兩類三狀態(tài)混合系統可靠度優(yōu)化方法

周天寵　修春

摘要：論文研究以開路、短路失效作為失效模式，并由相同（串聯）子系統串、并聯組成的三狀態(tài)系統模型。由定義得到系統可靠度的計算公式，給出優(yōu)化方法，并驗證優(yōu)化定理。舉例計算兩類系統模型的最優(yōu)部件數，可靠度。得出結論：三狀態(tài)系統部件組合，并聯不一定優(yōu)于串聯。且在最優(yōu)條件下，三狀態(tài)串聯系統的可靠度大于三狀態(tài)并聯系統的可靠度。

Abstract： This paper studies a three-state system model with open circuit and short circuit failure as failure modes and composed of the same（series） subsystem series and parallel. The formula of system reliability is obtained from the definition， the optimization method is given， and the optimization theorem is verified. An example is used to calculate the optimal number of parts and reliability of the two system models. It is concluded that the combination of parts of a three-state system is not necessarily better in parallel than in series. Under optimal conditions， the reliability of a three-state tandem system is greater than that of a three-state parallel system.

關鍵詞：三狀態(tài);復雜系統;可靠度

Key words： three-state;complex system;reliability

中圖分類號：O213.2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）05-0219-03

0? 引言

系統可靠性是檢驗產品質量的重要屬性。在不考慮約束條件的前提下，如何優(yōu)化部件數量，成為系統可靠性設計過程中要考慮的重要問題。而在處理實際問題中，以往論文將系統看作二狀態(tài)，即只有正常和失效兩種狀態(tài)。周天寵，孟憲云等給出了三狀態(tài)系統（正常、開路失效、短路失效）可靠度優(yōu)化方法，應用該方法得出優(yōu)化部件數目。本文將系統模型進一步具體化，對相同串聯子系統分別串、并聯組合而成的兩類三狀態(tài)混合系統模型，分別定義開路失效、短路失效兩種失效模式，給出可靠度公式及優(yōu)化方法，并用實例驗證。

1? 兩類三狀態(tài)混合系統的可靠性分析

設n級相同子系統分別串聯、并聯組成為兩類三狀態(tài)系統模型，每級子系統由兩個不同元件串聯組成。兩類系統模型分別如圖1、圖2所示。設t=0時，各元件均為三種互斥狀態(tài)，即正常、開路失效、短路失效。

定義1 由n個子系統組成的串聯系統模型，若至少有一個子系統開路失效，則稱系統開路失效。若各子系統均短路失效，則稱系統模型短路失效。

定義2 由n個子系統組成的并聯系統模型，若各子系統均開路失效，則稱系統開路失效。若至少有一個子系統短路失效，則稱系統模型短路失效。

由定義1、2得圖1系統模型的開路失效概率

短路失效概率

則圖1系統模型的可靠度

式中F0i（t）為第i個元件t時刻開路失效的概率，Fsi（t）為第i個元件t時刻短路失效的概率（i=1，2）。

由定義1、2得圖2系統模型的開路失效概率

短路失效概率

則圖2系統模型的可靠度

2? 可靠度優(yōu)化方法

三狀態(tài)系統由于具有兩種失效模式，可靠度變化情況比較復雜。這里通過優(yōu)化子系統個數，使系統的可靠度達到最大。亦即求最優(yōu)的n，使式（1）、式（2）的可靠度Rn（t）達到最大。

定理1? 若令

則使得式（1）的可靠度Rn（t）達到最大的n是

其中[x]為實數x的整數函數。

證明? 設n為使得圖1系統模型可靠度Rn（t）達到最大值的子系統個數，由已知條件，使得式（1）的可靠度Rn（t）達到最大，于是：

用式（3）的記號表示n1，由式（5）、（6）得：若n1不是整數，則取n=[n1]+1，若n1是整數，則取n=n1或n1+1。因此使可靠度Rn（t）達到最大的n由式（4）給出，證畢。

實例1：由n級相同子系統組成的三狀態(tài)串聯系統，每級子系統由兩個不同元件串聯組成。設各級子系統中兩個串聯元件的開路失效率、短路失效率分別為：

根據定理1，由式（6）可知最優(yōu)解

對于二狀態(tài)系統，相同子系統串聯個數越少（即只有一個子系統）時可靠度越高，由本實例可知在三狀態(tài)系統中，與二狀態(tài)同樣，子系統串聯個數為1時可靠度最大。

則使得式（2）的Rn（t）達到最大的n是

其中[x]為實數x的整數函數。

證明? 設n為使得圖2系統模型可靠度Rn（t）達到最大值的子系統個數，由已知條件，使得式（2）的可靠度Rn（t）達到最大，于是：

兩邊取對數整理得

用式（7）的記號表示，由式（9）、（10）得：若n2不是整數，則取，若n2是整數，則取n=n2或n2+1。因此使Rn（t）達到最大的n由式（8）給出，證畢。

實例2：由n級相同子系統組成的三狀態(tài)并聯系統，每級子系統由兩個不同元件串聯組成。設各級子系統中兩個串聯元件的開路失效率、短路失效率分別為：F01=0.45，求最優(yōu)子系統個數及相應的可靠度。

根據定理2，由式（10）可知最優(yōu)解

對于二狀態(tài)系統，相同子系統并聯個數越多時可靠度越高，而由本實例可知在三狀態(tài)系統中，子系統并聯個數為3時可靠度最大：。

3? 小結

根據實例1、實例2得知，相同子系統分別按照串、并聯的組成方式，得到的最優(yōu)子系統優(yōu)化數目是不同的。通過實例比較得由三狀態(tài)元件組成的系統中子系統并聯個數多于串聯個數，且在最優(yōu)條件下，三狀態(tài)串聯系統的可靠度大于三狀態(tài)并聯系統的可靠度。

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