關(guān)注圓的特性 巧構(gòu)模型解題

朱文良

[摘要]添加輔助線來(lái)構(gòu)建模型是幾何問(wèn)題突破的常規(guī)策略，關(guān)于圓的問(wèn)題可以由圓的垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角特性、切線性質(zhì)以及綜合利用幾何定理來(lái)建立相應(yīng)的模型解決。

[關(guān)鍵詞]圓;輔助線;模型

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2020）05-0017-02

圓是初中數(shù)學(xué)重要的幾何圖形，由于圓的結(jié)構(gòu)較為特殊，其性質(zhì)和定理與常規(guī)的圖形存在一定的差異，關(guān)于圓的問(wèn)題，在求解時(shí)需要結(jié)合圖形結(jié)構(gòu)、特殊點(diǎn)和特殊關(guān)系，充分利用圓的性質(zhì)和定理來(lái)合理添加輔助線，通過(guò)構(gòu)建相應(yīng)的模型來(lái)解決。

思路一：關(guān)注圓中弦。構(gòu)建垂徑關(guān)系

弦是圓中所特有的概念，當(dāng)出現(xiàn)與弦相關(guān)的圓問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)垂直于弦的直徑平分弦和弦所對(duì)的兩條弧長(zhǎng)的特性，通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的垂徑關(guān)系，該構(gòu)建思路是基于圓的“垂徑定理”，解題時(shí)需要關(guān)注圓的半徑、弦和弦心距。

評(píng)析：上述給出了圓內(nèi)的一條弦以及與弦相關(guān)的垂線，求證等線段長(zhǎng)可以基于垂徑定理來(lái)添加輔助線，利用該定理將幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的長(zhǎng)度關(guān)系，在解題時(shí)要充分理解垂徑定理中的“徑”，作圖時(shí)只需要作過(guò)圓心與弦相垂直的線段即可，因圓內(nèi)必然存在與其相重合的直徑。

思路二：關(guān)注圓內(nèi)直徑。構(gòu)建直角三角

直徑是衡量圓大小的量，當(dāng)圓內(nèi)出現(xiàn)直徑時(shí)，可以基于直徑上的圓周角性質(zhì)來(lái)構(gòu)建直角三角形，即添加輔助線，分別連接圓上一點(diǎn)與直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則直徑所對(duì)的圓周角就為直角，考慮到這樣的圓周角有很多，在實(shí)際解題時(shí)需要結(jié)合圓上的特殊點(diǎn)來(lái)構(gòu)建。

評(píng)析：利用直徑所對(duì)的圓周角為直角來(lái)添加輔助線構(gòu)建直角三角形是求解圓相關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，上述考題雖然沒(méi)有給出直徑，但通過(guò)延長(zhǎng)半徑也可以獲得直徑，此時(shí)就可以將所求線段關(guān)聯(lián)到直角三角形中，因此利用直徑所對(duì)的圓周角性質(zhì)建模適用于兩種情形：一是直徑明確，直接構(gòu)建;二是直徑隱含情形，由半徑衍生出直徑。

思路三：關(guān)注圓的切線。借用切線性質(zhì)

圓的半徑與圓的切線相垂直，這是圓的切線性質(zhì)，在求解與圓切線相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，則可以考慮利用圓的切線來(lái)添加輔助線，構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，該種建模的思路適用于求解線段長(zhǎng)和兩線垂直，同時(shí)也可以逆向思維來(lái)求證直線為圓的切線。

評(píng)析：利用切線的性質(zhì)建模的思路較為明確，①如果存在切點(diǎn)，只需要連接半徑，然后求證垂直即可;②如果沒(méi)有切點(diǎn)，則需要作出相應(yīng)的垂直關(guān)系，證明所作線段為半徑，因此該建模思路中常涉及兩類模型：一是特殊的直角模型，二是等長(zhǎng)線段模型。

思路四：關(guān)注圓內(nèi)定量，綜合構(gòu)建模型

圓內(nèi)的量較多，除了上述所給出的半徑、直徑、弦長(zhǎng)和切線外，還包括弧長(zhǎng)、圓心角、弦心距和弓形高等量，對(duì)于給出上述量的圓的問(wèn)題，則可以考慮綜合應(yīng)用幾何定理來(lái)構(gòu)建特殊模型，如相似模型、直角三角形模型，基本的思路為：由已知出發(fā)探索垂直或相似條件，建立對(duì)應(yīng)模型，然后利用特殊模型的性質(zhì)突破。

評(píng)析：上述同樣是與圓相關(guān)的問(wèn)題，兩問(wèn)模型構(gòu)建的思路是不同的，第（1）問(wèn)是結(jié)合圓的切線，從三角形相似入手來(lái)轉(zhuǎn)化比例關(guān)系，同時(shí)利用了直角三角形的中位線性質(zhì);第（2）問(wèn)則是結(jié)合圓外一點(diǎn)的兩條公切線，從圖形對(duì)稱入手，利用弧長(zhǎng)公式來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，因此對(duì)于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的圓類圖形，在突破時(shí)要充分利用圓內(nèi)的量和性質(zhì)，綜合幾何定理來(lái)建模，這也是復(fù)雜圓類問(wèn)題突破的方法。

總之，圓問(wèn)題的建模思路是多樣的，具體表現(xiàn)為從圓的幾何性質(zhì)和定理入手，結(jié)合相應(yīng)的問(wèn)題構(gòu)建對(duì)應(yīng)的特殊模型，然后利用模型來(lái)分析其中的位置和數(shù)量關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解，基于幾何特性構(gòu)建解題模型的過(guò)程中同時(shí)也涉及眾多的數(shù)學(xué)思想，如模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和方程思想等，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)適當(dāng)講解構(gòu)建解題思路的方法，使學(xué)生逐步內(nèi)化，形成自我的解題策略。