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    第十四個(gè)優(yōu)美不等式的進(jìn)一步推廣

    2020-03-17 23:55:29葉專溫志紅
    關(guān)鍵詞:推廣

    葉專 溫志紅

    【摘要】本文主要對(duì)安振平老師在文獻(xiàn)[1]中所提出的二十六個(gè)優(yōu)美不等式中的第十四個(gè)不等式給出進(jìn)一步推廣,并給出另一種全新的證明方法.

    【關(guān)鍵詞】第十四個(gè)優(yōu)美不等式;條件極值;推廣

    一、背 景

    在文獻(xiàn)[1]中安振平老師提出了二十六個(gè)優(yōu)美不等式,這二十六個(gè)優(yōu)美不等式的出現(xiàn)引起了眾多的關(guān)注,不斷有數(shù)學(xué)愛好者和學(xué)者對(duì)這些不等式進(jìn)行證明和進(jìn)一步的推廣.本文關(guān)注的是第十四個(gè)優(yōu)美不等式:

    若三個(gè)非負(fù)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,則有

    (1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤6427,

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=13時(shí),等號(hào)成立.

    鄒生書老師在文獻(xiàn)[2]中通過構(gòu)造“尾舵函數(shù)”的方法給出了一種簡(jiǎn)捷的證明方法,并且對(duì)此不等式進(jìn)行了如下形式的推廣:若xi≥0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,則

    ∑ni=1(1-x2i)2≤3227n-1,

    當(dāng)且僅當(dāng)xi=1n(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立.注意到,此推廣存在一定缺陷,僅對(duì)n=3的情況下成立.據(jù)此,文獻(xiàn)[3]和[4]針對(duì)此缺陷給出如下修正:

    ∑ni=1(1-x2i)2≤(n2-1)2n3.

    同時(shí),陳宇老師在文獻(xiàn)[5]中給出了下界估計(jì),即

    n-1≤∑ni=1(1-x2i)2.

    二、主要結(jié)論及證明

    本文主要對(duì)上面的結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的推廣,并給出一個(gè)全新的證明.首先陳述本文的主要結(jié)果:

    定理 若xi≥0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,則對(duì)任何實(shí)數(shù)k>1有

    n-1≤∑ni=11-xkik≤n1-1nkk,

    當(dāng)且僅當(dāng)xi=1,xj=0(j≠i)時(shí),左邊等號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)xi=1n(i=1,2,…,n)時(shí),右邊等號(hào)成立.

    注:一方面,當(dāng)k=2時(shí),我們的定理與文獻(xiàn)[3]至[5]的結(jié)果是一致的,因此我們的定理是前人結(jié)果的推廣.另一方面,“尾舵函數(shù)”的方法對(duì)于k≠2時(shí)的不等式證明即使有效也是非常復(fù)雜的.下面,本文給出的證明方法是簡(jiǎn)捷而全新的,僅供大家參考.

    在定理的證明中需要用到一個(gè)關(guān)鍵引理,我們先敘述并證明它.

    引理 設(shè)a,b∈(0,1)以及實(shí)數(shù)k>1,定義集合Ω瘙綆2如下:

    Ω(a,b):a-b=ak+1-bk+1,a≠b.

    如果(a,b)∈Ω,則有a+b>1.

    引理的證明.我們首先定義集合

    ΩΩ∪{(0,1),(1,0),((k+1)-1k,(k+1)-1k)}.

    不難發(fā)現(xiàn)Ω為瘙綆2中的一條閉曲線段,從而Ω為瘙綆2中的有界閉集.于是a+b在Ω上必能取得最大值和最小值.事實(shí)上,我們接下來證明a+b只能在Ω中的兩點(diǎn)(0,1),(1,0)取到最小值1,從而當(dāng)(a,b)∈Ω,則有a+b>1.這里采用二元函數(shù)條件極值的方法給予證明.為此,令多元函數(shù)

    G(a,b,λ)a+b+λ(ak+1-a-bk+1+b).

    對(duì)函數(shù)G求一階偏導(dǎo)數(shù),并且令它們都等于零,則有

    Ga(a,b,λ)=1+λ[(k+1)ak-1]=0,

    Gb(a,b,λ)=1+λ[1-(k+1)bk]=0,

    Gλ(a,b,λ)=ak+1-a-bk+1+b=0.

    解此方程組可得其一組解滿足

    a0=λ-1λ(k+1)1k,b0=λ+1λ(k+1)1k,λ-1λ+1=λk-1λk+1k,λ>1,……(Δ)

    注意到,當(dāng)a,b≠(k+1)-1k,(k+1)-1k時(shí),如下矩陣不降秩(滿秩1)

    (k+1)ak-1,1-(k+1)bk,

    而且約束集Ω為有界閉集,又沒有任何遺漏點(diǎn).因此,

    我們不難得到a+b在Ω中的如下四點(diǎn)

    (0,1),(1,0),(a0,b0),((k+1)-1k,(k+1)-1k)

    取得最值.

    事實(shí)上,a+b在點(diǎn)(0,1),(1,0)取得最小值1,在點(diǎn)(k+1)-1k,(k+1)-1k取得最大值.為此,我們證明2(k+1)-1k>a0+b0>1即可.這里我們首先驗(yàn)證a0+b0>1.從(Δ)式可得

    a0+b0=λ-11k+λ+11kλ(k+1)1k=λ+11k1+λk-1λk+1λ(k+1)1k=2λ+11kλkλ(k+1)1k(λk+1)= 2k1+1λ1k(k+1)1kk+1λ.

    對(duì)上式右端關(guān)于λ求導(dǎo)可知2k(k+1)1k·1+1λ1kk+1λ′=2k(k+1)1k·1+1λ1k-1λ3k+1λ21-1k>0.

