同弧定圓法在動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中的應(yīng)用及探討

姚永霞

（寧夏銀川一中 寧夏 750001）

“動(dòng)態(tài)平衡”是指平衡問(wèn)題中的一部分力是變力，力的大小和方向均可能發(fā)生變化，是一種動(dòng)態(tài)力，所以叫動(dòng)態(tài)平衡。這是高中力學(xué)平衡中的一類難題，也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。動(dòng)態(tài)平衡往往是三個(gè)力的平衡，有以下幾種情況①一個(gè)力的大小方向均不變，另一個(gè)力的方向不變，剩下一個(gè)力的大小方向都變，這種情況適用于圖解法；②一個(gè)力的大小方向都不變，剩下的兩個(gè)力的大小和方向都改變，并且這兩個(gè)力之間的夾角也是變化的，通常題目中會(huì)出現(xiàn)沿著繩方向的拉力、沿圓形物體半徑方向的彈力等，因此我們可以找到與力的矢量三角形相似的幾何三角形，適用于相似三角形的解法；③一個(gè)力的大小方向都不變，剩下的兩個(gè)力的大小和方向都發(fā)生改變，但是這兩個(gè)力之間的夾角是不變的，這種適用于同弧定圓法（輔助圓法）。

同弧定圓法（輔助圓法）：如圖1所示，同一個(gè)圓中同一段弧所對(duì)應(yīng)的的圓周角相等；同一條弦對(duì)應(yīng)兩段弧，一段優(yōu)弧，一段劣弧，優(yōu)弧對(duì)應(yīng)的圓周角為α，α>90°，劣弧對(duì)應(yīng)的圓周角為β，β＜90°，同一條弦同側(cè)的圓周角對(duì)應(yīng)于同一段弧，因此同一條弦同側(cè)的圓周角相等。這個(gè)定理就是我們同弧定圓法的理論基礎(chǔ)。我們可以畫(huà)一個(gè)定圓，將不變的力作為一條定弦，剩余兩個(gè)力在這條弦的一側(cè)變化，這兩個(gè)力夾角的補(bǔ)交就是定弦的圓周角，圓周角不變就能保證這兩個(gè)力的夾角不變。

本文通過(guò)近幾年高考題和相關(guān)模擬試題研究其中同弧定圓法的應(yīng)用及解法探討。

【例題1】如圖2所示，兩根細(xì)繩拉住一小球，開(kāi)始時(shí)AC水平，現(xiàn)保持兩細(xì)線間的夾角不變，將整個(gè)裝置順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過(guò)90°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，AC繩的張力F1和BC繩的張力F2大小變化情況是（ ）

A.F2先變大后變小，F(xiàn)1一直變小

B.F1先變大后變小，F(xiàn)2一直變小

C.F1先變小后變大，F(xiàn)2一直變小

D.F2先變小后變大，F(xiàn)1一直變大

解析：首先對(duì)M點(diǎn)重物進(jìn)行初始狀態(tài)的受力分析得到圖3。后期緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程每一個(gè)狀態(tài)

都是平衡態(tài)，三力可以構(gòu)成閉合的力的矢量三角形，如圖4。觀察受力，重力不變，其余兩力夾角α不變且α>90°，兩力夾角的補(bǔ)角β＜90°，因此我們將力的矢量三角形放進(jìn)圓里的時(shí)以不變的力——重力為固定的弦，圓周角為兩力夾角的補(bǔ)角β，β＜90°，即劣弧對(duì)應(yīng)的圓周角，按照?qǐng)D4的矢量三角形，定弦G就應(yīng)該放在直徑的右側(cè)。將力的矢量三角形平移進(jìn)去，畫(huà)出圖5。按照題目要求使整個(gè)裝置順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，分析F1和 F2方向的變化，畫(huà)出繩可能處于中間過(guò)程對(duì)應(yīng)的力的矢量三角形，得到圖6，通過(guò)分析表示各力的線段長(zhǎng)度的變化，得出各力的大小變化。F1先增大（直徑時(shí)最大）后減小，F(xiàn)2一直減小，正確答案選B。

【例題2】半圓柱體P放在粗糙的水平面上，有一個(gè)擋板MN，延長(zhǎng)線總是過(guò)半圓柱體的軸心O，但擋板與半圓柱不接觸，在P和MN之間放一個(gè)光滑均勻的小圓柱體Q，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖是這個(gè)裝置的截面圖，現(xiàn)用外力使MN繞O點(diǎn)緩慢地順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在MN到達(dá)水平位置前，發(fā)現(xiàn)P始終保持靜止，在此過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的是( )

A.MN對(duì)Q的彈力逐漸增大 B.MN對(duì)Q的彈力先增大后減小

C.P、Q間的彈力先減小后增大 D.Q所受的合力逐漸增大

解析：我們對(duì)初始狀態(tài)的Q物體進(jìn)行受力分析，得到圖8，在MN順時(shí)針緩慢移動(dòng)的過(guò)程中，重力保持不變，MN對(duì)Q 的彈力F1和P對(duì)Q的彈力F2的大小方向都發(fā)生變化，但是這兩個(gè)力的夾角保持不變?chǔ)?，分析角α的大小，F(xiàn)1垂直于MN，F(xiàn)2過(guò)小球Q的圓心，所以F1，F(xiàn)2的夾角小于90°，則兩力夾角的補(bǔ)角β＞90°。我們將受力分析中的各力移動(dòng)形成力的矢量三角形，得到圖9，將力的矢量三角形移進(jìn)圓，以重力為固定的弦，β＞90°，按照?qǐng)D9的矢量三角形，定弦對(duì)應(yīng)優(yōu)弧應(yīng)當(dāng)在直徑的右側(cè)，如圖10，MN順時(shí)針移動(dòng)，畫(huà)出各個(gè)中間狀態(tài)的力的矢量三角形如圖11，觀察可得MN對(duì)Q 的彈力F1一直增大，P對(duì)Q的彈力F2一直減小，因此A正確，B，C錯(cuò)誤。Q所受合力一直為零，不變，故D錯(cuò)誤。

總結(jié)：通過(guò)以上兩個(gè)例題，我們得到通過(guò)同弧定圓法解決動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中一個(gè)力不變，另外兩個(gè)力夾角不變的這類題，可以有一下步驟①確定研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行初態(tài)的受力分析②構(gòu)成力的矢量三角形圖③將力的矢量三角形圖畫(huà)進(jìn)定圓中（兩力夾角大于90°則不變力作為定弦對(duì)應(yīng)優(yōu)?。粌闪A角小于90°則不變力作為定弦對(duì)應(yīng)劣弧，兩力夾角等于90°則不變力作為定弦為直徑）④畫(huà)出中間動(dòng)態(tài)過(guò)程可能的力的矢量三角形在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)以上三個(gè)例題引導(dǎo)學(xué)生了解、掌握同弧定圓法，并嘗試用該方法解決一些該類型的題目，達(dá)到強(qiáng)化的作用。在解題的過(guò)程中體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的思想，拓寬學(xué)生的思維。