弱f-clean環(huán)

吳 丹， 殷曉斌

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

除非特別說(shuō)明，本文中的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)。設(shè)R是環(huán)，U(R)、Id(R)、J(R)分別表示R的可逆元集合，R的冪等元集合和R的Jacobson根；Mn(R)表示環(huán)R上的n階全矩陣環(huán)。Tn(R)表示R上的n階上三角矩陣環(huán)。Zm表示整數(shù)環(huán)Z模m的剩余類(lèi)環(huán)。

1977年，Nicholson[1]提出了clean環(huán)的概念，稱a在R中是clean元，如果a=e+u，其中e∈Id(R)，u∈U(R)。如果R中的任意元素都是clean元，則稱環(huán)R為clean環(huán)。近幾十年來(lái)國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)clean環(huán)的相關(guān)性質(zhì)及其推廣做了很多研究[1-10]。2006年，Ahn等[2]提出了弱clean環(huán)的概念，稱a在R中是弱clean元，如果a=e+u或a=-e+u，其中e∈Id(R)，u∈U(R)。如果R中的任意元素都是弱clean元，則稱環(huán)R為弱clean環(huán)。2010年，李炳君等[3]將clean環(huán)的概念推廣到f-clean環(huán)，即R中的每個(gè)元素都可以寫(xiě)成一個(gè)冪等元和一個(gè)滿元素的和的形式。2011年，劉麗等[4]提出了強(qiáng)f-clean環(huán)的概念。稱環(huán)R為強(qiáng)f-clean環(huán)，若R中的每個(gè)元素都可以寫(xiě)成一個(gè)冪等元和一個(gè)滿元素的和的形式且其中冪等元和滿元素是可交換的。2013年，張雪等[5]對(duì)f-clean環(huán)和半-clean環(huán)進(jìn)行了推廣，提出了f-半-clean環(huán)的概念。稱環(huán)R為f-半-clean環(huán)，若R中的每個(gè)元素都可以寫(xiě)成一個(gè)周期元和一個(gè)滿元素的和的形式。同年，張培雨等[6]引入了FR-環(huán)的概念。稱環(huán)R為FR-環(huán)，若R中的每個(gè)元素都可以寫(xiě)成一個(gè)正則元和一個(gè)滿元素的和的形式。

受到上述啟發(fā)，本文定義了弱f-clean環(huán)，研究了弱f-clean環(huán)的一些性質(zhì)，得到如下主要結(jié)果：(1)在R是左擬duo環(huán)的情況下，R是弱clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是弱f-clean環(huán)。(2)一簇環(huán){Rα}α∈I中，每個(gè)Rα都是弱f-clean環(huán)且至多一個(gè)Rα不是f-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R=∏Rα是弱f-clean環(huán)。(3)設(shè)R是環(huán)，則下列條件等價(jià)：a.R是f-clean環(huán)；b.任意整數(shù)n≥1，Tn(R)是f-clean環(huán)；c.任意整數(shù)n≥2，Tn(R)是弱f-clean環(huán)；d.任意整數(shù)n≥2，Dn(R)是弱f-clean環(huán)。(4)f-clean環(huán)R的平凡擴(kuò)張和理想擴(kuò)張仍是弱f-clean環(huán)。

1 弱f-clean環(huán)

定義1.1[3]設(shè)R為環(huán)，稱元素k∈R是滿元素，若存在s，t∈R，使得skt=1。我們用K(R)表示R中所有滿元素的集合。

顯然，可逆元以及單邊可逆元都是滿元素。

定義1.2設(shè)R為環(huán)，稱元素a∈R是弱f-clean元，若存在e∈Id(R)，w∈K(R)，使得a=e+w或a=-e+w。稱環(huán)R為弱f-clean環(huán)，如果它的每個(gè)元素都是弱f-clean元。

