分式方程解法探究

劉月

[摘要]探討已知分式方程的解如何求其中參數(shù)的值，以幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，提高學(xué)生解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]分式方程;解法;探究

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2020）05-0021-02

分式方程是相對于整式方程的一類方程，因其獨(dú)特性成為中考的必考點(diǎn)，與分式方程相關(guān)的試題類型包括解分式方程、分式方程的應(yīng)用、分式方程的解等，可通過去分母、解整式方程、檢驗(yàn)得到分式方程的解，它與解整式方程最大的不同是在方程兩邊都乘以一個(gè)含有未知數(shù)的整式，當(dāng)這個(gè)整式為0時(shí)，分式方程就會(huì)出現(xiàn)增根，所以解分式方程的最后一定要驗(yàn)根。反過來，已知分式方程的解，如何求其中參數(shù)的值呢？

一、分式方程的解是一個(gè)取值范圍時(shí)。確定字母的取值范圍

含有字母的分式方程，如果已知它的解是一個(gè)取值范圍，我們就可以據(jù)此確定其中字母的取值范圍，分式方程解的取值范圍可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、非正數(shù)、非負(fù)數(shù)、大于1等，為了確定其中字母的取值范圍，我們需要求得分式方程的解，為了得到解，我們需要解方程，解的是含有字母的分式方程。

點(diǎn)評：可化為一元一次方程的分式方程有唯一解，有兩層意思，一是分式方程化成整式方程ax=b后，未知數(shù)的系數(shù)a不為o;二是分式方程有解，也就是無增根，即分式方程的各分母都不為0.據(jù)此，我們可以確定其參數(shù)的值，這里的第二層意思仍是一個(gè)隱含條件，學(xué)生容易疏忽。

三、分式方程有增根。確定字母的值

分式方程在去分母時(shí)，要在方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，因?yàn)檫@個(gè)最簡公分母是含有未知數(shù)的整式，不是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以它的值是不確定的，也就是說，最簡公分母有可能為0.當(dāng)最簡公分母為0時(shí)，我們在去分母時(shí)就違反了方程的變形規(guī)則，即在方程的兩邊都乘以0.所以解分式方程的最后一定要檢驗(yàn)，使最簡公分母為0的根是分式方程的增根，必須舍去，那么分式方程的增根是否就是“壞根”，沒有用處呢？答案是否定的，請看下面實(shí)例。

點(diǎn)評：分式方程的增根，就是使各分母為0時(shí)，未知數(shù)的值，增根雖不是分式方程的根，卻是去分母后整式方程的根，所以我們只可以將增根代入整式方程求參數(shù)的值，而不可以將增根代入分式方程求參數(shù)的值，從這里可以看出，增根并非一無是處，它也是有價(jià)值的根。

四、分式方程無解時(shí)。確定字母的值

分式方程無解與分式方程有增根是兩個(gè)概念，不能混為一談，這其中的原因有兩點(diǎn)：一是分式方程無解不一定有增根，如分式方程化為一元一次方程后，一元一次方程無解從而使分式方程無解，一元一次方程就沒有根，何來增根？二是分式方程有增根不一定分式方程無解，如分式方程化為一元二次方程后，一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根是分式方程的根，另一個(gè)是分式方程的增根，這時(shí)分式方程既有增根也有根，對于可化為一元一次方程的分式方程來說，若分式方程無解時(shí)，其原因恰好來自兩個(gè)方面，一方面整式方程無解;另一方面分式方程有增根。

分析：先去分母，化分式方程為整式方程，并整理成整式方程的一般形式，當(dāng)整式方程的未知數(shù)系數(shù)為0時(shí)，整式方程無解，造成分式方程無解;或者讓整式方程有根，但這個(gè)根是分式方程的增根，然后舍去，從而造成分式方程無解。

解：把m看成常數(shù)，解分式方程（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），整理得（2m+1）x=-6.①

當(dāng)2m+1=0時(shí)，方程①無解，原分式方程也無解，此時(shí)m=-0.5。

當(dāng)2m+1≠0時(shí)，方程①有解，要使原分式方程無解，須使方程①的解為分式方程的增根，即x=3或x=0.

把x=0代入①得0=-6.此方程無解，把x=3代入①，得m=-1.5.所以m的值為-0.5或-1.5.故選D。

點(diǎn)評：可化為一元一次方程的分式方程無解，首先要將方程化成ax=b的形式，然后分兩種情形討論，（1）當(dāng)a=0.6≠0時(shí)，整式方程無解，則分式方程也無解;（2）當(dāng)a≠0時(shí)，整式方程有解，這個(gè)解是分式方程的增根時(shí)，分式方程仍無解。

分式方程的解是分式方程中一個(gè)重要的概念，如果已知分式方程的解求字母的值，直接代入分式方程，然后解分式方程就可以了，當(dāng)把分式方程的增根，整式方程的無解也加入之后，難度也就增加了，從以上例題可見一斑，但不管怎樣，解分式方程或解含字母的分式方程，化分式方程為整式方程，并將整式方程整理為最簡形式，是繞不開的步驟，分式方程的增根就是使最簡公分母為0的根，是不變的硬道理。

（責(zé)任編輯：黃桂堅(jiān)）