非線性Mohr—Coulomb破壞準(zhǔn)則下邊坡可靠度上限

賀志軍　曹吉　趙煉恒　瞿召乾　楊勝博

摘要：傳統(tǒng)邊坡可靠度分析往往在巖土參數(shù)服從線性Mohr-coulomb（簡(jiǎn)稱線性M-c）破壞準(zhǔn)則的假設(shè)條件下進(jìn)行，并且常常采用極限平衡法或有限元法計(jì)算安全系數(shù)。然而，巖土介質(zhì)破壞準(zhǔn)則具有一定的非線性。為能更加實(shí)際地描述巖土破壞機(jī)理和得到嚴(yán)格精確的解，基于非線性Mohr-coulomb（簡(jiǎn)稱非線性M-c）破壞準(zhǔn)則，結(jié)合極限分析上限法和蒙特卡洛法，進(jìn)行邊坡可靠度上限分析。當(dāng)非線性參數(shù)m=1時(shí)，與等效的線性M-c破壞準(zhǔn)則進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，驗(yàn)證了方法的可行性。同時(shí)，將初始粘聚力、內(nèi)摩擦角arctan（C_{o/σt）和非線性參數(shù)作為隨機(jī)變量且服從截?cái)嗾龖B(tài)分布，進(jìn)行了參數(shù)變異性和敏感性影響分析。研究表明：非線性M-c破壞準(zhǔn)則下，邊坡可靠度隨初始粘聚力、內(nèi)摩擦角arctan（Co/σt）和非線性參數(shù)變異性的增大而減小；邊坡可靠度隨初始粘聚力和內(nèi)摩擦角arctan（Co/σt）的增大而增大，隨非線性參數(shù)的增大而減小。}

關(guān)鍵詞：邊坡；可靠度；破壞準(zhǔn)則；極限分析；蒙特卡洛法

中圖分類號(hào)：TU 457

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-4764（2016）06-0001-09

邊坡穩(wěn)定性問題一直是巖土工程的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。目前，邊坡穩(wěn)定性分析主要有兩大體系：確定性體系與不確定性體系（可靠度體系）。確定性體系使用極限平衡法、數(shù)值模擬法或極限分析法等方法分析邊坡的穩(wěn)定性，求得邊坡最小安全系數(shù)，以此作為邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)指標(biāo)。然而，邊坡是一個(gè)極其復(fù)雜的系統(tǒng)，巖土參數(shù)具有明顯的隨機(jī)性，采用確定性體系分析邊坡穩(wěn)定性不符實(shí)際。文獻(xiàn)[2-3]也指出：由于安全系數(shù)沒有考慮參數(shù)隨機(jī)性和離散型對(duì)結(jié)果的影響，導(dǎo)致實(shí)際工程中很多結(jié)構(gòu)在滿足安全系數(shù)的條件下依然出現(xiàn)了破壞現(xiàn)象。以概率論為基礎(chǔ)的可靠度體系可考慮邊坡系統(tǒng)內(nèi)部的隨機(jī)關(guān)系，可給出邊坡穩(wěn)定程度，因而可以彌補(bǔ)用單一安全系數(shù)分析邊坡穩(wěn)定性的局限性。

