數(shù)學(xué)反思性教學(xué)行為的案例研究
——以求解橢圓離心率問(wèn)題為例

南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) (210007) 吳 茹 孔德鵬

本文系南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題“核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)主題教學(xué)的實(shí)踐研究”(L/2018/341)階段成果.

1.引言

反思性教學(xué)是指將各種反思性思維方式用于教學(xué)活動(dòng)的教學(xué)模式,是教師與學(xué)生通過(guò)反思性的思維活動(dòng)進(jìn)行教與學(xué)的過(guò)程.反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者對(duì)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程,以及過(guò)程中涉及的有關(guān)事物的特征進(jìn)行反向思考,從而拓寬思路,舉一反三,觸類旁通,推廣引申,擴(kuò)大視野,深化理解,完善知識(shí)結(jié)構(gòu)[1].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容較為抽象,學(xué)生只有在經(jīng)歷多次練習(xí)與反思才能真正把握其數(shù)學(xué)本質(zhì),所以反思性教學(xué)是非常重要的教學(xué)環(huán)節(jié),而在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,反思性教學(xué)也正是比較薄弱的環(huán)節(jié).

2.案例探究

反思1:在上述計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)kPM·kPN=

分析:本題所求離心率取值范圍,通過(guò)已知條件,尋找a,b,c三者之間的不等關(guān)系,切入點(diǎn)是橢圓上存在一點(diǎn)P,使PF1⊥PF2,直線垂直可轉(zhuǎn)化為向量垂直,用坐標(biāo)法建立關(guān)系.

圖1

分析:本題題意理解起來(lái)相對(duì)容易,入手簡(jiǎn)單,但是在求對(duì)稱點(diǎn)Q比較困難,接下來(lái)再將復(fù)雜的Q點(diǎn)帶入到橢圓方程中運(yùn)算更大,計(jì)算更復(fù)雜,學(xué)生容易半途而廢或者浪費(fèi)大量時(shí)間而計(jì)算錯(cuò)誤.

解:設(shè)Q(m,n),由題意可知,

反思1:通過(guò)以上解法,雖然可以得到答案,但是涉及到求點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn),并且需要將復(fù)雜的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,而且涉及到解高次方程,這里面計(jì)算量大,計(jì)算過(guò)程難復(fù)雜、易錯(cuò),需要花費(fèi)很多時(shí)間解決此題,用這種方法解決此題有些得不償失,在考試過(guò)程中你會(huì)使用這種方法嗎?可以換種解法嗎?(反詰)——不會(huì),可以試試看,尋找更好的想法.

圖2 圖3

3.數(shù)學(xué)反思性教學(xué)的幾點(diǎn)思考

3.1 反思起點(diǎn)——對(duì)讀題、審題的過(guò)程反思

杜威曾說(shuō)過(guò):理解了題意,問(wèn)題就解決了一半.很多學(xué)生找不到解題思路的根本原因是審題這一環(huán)節(jié)出現(xiàn)問(wèn)題.解題的反思性教學(xué)是學(xué)生正確審題的重要途經(jīng).解決一道題目必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)是反思檢驗(yàn),首先要反思的就是對(duì)題意的理解.引導(dǎo)學(xué)生看題,思考是否遺漏了什么重要信息,為什么會(huì)遺漏,如何補(bǔ)救;思考其中對(duì)于哪一個(gè)條件理解不清,為什么會(huì)理解不清,怎樣理解會(huì)更好;思考題設(shè)條件與所求目標(biāo)之間有哪些聯(lián)系沒有發(fā)現(xiàn),聯(lián)系的轉(zhuǎn)化是否有問(wèn)題,是什么原因?qū)е碌?反思自己在審題過(guò)程中是否還要其他偏差,原因是什么等等.如經(jīng)過(guò)對(duì)例2中條件PF1⊥PF2,再認(rèn)識(shí),我們這樣理解會(huì)更好:因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為90°,所以點(diǎn)P在以F1、F2為直徑的圓上,直接通過(guò)交軌法解決問(wèn)題.

3.2 反思根本——對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及方法反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中必然要與已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)及方法有聯(lián)系,反思與哪些問(wèn)題有聯(lián)系,有什么樣的聯(lián)系,是考察知識(shí)點(diǎn)有聯(lián)系,還是所用基本方法有聯(lián)系,還是問(wèn)題的結(jié)論有聯(lián)系.所有的聯(lián)系能否概括出某種規(guī)律或經(jīng)驗(yàn),經(jīng)過(guò)這樣的聯(lián)系對(duì)原問(wèn)題是否有新的認(rèn)識(shí).在例1的解題過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)一條關(guān)于橢圓的性質(zhì),教師幫助學(xué)生將這條性質(zhì)進(jìn)行總結(jié),那么在以后遇到類似問(wèn)題時(shí),學(xué)生會(huì)迎刃而解.通過(guò)對(duì)知識(shí)點(diǎn)及方法的反思,讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三,對(duì)前后知識(shí)、各類問(wèn)題、各種方法達(dá)到觸類旁通的境界.

3.3 反思關(guān)鍵——對(duì)推理運(yùn)算過(guò)程反思

對(duì)推理運(yùn)算過(guò)程反思的目的是對(duì)解題過(guò)程的優(yōu)化,就是在完成了某個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)后,對(duì)活動(dòng)思維的合理性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、運(yùn)動(dòng)的正確性、表述的簡(jiǎn)潔性及書寫的規(guī)范性等進(jìn)行反思、修改、縮減、概括,總結(jié).經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期訓(xùn)練,逐步提高學(xué)生用簡(jiǎn)縮的思維結(jié)構(gòu)進(jìn)行思考的能力.在例3的處理上,如果直接使用代數(shù)法,運(yùn)算量大,容易出錯(cuò),此時(shí)筆者利用之前一道類似題目對(duì)學(xué)生進(jìn)行正確引導(dǎo),進(jìn)而合理優(yōu)化解題路徑,提升學(xué)生簡(jiǎn)縮的思維習(xí)慣.

總之,學(xué)生的反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的形成,離不開教師的示范與引導(dǎo).教師在教學(xué)過(guò)程中正確運(yùn)用反思性教學(xué)模式,引導(dǎo)學(xué)生敢于反思、勤于反思、善于反思,讓學(xué)生逐步形成一種反思的意識(shí)和習(xí)慣,有利于學(xué)生學(xué)會(huì)思考和思維品質(zhì)的提升.