數(shù)形巧結(jié)合 妙解離心率
——從2019年高考題中的離心率問題談起

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 蔡海濤

本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《深度融合信息技術(shù)落實(shí)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究》(課題編號：FJJKXB18-379).

一、考題分析

圖1

評注：法1的求解策略是根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，從Rt△F1F2B中去尋找基本量的等量關(guān)系，為了表示|F1B|、|F2B|，須先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，所以根據(jù)已知條件先求出直線F1B的方程，把它與直線F2B方程聯(lián)立，即可獲解.此法思路直接，但運(yùn)算量偏大.

評注：法2是利用幾何圖形的特征，通過平行及直角三角形的性質(zhì)，得到△BOF2為正三角形，從而得到漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率.通過法1與法2的比較，可以發(fā)現(xiàn)，一般地，通過數(shù)形結(jié)合會使得運(yùn)算簡化.

圖2

二、方法提煉

通過以上2019年三道高考題的分析，不難發(fā)現(xiàn)求解圓錐曲線的離心率問題一般有兩種方法，一種是代數(shù)方法，一種是幾何方法.

代數(shù)方法是根據(jù)題目中的等量關(guān)系，往往構(gòu)造出關(guān)于a,c的齊次方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，然后求e，[2]如：

2|AB|=3|BC|，則E的離心率是．

幾何方法一般根據(jù)平面幾何中相關(guān)圖形的性質(zhì)來構(gòu)造關(guān)系，進(jìn)而建立關(guān)于基本量的關(guān)系式，然后求得離心率，如：

圖3

三、結(jié)語

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要概念，它是描述圓錐曲線形狀特征的一個(gè)主要元素，它的變化直接導(dǎo)致曲線類型和形狀的變化．求解橢圓、雙曲線離心率的問題，往往綜合性較強(qiáng)，是圓錐曲線教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)．學(xué)生常常找不到解決問題的切入點(diǎn)，不懂得如何利用橢圓、雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，或是結(jié)合圖形特征，利用平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決問題．在高三的復(fù)習(xí)中，筆者建議通過圓錐曲線離心率微專題的復(fù)習(xí)，聚集高考題，歸納通性通法，使學(xué)生明確解決離心率問題的解題策略即為從數(shù)從形這兩個(gè)角度來突破.高考題的經(jīng)典之處在于一道試題往往可以從多個(gè)角度來思考獲得正確的答案，我們教師在平時(shí)的教學(xué)中可以高考真題為載體，多鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，敢于思考，敢于挑戰(zhàn)，從而提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).