再談命題的否定與否命題

重慶市涪陵高級中學(xué)校 (408100) 張禮勇

1.引言

在普通高中人教A版選修2-1第一章《常用邏輯用語》中，命題的否定和否命題是一個不可或缺但也易混淆的內(nèi)容，一直以來深受人們的關(guān)注，也引發(fā)了廣大師生熱烈的討論，各種觀點不盡相同，也始終沒有給出一個明確的結(jié)果.盡管針對這一板塊的高考試題，人們已總結(jié)出一套既有的固定解題模式，況且這些是是非非、頗具爭議的問題并不影響高考試題的作答，似乎間，問題的討論變得沒有多大意義了.然而，對于數(shù)學(xué)教育者而言，秉承的是一種嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維，傳授的是一種慎密的數(shù)學(xué)精神，培育的是一種理性的數(shù)學(xué)素養(yǎng).讓學(xué)生知其然，更應(yīng)該知其所以然，而不僅僅是傳授給學(xué)生一個又一個的結(jié)論和技巧.如果老師都沒有“打破砂鍋問到底”的治學(xué)精神，何談對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng).因此，有必要對學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的一些困惑做一些探討，以供讀者參考.

2.問題與困惑

在高中階段，有很多教師在講解命題的否定與否命題的區(qū)別時，一般都是這樣解釋：

但這樣的解釋是否準確呢？我們來看這樣一個題目：

命題“?x∈R，使得x2+x+5=0”的否定形式為( ).

A．?x∈R，使得x2+x+5≠0

B．?x?R，使得x2+x+5≠0

C．?x∈R，使得x2+x+5≠0

D．??R，使得x2+x+5≠0

正確答案為A，如果僅僅是為了完成此類題目的解答，我們是有一定的方法：存在命題“?x0∈M，p(x0)”的否定為全稱命題“?x∈M，p(x)”，全稱命題“?x∈M，p(x)”的否定為存在命題“?x0∈M，p(x0)”.

按照這個策略，在本題的解答中，只需把條件中的存在改成任意，結(jié)論中的等式變?yōu)椴坏燃纯?題目雖然完成了，其實在我們心中還是有那么一些困惑：

(1)命題的否定不是“不否定條件，只否定結(jié)論”嗎？為什么還要把存在改成任意呢？難道存在不是條件嗎？

(2)命題“若p則q”的否定難道不是“若p則q”嗎？

(3)原命題與命題的否定形式真假性必然相反，上題中原命題“?x∈R，使得x2+x+5=0”是假命題，但是C答案“?x∈R，使得x2+x+5≠0”為真命題，那么為什么正確答案不是C呢？

(4)上述命題的否命題如何表示呢？下列寫法有正確的結(jié)果嗎？

A.?x?R，使得x2+x+5≠0；

B.?x?R，使得x2+x+5≠0；

C.?x∈R，使得x2+x+5≠0.

3.溯源與釋疑

3.1 命題邏輯與一階邏輯

為了溯本求源，搞清楚上述問題的本質(zhì)，我們首先有必要弄清楚什么是命題邏輯和一階邏輯.

所謂命題邏輯(proposition logic)，是一種處理簡單的陳述性命題的邏輯，它研究的基本單位是簡單命題，對簡單命題不再分解，并且不考慮命題之間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系.說簡單通俗點，對命題邏輯而言，在命題“若p則q”中，p與q不能是開語句，必須是能判斷真假的陳述句，即一個簡單的命題.

一階邏輯(First-orderlogic)，也稱謂詞邏輯，它不同于單純的命題邏輯，它對簡單的命題再組分，分析出個體詞、謂詞和量詞，以期達到表達出個體和總體的內(nèi)在聯(lián)系與數(shù)量關(guān)系.說通俗和局限性一點，一階邏輯就是在命題邏輯基礎(chǔ)上引入存在量詞和全稱量詞的邏輯.

一階邏輯是對命題邏輯的一種補充和拓展，也可以說命題邏輯是一階邏輯的子集.本文為了研究方便，把一階邏輯中含有全稱量詞和存在量詞的邏輯稱為量詞邏輯，對一階邏輯的研究也僅限于量詞邏輯.

3.2 命題邏輯之充分條件假言命題

3.2.1 重新認識“p→q”

對于命題“p→q”，我們的一般認識是p推出q，即在條件p成立的前提下，結(jié)論q成立，那么“p→q”就是一個真命題.但是在數(shù)理邏輯中，“p→q”形式的命題被稱為充分條件假言命題，它并非按照p與q之間能否推出作為標準來得到命題的真假，而只是從p與q真假關(guān)系的角度去處理.其真值表如下：

pqp→q111100011001

注:1表示真,0表示假.

我們從真值表可以看出，p假q真以及p假q假，命題“p→q”都是真命題.這與我們平時的認識有較大的區(qū)別，對于高中學(xué)生而言還難于理解.從而我們也可以得出結(jié)論，只要q真，“p→q”為真；若q為假，只需p為假，“p→q”也為真.因此，“p→q”其實等價于“p∨q”.

另一方面，從集合角度，對于“p→q”，若p為假時，可以理解為空集，而空集是任何集合的子集，故“p實質(zhì)蘊涵于q”，即“p→q”是真命題.從而，在這種所謂實質(zhì)蘊涵命題中，前后件不必具有必然聯(lián)系，而是把意義問題暫置不顧，只考慮p、q真假，不考慮它們的內(nèi)在內(nèi)容、意義方面的聯(lián)系.