邊坡可靠度分析主要有兩大步驟：一是構(gòu)建計(jì)算邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的模型（功能函數(shù)）；二是使用可靠度分析方法計(jì)算邊坡可靠度（失效概率或可靠度指標(biāo)）。在構(gòu)建模型方面，目前應(yīng)用最廣泛的是極限平衡法，該方法理論簡(jiǎn)單、易于實(shí)施，但所作假設(shè)較多，根據(jù)塑性理論可知，該方法所獲解答不是嚴(yán)格的上下限解。另一應(yīng)用廣泛的方法是數(shù)值方法，該方法將有限元技術(shù)應(yīng)用到邊坡穩(wěn)定性分析中，可以考慮土體與其中結(jié)構(gòu)物的共同作用，但其所得到的極限荷載值仍不夠精確。相比上述兩種方法，極限分析法可以得到邊坡極限荷載的嚴(yán)格上限解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行可靠度分析，可以得到嚴(yán)格邊坡可靠度上限值，這對(duì)于分析邊坡穩(wěn)定性可能具有重要意義。在可靠度分析方法方面，常用的分析方法有一次二階矩法、JC法、MonteCarlo法等。其中，Monte Carlo法被認(rèn)為是一種相對(duì)精確的方法，根據(jù)大數(shù)定律，只要抽樣次數(shù)足夠大，其精度就能足夠高。目前，眾多學(xué)者應(yīng)用可靠度分析理論對(duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行研究均是在線性M-C破壞準(zhǔn)則假設(shè)下進(jìn)行的。而事實(shí)上，巖土介質(zhì)服從非線性破壞準(zhǔn)則，線性破壞準(zhǔn)則只是一種特例：將更為符合實(shí)際的略微彎曲巖土材料強(qiáng)度線簡(jiǎn)化成直線形狀，該方法雖簡(jiǎn)單易于分析，但無法準(zhǔn)確表述巖土強(qiáng)度特性。因此，考慮巖土破壞準(zhǔn)則為非線性情況下的邊坡可靠度研究顯得十分必要。1987年，Zhang等提出了冪函數(shù)非線性破壞準(zhǔn)則，爾后，大量學(xué)者對(duì)基于該破壞準(zhǔn)則下的邊坡穩(wěn)定性問題進(jìn)行了深入研究，非線性M-C破壞準(zhǔn)則得到快速發(fā)展且已較為成熟。但多年來，鮮見基于非線性M-C破壞準(zhǔn)則下邊坡可靠度的深入研究。

基于以上考慮，在非線性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則下，結(jié)合外切線技術(shù)和強(qiáng)度折減技術(shù)計(jì)算邊坡安全系數(shù)上限解，進(jìn)一步運(yùn)用蒙特卡洛法計(jì)算邊坡可靠度。通過與基于線性M-C破壞準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了方法的可行性。并視初始粘聚力C_{o、內(nèi)摩擦角arctan（Co/σt）與非線性參數(shù)m為隨機(jī)參數(shù)且服從截?cái)嗾龖B(tài)分布，研究非線性M-C破壞準(zhǔn)則下各參數(shù)變異性、敏感性對(duì)均質(zhì)各向同性邊坡可靠度的影響。}

1.非線性M-C破壞準(zhǔn)則及抗剪強(qiáng)度參數(shù)引入方法

2.基于強(qiáng)度折減技術(shù)的邊坡極限分析上限法

邊坡可靠度分析中，安全系數(shù)計(jì)算式表示了邊坡安全系數(shù)與土工參數(shù)之問的關(guān)聯(lián)關(guān)系，作為功能函數(shù)的構(gòu)建主體至關(guān)重要。極限分析上限法基于虛功率原理推導(dǎo)，根據(jù)外力做功和內(nèi)部耗能相等原理獲得目標(biāo)函數(shù)并根據(jù)能量耗散最小化原理獲得極限荷載的最小值，進(jìn)一步結(jié)合強(qiáng)度折減技術(shù)可獲得嚴(yán)格精確的安全系數(shù)上限解。

選取符合簡(jiǎn)單邊坡的對(duì)數(shù)螺旋面破壞機(jī)構(gòu)作為破壞模式，以通過坡趾下的對(duì)數(shù)螺旋線旋轉(zhuǎn)間斷機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行分析，如圖2。剛性塊體ABCCA繞旋轉(zhuǎn)中心O相對(duì)對(duì)數(shù)螺旋面BC以下的靜止材料作剛體旋轉(zhuǎn)，BC'是速度問斷面。ABCCA區(qū)重力做功率為外荷載功率；問斷面BC上滑面耗損率為

在已知邊坡幾何尺寸及巖土材料參數(shù)條件下，邊坡安全系數(shù)F_{a可由θCh、θCD、β、φt等4個(gè)未知參數(shù)確定，且安全系數(shù)計(jì)算公式是Fs的隱函數(shù)。將Fs作為目標(biāo)函數(shù)，通過非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃方法，利用Matlab軟件，可求得邊坡最小安全系數(shù)Fs。}

