邊坡穩(wěn)定可靠度分析的新型四階矩法

周芬+郭奧飛+杜運興

摘 要：提出了一種邊坡穩(wěn)定可靠度分析的新型四階矩計算方法.該方法將均勻設(shè)計法、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和最大熵原理相結(jié)合對邊坡進(jìn)行可靠性分析.采用均勻設(shè)計法確定粘聚力和內(nèi)摩擦角的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本空間，并采用基于有限元的強度折減法計算樣本空間中樣本所對應(yīng)的邊坡安全系數(shù).利用這些樣本及對應(yīng)的安全系數(shù)訓(xùn)練徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲得滿足統(tǒng)計數(shù)量要求的邊坡安全系數(shù)，并計算邊坡安全系數(shù)前四階矩.利用最大熵原理得到邊坡安全系數(shù)的概率密度函數(shù)近似表達(dá)式、邊坡失效概率以及相應(yīng)的可靠指標(biāo).該方法的計算結(jié)果與蒙特卡羅法的計算結(jié)果對比表明該方法具有較高的精度.

關(guān)鍵詞：邊坡穩(wěn)定；均勻設(shè)計法；徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；最大熵；可靠度；四階矩

中圖分類號：TB83，TM753 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1674-2974（2016）05-0113-07

Abstract：In this study， a new four-order moment method for reliability analysis of slope stability was proposed. The reliability analysis of slope stability was conducted by the combination of the uniform design method， the RBF neural network technique， and the maximum entropy principle. The network training sample space of cohesion and internal friction angle was firstly determined by the uniform design method， and the slope safety factor related to the samples was obtained by the strength reduction method using the finite element analysis. The RBF neural network was trained by the samples and their corresponding safety factors. The safety factors of the slope satisfying the statistical requirement were obtained by the well-trained neural network， and the first four-order moments of the slope safety factor were calculated. Furthermore， the approximate expression of probability density function of the slope safety factor， the slope failure probability， and the corresponding reliability index were investigated by the maximum entropy principle. Compared with the results from Monte Carlo method， the proposed method shows high precision.

Key words：slope stability； uniform design method； RBF neural network； maximum entropy； reliability； four order moments

邊坡穩(wěn)定性分析方法是巖土工程的一個重要研究內(nèi)容.邊坡穩(wěn)定分析一般有確定性分析方法和基于概率的不確定性分析方法.杜運興[[1]和陳昌富[[2]基于確定性分析方法對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，通過計算得到邊坡安全系數(shù)評估邊坡的穩(wěn)定程度.然而由于土體參數(shù)的不確定性，在進(jìn)行邊坡穩(wěn)定分析時，采用基于概率的可靠度分析方法更為合適.目前，在邊坡穩(wěn)定可靠度分析中常用的分析方法有一次二階矩法[[3-4]、二次二階矩法[[5]、響應(yīng)面法[[6-7]、蒙特卡羅法[[8]等分析方法.采用一次二階矩法、二次二階矩法對邊坡進(jìn)行可靠度分析時需要在迭代點處對非正態(tài)隨機變量進(jìn)行近似當(dāng)量正態(tài)化，同時迭代求解過程較為繁瑣；采用響應(yīng)面法時受響應(yīng)面函數(shù)的形狀和試驗取樣點選取多少的影響較大；當(dāng)采用蒙特卡羅法進(jìn)行可靠度分析時，需要數(shù)十萬次的有限元數(shù)值分析，工作量太大.為了克服以上方法所帶來的問題，四階矩法是一個較好的方法.王宇[[9]將四階矩可靠度分析方法引入到邊坡工程可靠度分析中，提出了邊坡工程可靠度分析的最大熵法.左育龍[[10]針對巖土工程的功能函數(shù)強非線性且難以顯式表達(dá)的特點，提出了基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的四階矩法.以上兩種四階矩方法均利用泰勒級數(shù)展開的方法由基本隨機變量的前四階矩求得功能函數(shù)的前四階矩，并借助Pearson系統(tǒng)獲得功能函數(shù)的更高階矩.采用以上兩種四階矩方法時計算功能函數(shù)前四階矩的公式較為繁瑣并且會遇到隱式功能函數(shù)求偏導(dǎo)的問題.本文在這些研究的基礎(chǔ)上提出了一種邊坡穩(wěn)定可靠度分析的新四階矩計算方法.該方法將均勻設(shè)計法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和最大熵原理相結(jié)合對邊坡進(jìn)行可靠性分析，克服了以上兩種四階矩法所具有的缺點.該方法考慮了基本隨機變量的概率分布類型，首先采用均勻設(shè)計法確定粘聚力和內(nèi)摩擦角的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本空間，并采用基于有限元的強度折減法[[11]確定樣本空間中樣本對應(yīng)的邊坡安全系數(shù)，利用這些樣本以及樣本對應(yīng)的安全系數(shù)訓(xùn)練徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)獲得滿足統(tǒng)計數(shù)量要求的安全系數(shù)，并計算邊坡安全系數(shù)的前四階矩.利用最大熵原理得到邊坡安全系數(shù)的概率密度函數(shù)近似表達(dá)式、邊坡失效概率以及相應(yīng)的可靠度.雖然均勻設(shè)計法、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、最大熵方法在可靠度領(lǐng)域均已被采用，然而將該3種方法的結(jié)合運用尚屬首次.