注1.1clean元是f-clean元，但f-clean元不是clean元。

稱環(huán)R為左擬duo環(huán)[11]，如果環(huán)R中每一個(gè)極大左理想是雙邊理想。

定理1.1令R是左擬duo環(huán)，則下列條件等價(jià)：

(1)R是弱clean環(huán)；

(2)R是弱f-clean環(huán)。

證明(1)?(2)顯然。

(2)?(1)只需證w∈K(R)時(shí)，w∈U(R)。設(shè)存在s,t∈R，使得swt=1，所以s是右可逆。假設(shè)s不是左可逆，那么Rs≠R，并且在R中存在一個(gè)極大左理想M，使得Rs?M≠R。因?yàn)镽是左擬duo環(huán)，那么M是一個(gè)理想。注意s∈M，因此我們可以得到sR?M與s是右可逆矛盾，則wts=1，其中w是一個(gè)右可逆元素。類(lèi)似可得w是一個(gè)左可逆元素。所以w∈U(R)。得證。

注1.2f-clean環(huán)都是弱f-clean環(huán)，但是弱f-clean環(huán)不一定是f-clean環(huán)。

引理1.1[10]環(huán)R是一個(gè)單位正則環(huán)的充分且必要條件是環(huán)R的任一元素都可以寫(xiě)成R的一個(gè)單位與一個(gè)冪等元的乘積。

定理1.2如果R是單位正則環(huán)，且冪等元為中心冪等元，則R為f-clean環(huán)。

證明因?yàn)镽是單位正則環(huán)且冪等元為中心冪等元，所以對(duì)于任意的a∈R，有a=ue=eu，其中e2=e∈R，u∈U(R)。由于a=ue=(1-e)+(ue+e-1)，我們令s=u-1e+e-1，t=1。又因s，t∈R，s(ue+e-1)t=(u-1e+e-1)(ue+e-1)=1，所以u(píng)e+e-1∈K(R)。因?yàn)?-e是冪等的，a是任意的，所以R為f-clean環(huán)。

命題1.1弱f-clean環(huán)的同態(tài)像仍是弱f-clean環(huán)。

(?)由命題1.1即得。

引理1.2如果e是環(huán)R中的冪等元和a是環(huán)eRe中的弱f-clean元，則a是環(huán)R中的弱f-clean元。

證明由a是環(huán)eRe中的弱f-clean元知，a=s+d或a=s-d，其中d∈Id(eRe)，s∈K(eRe)。設(shè)存在t,r∈eRe，使得tsr=e。當(dāng)a=s+d時(shí)，(t-(1-e))(s-(1-e))(r+(1-e))=tsr+(1-e)=e+(1-e)=1，所以s-(1-e)∈K(R)。又因?yàn)閐+(1-e)∈Id(R)，所以a=s+d=(s-(1-e))+(d+(1-e))是環(huán)R中的弱f-clean元。當(dāng)a=s-d時(shí)，(t+(1-e))(s+(1-e))(r+(1-e))=tsr+(1-e)=e+(1-e)=1。所以s+(1-e)∈K(R)。又因?yàn)閐+(1-e)∈Id(R)，所以a=s-d=(s+(1-e))-(d+(1-e))是環(huán)R中的弱f-clean元。

引理1.3設(shè)R為環(huán)，e是R中的中心冪等元，x是R中的弱f-clean元，那么ex是環(huán)eRe中的弱f-clean元。

證明因?yàn)閤是R中的弱f-clean元，所以設(shè)x=s+g或x=s-g，其中s∈K(R)，g∈Id(R)。所以ex=es+eg或ex=es-eg。易證es∈K(eRe)，eg∈Id(eRe)，所以ex是環(huán)eRe中的弱f-clean元。

定理1.4設(shè)環(huán)R是弱f-clean環(huán)，e是R中的中心冪等元，則eRe和(1-e)R(1-e)是弱f-clean環(huán)。

推論1.1令e1，……，en是正交中心冪等元且e1+e2+…en=1。任意的x∈R是弱f-clean元，則對(duì)任意的i，eix∈eiRei是弱f-clean元。

引理1.4設(shè)R為環(huán)，則下列條件等價(jià):

(1)R是f-clean環(huán)；

(2)對(duì)于每個(gè)R中的元素x，都有x=-e+w，其中e是R中的冪等元，w是滿元素。

證明(1)?(2)令x∈R。因?yàn)镽是f-clean環(huán)，所以有-x=e+w1，其中e是R中的冪等元，w1是滿元素。那么x=-e-w1。因?yàn)?w1也是滿元素，所以令w=-w1，則x=-e+w。