3.基于非線性M-C破壞準(zhǔn)則的邊坡可靠度上限計(jì)算

3.1巖土隨機(jī)參數(shù)的選定及其分布類型

線性M-C破壞準(zhǔn)則下巖土參數(shù)分布類型已有大量研究成果。馬建全等認(rèn)為不同環(huán)境下巖土參數(shù)具有不用分布類型，同時(shí)，比較了巖土參數(shù)服從正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等不同分布類型下的邊坡可靠度大小；張繼周等從概率分布類型的產(chǎn)生背景、所描述對(duì)象的物理意義人手，研究各分布類型對(duì)可靠度分析的影響，得出正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布較為合理的結(jié)論；其他眾多邊坡可靠度研究亦在巖土參數(shù)服從正態(tài)分布下進(jìn)行。因此，筆者也選取正態(tài)分布作為巖土隨機(jī)參數(shù)的分布類型。

線性M-C破壞準(zhǔn)則下，巖土參數(shù)c與φ服從正態(tài)分布。由式（2）可知，當(dāng)m=1時(shí)，非線性M-C破壞準(zhǔn)則指數(shù)型表達(dá)式中的參數(shù)C_o與無量綱參數(shù)C_o/σ_t的反正切值arctan（C_o/σ_t）服從正態(tài)分布。當(dāng)m≠1時(shí)，假設(shè)參數(shù) C_o與內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）服從正態(tài)分布，并進(jìn)一步考慮非線性參數(shù)的變異性，假設(shè)m亦服從正態(tài)分布。由此，選取初始粘聚力c。內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）與非線性參數(shù)m作為隨機(jī)參數(shù)。

桂勇等在邊坡穩(wěn)定二元體系的建立中，采用同時(shí)考慮材料指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)分布和區(qū)間分布的方法，即截?cái)喾植?；Johari等在基于畢紹普法的地震邊坡穩(wěn)定概率模型建立中，采用截?cái)嗾龖B(tài)分布作為隨機(jī)變量的概率分布。截?cái)喾植伎梢钥紤]巖土參數(shù)具體變化范圍，更符合工程實(shí)際。選取截?cái)嗟恼龖B(tài)分布作為巖土隨機(jī)參數(shù)的分布類型，隨機(jī)參數(shù)概率密度函數(shù)為

4.對(duì)比分析

目前，鮮有非線性M-C破壞準(zhǔn)則方面的邊坡可靠度研究。為驗(yàn)證方法的可行性，基于線性M-C破壞準(zhǔn)則將邊坡可靠度上限解與Johari等、蔡寧等及呂楊的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。參數(shù)信息如表1所示，對(duì)比結(jié)果如表2所示。

由表2可知，線性M-C破壞準(zhǔn)則下本文結(jié)算結(jié)果與Johari等、蔡寧等及呂楊的計(jì)算結(jié)果失效概率P_F最大相差5.33%。最小相差0.90%，平均相差2.455%；可靠指標(biāo)口最大相差1.77%，最小相差0.57%，平均相差1.105%，表明該方法可行。

5.算例分析

選取一典型邊坡作為研究對(duì)象，如圖3所示。研究依據(jù)文獻(xiàn)確定巖土材料參數(shù)C_o和σ_t獲得參數(shù)c。與內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）的均值，分別為90kN/m°與20°（σ_t為247.3 kN/m。）。并假設(shè)坡角α=60。坡高H=25m，巖土容重y=20kN/m³，非線性參數(shù)均值um=1.6。隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)取值情況為：1）參數(shù)C_o與內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）沿用Johari等的c與ψ的變異系數(shù)，分別為0.20與0.10。2）非線性參數(shù)m對(duì)于不同巖土材料有一定變化范圍，因此，非線性參數(shù)m取較小變異系數(shù)符合實(shí)際工程，取值為0.05。截?cái)嗟恼龖B(tài)分布隨機(jī)參數(shù)如表3所示。

5.1參數(shù)變異性影響

為分析非線性M-C破壞準(zhǔn)則下隨機(jī)參數(shù)（以下簡(jiǎn)稱參數(shù)）的變異性對(duì)邊坡可靠度的影響，進(jìn)行參數(shù)變異性影響分析。當(dāng)參數(shù)變異系數(shù)的增加值δ=0、COV/3、2COV/3、3COV/3、4COV/3、5COV/3、6COV/3時(shí)，邊坡失效概率Pf的變化情況如圖4所示；邊坡可靠指標(biāo)β的變化情況如圖5所示。對(duì)應(yīng)（δ=0、δ=COV）的安全系數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比如圖6～7所示；對(duì)應(yīng)（δ=0、δ=COV）的可靠度相對(duì)變化如表4所示。