1 邊坡穩(wěn)定可靠度分析

1.1 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本點的選取

訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要一定的樣本點作為輸入向量，樣本點的選取對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的精度、效率尤其重要.樣本點的生成方法有中心復(fù)合設(shè)計法、隨機取樣法和均勻設(shè)計法等.畢衛(wèi)華[[12]研究了樣本點的生成方法對邊坡可靠度的影響.該文獻(xiàn)認(rèn)為在相同的精度下均勻設(shè)計取樣法比中心復(fù)合設(shè)計法更加有效；在相同的精度下均勻設(shè)計法比隨機取樣法需要生成的樣本點少，計算效率高.因此本文采用均勻設(shè)計法[[13]進(jìn)行樣本點的選取.具體步驟如下：

1） 將土體參數(shù)粘聚力和內(nèi)摩擦角作為需要考慮的兩個因素，確定這兩個因素的取值范圍，并確定相應(yīng)因素的樣本空間容量，即均勻設(shè)計法中的水平數(shù).在相應(yīng)因素的范圍內(nèi)均勻確定樣本的數(shù)值；

2）根據(jù)樣本空間容量選取均勻設(shè)計法中相應(yīng)的使用表和設(shè)計表.根據(jù)因素數(shù)在使用表中確定設(shè)計表中所對應(yīng)的列，設(shè)計表每一列的數(shù)值為影響因素在其樣本空間的位置；

3） 在本研究中因素數(shù)為2.將粘聚力和內(nèi)摩擦角這兩個因素按其在樣本空間對應(yīng)的位置獲取相應(yīng)的樣本數(shù)值并形成訓(xùn)練樣本.

1.2 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建立

根據(jù)選取的樣本點，采用基于有限元的強度折減方法[[11]計算這些樣本點所對應(yīng)的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù).利用樣本點和樣本點對應(yīng)的安全系數(shù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).本文選用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[[14-15]，這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用高斯函數(shù)等徑向基函數(shù)作為神經(jīng)元傳遞函數(shù)，能夠?qū)崿F(xiàn)非線性關(guān)系的映射.徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言往往需要更多的神經(jīng)元，但是它的訓(xùn)練速度很快.在輸入向量樣本數(shù)目較多的情況下，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的效果是很好的.同時徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以克服BP網(wǎng)絡(luò)局部極小的缺點.

本文將土體參數(shù){c，φ}作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量xi，土體參數(shù){c，φ}對應(yīng)的安全系數(shù)F作為期望輸出向量建立徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).首先通過激活函數(shù)Ri（x）對輸入向量xi進(jìn)行運算，然后對運算結(jié)果進(jìn)行加權(quán)求和得到向量yi，，如圖1所示.