(2)?(1)任取x∈R，那么-x=-e+w2，其中e是R中的冪等元，w2是滿元素。于是有x=e-w2。因?yàn)?w2也是滿元素，所以令w=-w2，則x=e+w。由x的任意性可知R是f-clean環(huán)。

定理1.5設(shè)I是有限指標(biāo)集，{Rα}α∈I是一簇環(huán)，則下列條件等價(jià)：

(1)R=ΠRα是弱f-clean環(huán)；

(2)每個(gè)Rα都是弱f-clean環(huán)且至多一個(gè)Rα不是f-clean環(huán)。

證明(1)?(2)假設(shè)R是弱f-clean環(huán)，那么每個(gè)Rα作為R的同態(tài)像是弱f-clean環(huán)。假設(shè)Rα1，Rα2不是f-clean環(huán)，其中α1≠α2。因?yàn)镽α1是弱f-clean環(huán)且不是f-clean環(huán)，所以存在xα1∈Rα1，xα1=wα1+eα1，其中wα1∈K(Rα1)，eα1∈Id(Rα1)，但是對(duì)于任意w∈K(Rα1)，e∈Id(Rα1)，xα1≠w-e。類(lèi)似地存在xα2∈Rα2，xα2=wα2-eα2，其中wα2∈K(Rα2)，eα2∈Id(Rα2)，但是對(duì)于任意w∈K(Rα2)，e∈Id(Rα2)，xα2≠w+e。令x=(xα)∈R，當(dāng)α∈{α1,α2}時(shí)，xα=xαi；當(dāng)α?{α1,α2}時(shí)，xα=0。則對(duì)于任意w∈K(R),e∈Id(R)，有x≠w±e。因此至多一個(gè)Rα不是f-clean環(huán)。

(2)?(1) 如果每個(gè)Rα都是f-clean環(huán)，那么R=ΠRα是f-clean環(huán)。因此R=ΠRα是弱f-clean環(huán)。假設(shè)Rα0是弱f-clean環(huán)，但不是f-clean環(huán)，其它Rα都是f-clean環(huán)。設(shè)x=(xα)∈R，那么在Rα0中，我們有xα0=wα0+eα0或xα0=wα0-eα0，w∈K(Rα0)，e∈Id(Rα0)。如果xα0=wα0+eα0，那么對(duì)α≠α0，令xα=wα+eα。如果xα0=wα0-eα0，那么對(duì)α≠α0，令xα=wα-eα。存在w=(wα)∈R，e=(eα)∈R，使得x=w+e或x=w-e。因此R是弱f-clean環(huán)。

定理1.6如果R是弱f-clean環(huán)，2∈U(R)，則R中的每個(gè)元素都可以表示成不超過(guò)兩個(gè)可逆元與一個(gè)滿元素的和。

2 弱f-clean環(huán)的擴(kuò)張

設(shè)α:R→R是環(huán)同態(tài)，R關(guān)于α的斜冪級(jí)數(shù)環(huán)R[[x;α]]={f(x)|f(x)∈R[[x]]}，其中加法同冪級(jí)數(shù)環(huán)中的加法，乘法是對(duì)于任意r∈R，有xr=α(r)x；特別地，R[[x]]=R[[x;1R]]。

定理2.1設(shè)R為環(huán)，則下列條件等價(jià)：

(1)R是弱f-clean環(huán)；

(2)形式冪級(jí)數(shù)環(huán)R[[x]]是弱f-clean環(huán)；

(3)斜冪級(jí)數(shù)環(huán)R[[x;α]]是弱f-clean環(huán)，其中α是R的自同態(tài)。

證明(2)?(1)由R是R[[x]]的同態(tài)像可得。

(3)?(2)在(1)?(3)中取α=1R即證。

設(shè)R為環(huán)，我們記Dn(R)={diag(a11,a22,…,ann)|aii∈R,i=1…n}。

定理2.2設(shè)R是環(huán)，則以下條件等價(jià)：

(1)R是f-clean環(huán)；

(2)任意整數(shù)n≥1，Tn(R)是f-clean環(huán)；

(3)任意整數(shù)n≥2，Tn(R)是弱f-clean環(huán)；

(4)任意整數(shù)n≥2，Dn(R)是弱f-clean環(huán)。

顯然，diag(e,E1)在Tk+1(R)中是一個(gè)冪等矩陣。因?yàn)閣是滿元素，所以存在s,t∈R，使得swt=1。因?yàn)閃1是滿矩陣，所以存在S1，T1∈Tk(R)，使得S1W1T1=Ek。設(shè)