    由于λ>1,于是

    a0+b0>21+1kk(k+1)1+1k.

    下面驗(yàn)證對(duì)任意的k>1有

    21+1kk(k+1)1+1k>1.

    通過構(gòu)造輔助函數(shù):

    F(k)(k+1)ln 2+kln k-(k+1)ln(k+1),

    不難發(fā)現(xiàn),對(duì)任意的k>1有F(k)>0.

    這就意味著對(duì)任意的k>1有21+1[]kk[](k+1)1+1[]k>1,

    這就表明a0+b0>1.最后,證明2(k+1)-1k>a0+b0.事實(shí)上,只需驗(yàn)證

    a0+b0=λ-11k+λ+11kλ(k+1)1k<2(k+1)1k.

    這等價(jià)于

    λ-11k+λ+11kλ1k<21-1λ1k+1+1λ1k<2.

    為此,定義輔助函數(shù)ψ(λ)1-1λ1k+1+1λ1k,λ>1.

    求導(dǎo)可得ψ′(λ)[ZK(]=1λ2k1-1λ1k-1-1λ2k1+1λ1k-1

    =1λ2k1-1λ1k-1-1+1λ1k-1>0.[ZK)]

    于是有

    ψ(λ)<ψ(+∞)limt→+∞ψ(t)=limt→+∞1-1t1k+1+1t1k=2.

    這就證明了2(k+1)-1k>a0+b0.

    綜合上述的論證,當(dāng)(a,b)∈Ω時(shí),則有a+b>1,故引理得證.

    利用如上引理,我們開始本文定理的證明.

    我們采用多元函數(shù)條件極值的方法證明如上定理,問題的實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)

    h(x1,x2,…,xn)∑ni=1(1-xki)k

    在條件g(x1,x2,…,xn)∑ni=1xi-1=0下的最大值和最小值.應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法,我們令多元函數(shù)

    f(x1,x2,…,xn,λ)∑ni=11-xkik+λ∑ni=1xi-1.

    對(duì)函數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù),并且令它們都等于零,則有

    (R1)fx1=-k2xk-111-xk1k-1+λ=0,fx2=-k2xk-121-xk2k-1+λ=0,…fxn=-k2xk-1n1-xknk-1+λ=0,fλ=∑ni=1xi-1=0.

    我們首先考慮情形:xi≠0,1(i=1,2,…,n),方程組(R1)的解.從(R1)中前n個(gè)方程不難得到

    λ=k2xk-1i(1-xki)k-1,i=1,2,…,n.

    這樣可以推出xi=xj,i≠j.

    事實(shí)上,假如存在j≠l使得xj≠xl,則

    k2xk-1j(1-xkj)k-1=k2xk-1l(1-xkl)k-1.

    于是得到

    xj(1-xkj)=xl(1-xkl)xj-xl=xk+1j-xk+1lxj-xk+1j=xl-xk+1l.

    利用引理的結(jié)論知xj+xl>1,這與條件∑ni=1xi=1相矛盾,所以x1=x2=…=xn.

    將其代入(R1)的最后一個(gè)方程可知

    x1=x2=…=xn=1n,λ=k2nk-11-1nkk-1.

    依題意知函數(shù)h(x1,x2,…,xn)=∑ni=11-xkik的一個(gè)極值可疑點(diǎn)為:x1=x2=…=xn=1n,

    將此極值可疑點(diǎn)代入函數(shù)h得

    A1h1n,1n,…,1n=n1-1nkk.

    另一方面,當(dāng)某個(gè)xi=1,其余項(xiàng)xj=0(j≠i),λ=0時(shí),也是(R1)的解.因而

    這樣的點(diǎn)也是函數(shù)h的極值可疑點(diǎn),將此極值可疑點(diǎn)代入函數(shù)h得到

    A2h0,0,…,1↑第i個(gè),…,0=n-1.

    注意到如下矩陣不降秩(滿秩1)

    (gx1,gx2,…,gxn)=(1,1,…,1),

    而且約束集∑ni=1xi=1,xi≥0(i=1,2,…,n)為有界閉集,沒有任何遺漏點(diǎn),因此,我們可得A1,A2即為函數(shù)h的最值.接下來,我們驗(yàn)證A1為最大值,A2為最小值,即對(duì)n≥2以及任何實(shí)數(shù)k>1有

    n-1≤n1-1nkk.(?。?/p>

    為此,將(?。┦礁膶懗?/p>

    1-1n≤1-1nkk.(Β)

    為方便起見,記

    a=1n∈0,12,

    則(Β)式等價(jià)于

    1-a≤(1-ak)k.

    事實(shí)上,經(jīng)過一系列計(jì)算不難驗(yàn)證函數(shù)H(x)=(1-ax)x在x>1時(shí)單調(diào)遞增,這表明(B)式成立,從而(A)式也成立.綜上所述,本定理證明完畢.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]安振平.二十六個(gè)優(yōu)美不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2010(1-2):136,143.

    [2]鄒生書.第十四個(gè)優(yōu)美不等式的證明及推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2010(06):28-29.

    [3]黃傳軍.對(duì)《第十四個(gè)優(yōu)美不等式的證明及推廣》一文的一點(diǎn)修正[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2011(09):21-22.

    [4]陳宇.對(duì)第十四個(gè)優(yōu)美不等式推廣的加強(qiáng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2011(10):20-21.

    [5]陳宇.對(duì)“第十四個(gè)優(yōu)美不等式”的下界探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2012(06):15-17.

    [6]歐陽光中,姚允龍,周淵.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2006.

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