最后根據(jù)得到的yi，和已知的期望輸出向量F計算均方誤差，當(dāng)均方誤差較大時，需要不斷增加中間神經(jīng)元和個數(shù)，直到網(wǎng)絡(luò)的均方誤差滿足預(yù)先設(shè)定的值為止，從而建立一個精度較高的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

1.3 邊坡安全系數(shù)前四階矩計算

利用以上建立的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)便可以獲得任意一組土體參數(shù){c，φ}所對應(yīng)的安全系數(shù)F.按照統(tǒng)計要求的數(shù)量形成安全系數(shù)的樣本空間.根據(jù)此樣本空間便可以計算邊坡安全系數(shù)的前四階中心矩，具體步驟如下：

1）采用舍選法生成服從一定概率密度函數(shù)的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ隨機數(shù).本文采用的舍選法[[16]按照如下步驟確定隨機數(shù).

①確定隨機數(shù)的產(chǎn)生區(qū)間[a，b]及概率密度函數(shù)為fx（x）.

②確定概率密度函數(shù)的上確界f0.

2 算例分析

本文所取算例為：考慮土體粘聚力、內(nèi)摩擦角為隨機變量，假設(shè)粘聚力和內(nèi)摩擦角服從獨立正態(tài)分布，其均值分別為25 kPa，20o，標(biāo)準(zhǔn)差分別為7.5 kPa，4o，土體重度假設(shè)為一定值19.6 kN/m3，邊坡剖面如圖3所示.

2.1 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本點的選取

本文對邊坡穩(wěn)定可靠性進(jìn)行研究，選取粘聚力和內(nèi)摩擦角作為隨機變量，因此屬于二因素試驗，由于正態(tài)分布在[μ-3σ，μ+3σ]范圍內(nèi)部可以覆蓋總體99%以上的區(qū)域，因此在[μ-3σ，μ+3σ]范圍內(nèi)部的取值可以近似地認(rèn)為完全覆蓋了總體區(qū)域.本文將粘聚力和內(nèi)摩擦角取值限定在[μ-3σ，μ+3σ]范圍內(nèi)，粘聚力左、右截尾點分別為2.5 kPa，47.5 kPa，內(nèi)摩擦角左右截尾點分別為8o，32o，根據(jù)式（10）得到粘聚力、內(nèi)摩擦角截尾正態(tài)概率密度曲線分別如圖4和圖5所示.x/m

本文將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本空間容量定為17，即粘聚力和內(nèi)摩擦角水平數(shù)均為17，粘聚力樣本數(shù)值為（2.5， 5.3 125， 8.125， 10.937 5， 13.75， 16.562 5， 19.375， 22.187 5， 25， 27.812 5， 30.625， 33.437 5， 36.25， 39.062 5， 41.875， 44.687 5， 47.5），單位為kPa；內(nèi)摩擦角樣本數(shù)值為（8.0，9.5， 11.0， 12.5， 14.0， 15.5， 17.0， 18.5， 20.0， 21.5， 23.0， 24.5， 26.0， 27.5， 29.0， 30.5， 32.0），單位為（°）.根據(jù)均勻設(shè)計法選取具有17個水平數(shù)的均勻設(shè)計表和使用表，如表1和表2所示.

根據(jù)表2確定兩因素設(shè)計應(yīng)當(dāng)選擇表1的第一，二列，表1中的每一列的數(shù)值為影響因素在其樣本空間的位置，如表3第一、二列所示.本文根據(jù)均勻設(shè)計法選取的粘聚力和內(nèi)摩擦角訓(xùn)練樣本點如表3第三列所示，本算例選用基于有限元的強度拆減法計算這些樣本點對應(yīng)的安全系數(shù)，計算結(jié)果如表3第四列所示.將粘聚力和內(nèi)摩擦角訓(xùn)練樣本點繪制在平面圖上，如圖6所示，可以清楚看到利用均勻設(shè)計法選取的樣本點分布比較均勻，能夠較好地展現(xiàn)總體性質(zhì).