(2)?(3)顯然成立。

(3)?(4)令Kn(R)={(aij)∈Tn(R)|aii=0}，則Tn(R)/Kn(R)?Dn(R)。因?yàn)門(mén)n(R)是弱f-clean環(huán)，所以Dn(R)是弱f-clean環(huán)。

(4)?(1)因?yàn)镈n(R)={diag(a11,a22,…,ann)|aii∈R,i=1…n}是弱f-clean環(huán)，所以存在冪等矩陣E和滿矩陣W，使得Dn(R)=E+W或者Dn(R)=-E+W，其中E=diag(e1,e2,…,en)，對(duì)于任意i∈N，ei∈Id(R)，W=diag(w1,w2,…wn)，對(duì)于任意i∈N，wi∈K(R)。當(dāng)Dn(R)=E+W時(shí)ai=ei+wi，i∈N。當(dāng)Dn(R)=-E+W時(shí)，ai=-ei+wi，i∈N。由定理1.5得R是f-clean環(huán)。

設(shè)R是一個(gè)環(huán)，R通過(guò)R-R-雙模V的平凡擴(kuò)張定義為T(mén)(R，V)=R⊕V。其加法運(yùn)算為按坐標(biāo)相加，即(r，v)+(s，w)=(r+s，v+w)；乘法運(yùn)算為(r，v)(s，w)=(rs，rw+vs)。顯然(1，0)是T(R，V)的單位元。

定理2.4如果R是弱f-clean環(huán)，則R通過(guò)V的平凡擴(kuò)張E=T(R，V)是弱f-clean環(huán)。

證明對(duì)于任意的a=(r，v)∈T(R，V)，存在r=e+w或r=-e+w，e2=e∈R，w∈K(R)。于是a可以表示成a=(r，v)=(e，0)+(w，v)或a=(r，v)=-(e，0)+(w，v)。因?yàn)?e，0)(e，0)=(e，0)，所以(e，0)是T(R，V)中的冪等元。下面證明(w,v)∈K(E)。由于存在s,t∈R，使得swt=1。因?yàn)?s，-svts)(w，v)(t，0)=(swt，svt-svtswt)=(1，svt-svt)=(1，0)，故(w,v)∈K(E)。故E=T(R，V)是弱f-clean環(huán)。

設(shè)R是一個(gè)環(huán)，V是R-R-雙模，并且對(duì)于任意v，w∈V，r∈R都有(vw)r=v(wr)，(vr)w=v(rw)，(rv)w=r(vw)。R通過(guò)V的擴(kuò)張構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為理想擴(kuò)張，記作I(R,V)=R⊕V。其加法運(yùn)算為按坐標(biāo)相加，即(r，v)+(s，w)=(r+s，v+w)；乘法運(yùn)算為(r，v)(s，w)=(rs，rw+vs+vw)。顯然(1，0)是I(R，V)的單位元。

定理2.5如果R是弱f-clean環(huán)，并且對(duì)于任意的v∈V，存在w∈V，使得v+w+wv=0，則R通過(guò)V的理想擴(kuò)張T=I(R，V)是弱f-clean環(huán)。

證明設(shè)s=(r,v)∈I(R,V)，則r=e+u或r=-e+u，e2=e∈R，u∈K(R)。于是s=(e，0)+(u，v)或s=-(e，0)+(u，v)。顯然，(e，0)在T中是冪等的，接下來(lái)只需證(u,v)∈K(T)。由于存在s,t∈R，使得sut=1。由題中假設(shè)，存在w∈V，使得svt+w+wsvt=0。因?yàn)?s，ws)(u，v)(t，0)=(sut，svt+w+wsvt)=(1，0)，所以(u,v)∈K(T)，故T=I(R，V)是弱f-clean環(huán)。