從上可以看出，把“若p則q”理解為“p推出q”顯然是有局限性的.比如，就充分條件假言命題而言，命題“若3>2,則5=5”為真命題，但不能說由“3>2”推出“5=5”.但是有人肯定有疑問，類似“若1+1=2，則地球圍繞太陽轉(zhuǎn)”、“若1+1≠2，則地球圍繞太陽轉(zhuǎn)”的命題有什么意義嗎？于此，我們在前面也談到，討論充分條件假言命題的真假性問題只是一個數(shù)學(xué)形式化的理論問題，它并不考慮命題之間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系.當(dāng)然在實際運用的時候，人們往往關(guān)注的是前提為真時會得出什么結(jié)論，也沒有人會故意用假的前提來作推理，所以實質(zhì)蘊涵命題中出現(xiàn)的這個問題不影響邏輯的使用.

3.2.2 重新認識“p→q”的否定

從上面“p→q”的真值表不難得出：只有在前件真而且后件假的情況下，“p→q”才是假，其余三種情況都是真.因此，我們可以得出結(jié)論：“p→q”的否定是“p∧q”.但是，“p∧q”與“p→q”又有什么區(qū)別呢？事實上，對于“p→q”的理解，與上面對“p→q”的分析理解一樣，不能局限于傳統(tǒng)的“推出”二字理解，需從前后件真假性角度來分析理解.所以，“p→q”的真假性分析有四種情況，就不單單是“p∧q”這一種情況了！

3.3 一階邏輯之量詞邏輯

3.3.1 量詞邏輯的否定

在一階邏輯里使用了“限量詞變量(Quaritifiedvariables)”(如：?、?等)的邏輯，我們在本文中稱為量詞邏輯.在量詞邏輯中，前后件之間存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系，命題邏輯的一些相關(guān)邏輯規(guī)則就不再適用了.

對于量詞邏輯的否定，我們不能輕易下結(jié)論，我們首先要明確命題否定的意義.根據(jù)普通高中人教A版選修2-1第一章《常用邏輯用語》中對命題否定的定義，我們知道了對命題的否定一定是要全盤否定.這就要求我們對命題的否定不光是要從邏輯形式上進行否定，更重要的還要從內(nèi)容上進行否定.

為了達到對命題進行全盤否定的目的，為了避免防止形式上的問題，最好從集合的角度加以理解和驗證，即對一種(或若干種)情況的否定，其實就是找剩余的所有情況，也就是求補集.

但是，在量詞邏輯里，最大的問題就是省略量詞的情形普遍存在，這就很容易給我們造成誤解.為了避免這個問題，我們在對命題進行邏輯分析時，先判斷命題是否為量詞邏輯，如果是，必須先補充完整省略的量詞，這才能有效地防止錯誤的發(fā)生.

如寫出命題“若x=1或x=2，則x=1”的否定形式.如果不加以邏輯分析，其否定形式就會貿(mào)然寫成“若x=1或x=2，則x≠1”，這顯然是錯誤的.正確的做法是，先確定該命題是一個全稱命題，然后補充省略的量詞后再寫為“對任意的實數(shù)x=1或x=2，有x=1”，于是其否定形式為一個存在命題“在x=1或x=2中至少有一個x，使得x≠1”.

再如命題“兩個無理數(shù)的和是無理數(shù)”的否定容易錯寫為“兩個無理數(shù)的和不是無理數(shù)”，正確的做法是先補充省略的全稱量詞后寫為“任意兩個無理數(shù)之和是無理數(shù)”，再寫出其否定形式“存在兩個無理數(shù)，使得它們的和不是無理數(shù)”.

3.3.2 量詞邏輯的否命題

對于命題的否命題而言，不再需要對整個命題進行否定，因此，全稱命題不需要再改為存在命題，存在命題也不需要再改為全稱命題.

如命題“在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，?x∈R,x2+x+5=0”，其否命題為“在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，?x?R,x2+x+5≠0”.又如命題“?x∈[-1,1],x2≤4”，其否命題為“?x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2>4”

當(dāng)然，否命題的真假，也可以通過判斷原命題的逆命題的真假而得出結(jié)論.

4.結(jié)語

通過對命題邏輯以及一階邏輯中的量詞邏輯的分析，我們從站在數(shù)理邏輯的理論高度，力求言簡意賅對文首提出的若干疑問進行了解釋，希望對我們今后繼續(xù)學(xué)習(xí)邏輯推理有一定的積極作用.但是對于高中教材而言，只要求考慮明確地給出條件和結(jié)論的命題，對那種易混淆的命題不予考慮；而高中一線教師在實際教學(xué)中也僅對教材中涉及的內(nèi)容進行歸納總結(jié)，從而得出一系列的解題結(jié)論和技巧，類似“對命題的否定就是條件不變，只否定結(jié)論”等也就應(yīng)運而生，而且在一般情況下還很“實用”.但當(dāng)遇到較為復(fù)雜的命題時，卻又感到矛盾重重、力不從心、束手無策了.既要讓學(xué)生理解數(shù)理邏輯的一些基本的知識，又不脫離高中課程標準，這恐怕也是教材編寫者和一線教師們該認真思考的問題.