2.2 建立徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)1.2所述方法建立徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).為了驗證所建立的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的良好性，本文將在粘聚力和內(nèi)摩擦角取值范圍內(nèi)均勻選取9個驗證樣本點，分別利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、邊坡穩(wěn)定分析軟件計算這些驗證樣本點的安全系數(shù)，如圖7所示，可以清楚觀察到徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對隱式功能函數(shù)近似效果良好.

2.3 邊坡安全系數(shù)前四階中心矩計算并對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理

采用1.3所述方法得到一個樣本容量為n的安全系數(shù)樣本空間.當(dāng)n的數(shù)目足夠多時可以近似總體，可以根據(jù)統(tǒng)計學(xué)知識比較精確地得到安全系數(shù)樣本的各階矩，然而n的數(shù)目太大時會對計算效率有一定影響.因此本文通過研究n的變化對邊坡可靠度的影響，建議n取1×105～1×106之間的數(shù)值.根據(jù)式（1）～式（3）計算安全系數(shù)F樣本的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、前四階中心矩以及偏度系數(shù)、峰度系數(shù)，結(jié)果如表4所示.根據(jù)式（6）計算邊坡安全系數(shù)F的標(biāo)準(zhǔn)隨機變量Y的前四階原點矩，結(jié)果如表5所示.

偏度系數(shù)是描述分布偏離對稱性程度的一個特征數(shù).當(dāng)分布左右對稱時，偏度系數(shù)為0；當(dāng)偏度系數(shù)大于0時，該分布右偏；當(dāng)偏度系數(shù)小于0時，該分布左偏.峰度系數(shù)是用來度量數(shù)據(jù)在中心的聚集程度.對于正態(tài)分布，峰度系數(shù)為3；峰度系數(shù)大于3說明觀察量更加集中，有比正態(tài)分布更短的尾部；峰度系數(shù)小于3說明觀察量不那么集中，有比正態(tài)分布更長的尾部.通過對表4與表5中偏度系數(shù)和峰度系數(shù)的觀察，該算例邊坡安全系數(shù)概率密度分布并非對稱，而是稍微有點右偏，相比于正態(tài)分布而言分布較為集中.

2.4 邊坡安全系數(shù)概率密度函數(shù)

當(dāng)求得邊坡安全系數(shù)F的標(biāo)準(zhǔn)隨機變量Y的前四階原點矩后，根據(jù)式（7），（8）可以得到安全系數(shù)的概率密度函數(shù)表達(dá)式式（11），安全系數(shù)的概率密度函數(shù)曲線如圖8所示.

2.5 邊坡失效概率

利用式（9）可以得到邊坡的失效概率，然后根據(jù)失效概率計算可靠指標(biāo).將計算結(jié)果與蒙特卡羅法計算結(jié)果進(jìn)行比較，可發(fā)現(xiàn)兩個方法得到的結(jié)果較為吻合（見表6），說明本文所述方法精度較為良好.

3 結(jié) 論

建立了一套邊坡穩(wěn)定可靠度分析的新型四階距方法，該方法具有如下優(yōu)勢：

1）采用強度折減法確定邊坡的安全系數(shù)，該方法考慮了土體中的應(yīng)力、應(yīng)變的分布及變化，概念清晰，魯棒性較好.

2）提出的方法兼?zhèn)淞司鶆蛟O(shè)計法、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、最大熵原理的優(yōu)點.均勻設(shè)計法具有在相同精度下需要較少的樣本點同時精度較高的優(yōu)點；徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)具有訓(xùn)練速度快同時又能克服BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)局部極小缺點的優(yōu)點；最大熵原理具有僅根據(jù)樣本的前幾階矩就能得到樣本概率密度函數(shù)的優(yōu)點.

3）提出的方法不需要求取功能函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，克服了傳統(tǒng)可靠度分析方法不能精確計算功能函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、工作量大的缺點，能更加簡便地進(jìn)行邊坡穩(wěn)定可靠度分析且精度良好.

將本文方法計算得到的邊坡可靠指標(biāo)與蒙特卡羅法計算結(jié)果進(jìn)行對比，兩者結(jié)果吻合較好，表明本文所述方法精度良好，具有一定可行性.

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