由圖4～7與表4可知，初始粘聚力C_o的變異性對(duì)邊坡可靠度具有較大影響；內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）與非線性參數(shù)m的變異性對(duì)邊坡可靠度的影響較小。隨著初始粘聚力變異系數(shù)的增大，邊可靠度減小得較為明顯，且這種變化幅度隨著變異系數(shù)的增大逐漸減??；隨著內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）與非線性參數(shù)變異系數(shù)的增大，邊坡可靠度減小且較為緩慢。

對(duì)于該算例，巖土材料參照文獻(xiàn)[12]選取，其初始粘聚力為90kN/m^{2初始內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）為20°。已有研究表明，結(jié)合上限理論與外切線技術(shù)后，所獲得的瞬時(shí)粘聚力C_t隨非線性參數(shù)的增大而增大，而瞬時(shí)內(nèi)摩擦角ψ_t隨非線性參數(shù)的增大而減小，可知該算例中粘聚力參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響占主導(dǎo)作用。同時(shí)，加之在計(jì)算過程中選取了較大的變異系數(shù)（20%），使得初始粘聚力的變異性對(duì)邊坡可靠度影響較其它參數(shù)大得多。}

5.2敏感性分析

為研究在非線性M-C破壞準(zhǔn)則下隨機(jī)參數(shù)（以下簡(jiǎn)稱參數(shù)）的變化對(duì)邊坡可靠度的影響，進(jìn)行參數(shù)敏感性分析。當(dāng)參數(shù)均值的增加值δ=0、std/3、2std/3、3std/3、4std/3、5std/3、6std/3時(shí)，邊坡失效概率Pf的變化情況如圖8所示；邊坡可靠指標(biāo)β的變化情況如圖9所示。對(duì)應(yīng)（δ=0、δ=td）的安全系數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比如圖10～11所示；對(duì)應(yīng)（δ=0、δ=std）的可靠度相對(duì)變化如表5所示。

由圖8～11和表5可知，初始粘聚力C_o的均值對(duì)邊坡可靠度有較大影響；無量綱參數(shù)arctan（C_o/σ_t）與非線性參數(shù)m的均值對(duì)邊坡可靠度的影響相對(duì)較小。隨著初始粘聚力和無量綱參數(shù)arctan（C_o/σ_t）均值的增大，抗剪強(qiáng)度參數(shù)C_t和ψ_t均增大，邊坡可靠度增大；隨著非線性參數(shù)均值的增大，抗剪強(qiáng)度參數(shù)C_t和ψ_t發(fā)生變化，邊坡可靠度減小。

6.結(jié)論

基于非線性M-C破壞準(zhǔn)則，結(jié)合外切線技術(shù)和強(qiáng)度折減技術(shù)，采用極限分析上限法求得邊坡安全系數(shù)上限解，進(jìn)一步運(yùn)用蒙特卡洛法計(jì)算邊坡的可靠度（失效概率Pf與可靠指標(biāo)β）。在線性M-C破壞準(zhǔn)則下，通過與已有算例對(duì)比計(jì)算，驗(yàn)證了方法的可行性。同時(shí)，基于非線性破壞準(zhǔn)則分析參數(shù)變異性和參數(shù)敏感性對(duì)邊坡可靠度的影響，得到如下結(jié)論：

1）邊坡可靠度隨初始粘聚力C_o、內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）和非線性參數(shù)m變異系數(shù)的增大而減小。

2）邊坡可靠度隨初始粘聚力c。和內(nèi)摩擦角arctan（C_o/σ_t）均值的增大而增大，隨非線性參數(shù)m均值的增大而減小。

工程實(shí)際中，巖土材料參數(shù)分布形態(tài)眾多，筆者研究的基于非線性M-C破壞準(zhǔn)則的邊坡可靠度上限分析僅采用截?cái)嗾龖B(tài)分布這一種，其他分布形態(tài)的研究有待深入；巖土材料參數(shù)取值范圍和變異系數(shù)差異較大，研究的基于非線性M-C破壞準(zhǔn)則的邊坡可靠度上限分析采用了已有文獻(xiàn)中參數(shù)分析的取值，符合工程實(shí)際的其他參數(shù)取值范圍和變異性的研究有待深入。