)相等。所以vi,wj可以取常數(shù)也可以取含x的一次或多次項(xiàng)。

    例1 令F是數(shù)域,求F[x]的多項(xiàng)式

    f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3,

    g(x)=2x3-5x2-4x+3,

    求(g(x),f(x))。

    解按照更相減損法計(jì)算。

    即(f(x),g(x))=x-3。

    定理1f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

    g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

    構(gòu)造矩陣為

    經(jīng)過(guò)行初等變化為

    (f(x),g(x))=(f1(x),g1(x)),且

    f1(x)=u1(x)f(x)+v1(x)g(x),

    g1(x)=s1(x)f(x)+t1(x)g(x)。

    定理2[11]

    f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

    g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

    構(gòu)造矩陣為

    經(jīng)過(guò)行初等變換得到

    滿足條件d(x)|f(x)且d(x)|g(x)。

    則可知

    (1)d(x)為f(x),g(x)的最大公因式;

    (2)d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。

    證明結(jié)論(2)是定理1的直接結(jié)果。

    若d(x)|f(x),d(x)|g(x)且滿足結(jié)論(2),那么d(x)是f(x),g(x)的最大公因式。則只需要證明d(x)|f(x),d(x)|g(x)。

    若f(x)=g(x)=0,則d(x)=0,命題成立。

    若g(x)=0,f(x)≠0,則d(x)=f(x),命題成立。

    若g(x)≠0,f(x)≠0,則可以設(shè)?0f(x)≤?0g(x),B(x)可以通過(guò)若干次初等變換得到,假設(shè)第一次初等變換關(guān)系式f1(x)=g(x)+φ1(x)f(x),即A(x)變?yōu)?/p>

    設(shè)?0f1(x)

    f2(x)=f(x)+φ2(x)f1(x),

    f3(x)=f1(x)+φ3(x)f2(x),

    ……,

    fr-1(x)=fr-3(x)+φr-1(x)fr-2(x)

    (1)

    0=fr-2(x)+φr(x)fr-1(x)

    (2)

    從上述(1)式可知fr-1(x)=d(x),又從(2)式可知道d(x)|fr-2(x),(1)式可知d(x)|fr-3(x),依次向上遞推知道d(x)|f(x),d(x)|g(x),從而d(x)是f(x),g(x)的最大公因式,證明完畢。

    同樣的在輾轉(zhuǎn)相除法中也給出了其對(duì)應(yīng)的求法,在此處就不再進(jìn)行敘述。值得注意的是在陳占鐵[12,13]所著的新輾轉(zhuǎn)相除法一文中,給出了新的求u,v的方法,他的推理特別是反推求u,v上與舊方法有很大不同,程序較為簡(jiǎn)單,計(jì)算容易。

    3計(jì)算三個(gè)或者多個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的最大公因式

    “更相減損術(shù)”不僅可以求兩者之間的最大公因式,還可以求三者,甚者更多。下面給出三個(gè)或者多個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式之間的最大公因式的解法:求三者等也,先求任兩者等也。余其一,與兩者等也,有一等數(shù),此等數(shù),即為三者等也。若有多者,似其三者求也。

    依據(jù)令F是數(shù)域,求F[x]的多項(xiàng)式

    f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,

    g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm,

    h(x)=c0xq+c1xq-1+…+cq-1x+cq,

    ai,bj,cs∈F(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m;s=0,1,…,q),

    求這三個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。

    第一步:先按照更相減損法求出其中任意兩者的最大公因式,

    第二步:再求第一步獲得的最大公因式和余下的多項(xiàng)式之間的最大公因式。

    例2 多項(xiàng)式f(x),g(x)和h(x)分別為

    f(x)=x4-9x3+27x2-31x+12,

    g(x)=x4-4x3-x2+16x-12,

    h(x)=x3-5x2-2x+24,

    求f(x),g(x),h(x)的最大公因式。

    解按照更相減損法計(jì)算。

    第一步:先求(f(x),h(x))。

    即(f(x),h(x))=x2-7x+12。

    第二步:再求((f(x),h(x)),g(x))。

    即(f(x),h(x),g(x))=x-3。

    綜上所述:f(x),g(x),h(x)的最大公因式為((f(x),h(x)),g(x))=x-3。

    上面對(duì)于兩個(gè)多項(xiàng)式求u(x),v(x)的方法也可以推廣到多個(gè)多項(xiàng)式求u(x),v(x)上去。

    定理3 構(gòu)造矩陣

    經(jīng)過(guò)行初等變換

    d(x)=u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+

    un(x)fn(x)。

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