試論中考數(shù)學中的幾種解題思想方法

蘇順文

【摘要】隨著時代的發(fā)展，教改的推進，家長對學生的期望值越來越高，這就要求我們教師在教授學生數(shù)學知識的同時，必須要教會學生解題的方法.事實證明，學生學會一套有效的數(shù)學解題方法將會終身受益.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學，解題思想，解題方法，探討交流

所謂的數(shù)學解題思想方法，指的是運用一定的技巧，在已有的數(shù)學學習基礎(chǔ)上，通過大量的解題練習，從中得出解題規(guī)律，并最終歸納總結(jié)形成一種模式，這種模式適用于整個同類型題目的解法.下面分析的是中考中幾種最常用的解題思想，分享給同人們.

一、整體的數(shù)學思想

整體思想是指我們應該把注意力和著眼點都放在數(shù)學問題的整體上，通過縱觀整個題目，研究問題的形式和結(jié)構(gòu)，進而做出整體性的分析、處理，最終達到順利解題的目的.

例1 （2017·北京）如圖1所示，分別以n邊形的頂點為圓心，作半徑為單位長度1的圓，則圖中陰影部分的面積之和為多少？

分析 仔細觀察題中條件后可以知道，n個扇形的圓心角恰好是n邊形的n個外角，其和等于360°，于是，利用整體思想可以將這一問題轉(zhuǎn)化為求一個半徑為1的圓的面積，從而得出陰影部分的面積之和為π.

二、化歸的數(shù)學思想

化歸的數(shù)學思想的本質(zhì)是一種由陌生向熟悉轉(zhuǎn)化、由未知向已知轉(zhuǎn)化、由非基本問題向基本問題轉(zhuǎn)化的解題策略.[1]

例2 （2016·廣西）判斷下列各數(shù)3555 ，4444，5333的大小關(guān)系.

分析 本題要直接計算每個數(shù)，顯然是非常龐大的，可是如果將它們化歸為異底數(shù)同次冪的結(jié)構(gòu)形式，再比較底數(shù)的大小，那么就可以順利地解決問題.

解 3555=（35）111=243111，4444=（44）111=256111，5333=（53）111=125111，125<243<256，

所以5333<3555< 4444.

三、分類的數(shù)學思想

分類討論在解決數(shù)學問題中經(jīng)常出現(xiàn)，也是一種重要的數(shù)學思想.在對數(shù)學對象進行分類的時候，我們要找的是一種解題思維方法，尋找它的目的是克服思維的片面性，防止遺漏.[2]

例3 （2017·山西）已知在一個直徑為50 cm的圓中，弦AB的長為40 cm， 弦CD的長為48 cm，而且AB∥CD，求AB，CD間的距離.

分析 在本題中，由于圓具有對稱性，因此兩條弦的位置會出現(xiàn)兩種情況，這一點學生在做題的時候往往會忽略，一般只會考慮 圖2這一種情況.

解 過點O作OE⊥AB，垂足為E，直線OE交直線CD于點F，

∵AB∥ CD，∴OF⊥CD，

連接OA，OC.

第一種情況：如圖2，當AB和CD位于點O的同側(cè)時，AB與CD之間的距離為：

OA2-AE2-OC2-CF2=252-202-252-242=8（cm）.

第二種情況：如圖3，當AB和CD位于點O的異側(cè)時，

AB與CD間的距離為：

OA2-AE2+OC2-CF2=252-202+252-242=22（cm）.

所以AB與CD間的距離為8 cm或22 cm.

四、方程的思想

數(shù)學是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的.初中最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系，而最常見的等量關(guān)系就是方程.比如等速運動中，路程、速度和時間三者之間就有一種等量關(guān)系，可以建立一個相關(guān)等式：速度×時間=路程，在這樣的等式中，一般會有已知量，也有未知量，像這樣含有未知量的等式就是方程，而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程.學生在小學就已經(jīng)接觸過簡易方程，而七年級則是比較系統(tǒng)地學習解一元一次方程，并總結(jié)出解一元一次方程的五個步驟.學生如果學會并掌握了這五個步驟，那么就能夠順利地解出任何一個一元一次方程.八年級、九年級學生還將學習解一元二次方程、二元一次方程組、簡單的三角方程;到了高中，還將學習指數(shù)方程、對數(shù)方程、線性方程組、參數(shù)方程、極坐標方程等.解這些方程的思維幾乎是一致的，都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用我們熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者一元二次方程的求根公式加以解決.物理中的能量守恒，化學中的化學平衡式，以及現(xiàn)實中的大量實際應用都需要建立方程，通過解方程來解決問題.因此，學生一定要將解一元一次方程和解一元二次方程的方法學好，這樣才能學好其他形式的方程.

所謂的方程思想就是對于數(shù)學問題，特別是現(xiàn)實中碰到的未知量和已知量的錯綜復雜的關(guān)系，善于用方程的觀點去構(gòu)建有關(guān)的方程，進而用解方程的方法去解決問題.

五、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想

大千世界，“數(shù)”與“形”無處不在.任何事物，去除它的質(zhì)的方面，就只剩下形狀和大小這兩個屬性需要數(shù)學去研究了.初中數(shù)學有兩個分支——代數(shù)和幾何，代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究“形”的.但是，研究代數(shù)要借助“形”，研究幾何要借助“數(shù)”，“數(shù)形結(jié)合”是一種趨勢，越往下學，“數(shù)”與“形”就越密不可分.到了高中，就出現(xiàn)了專門用代數(shù)方法去研究幾何問題的一門課，叫作“解析幾何”.在九年級，建立平面直角坐標系后，研究函數(shù)的問題就離不開圖像了.借助圖像往往能使問題明朗化，比較容易找到問題的關(guān)鍵所在，從而解決問題.在今后的數(shù)學學習中，教師要引導學生重視“數(shù)形結(jié)合”的思維訓練，任何一道題，只要與“形”能沾得上一點邊，就應該根據(jù)題意畫出草圖來分析一番，這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強，容易找出解決問題的切入點，對解題大有益處.這樣學生就會養(yǎng)成一種“數(shù)形結(jié)合”的思維習慣.

數(shù)形結(jié)合思想在初中階段就開始學習并運用，在高中乃至大學是學習的重點，也是非常實用的一種數(shù)學方法，具體指的是將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來進行分析、研究，最終解決問題的一種方法.[3]

例4 如圖4，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點A，B的坐標分別是（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發(fā)，并以每秒1個單位的速度勻速運動，其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動.過點M作MP⊥OA，交AC于點P，連接NP，已知動點運動了x秒.[3]

（1）求P點的坐標（用含x的式子表示）;

（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值;

（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由.

解 （1）由題意可知，C（0，3），M（x，0），N（4-x，3），

∴P點的坐標為x，3-3[]4x.

（2）由（1）知△NPC的高為3[]4x，則

S=12（4-x）×34x=38（-x2+4x）=-38（x-2）2+32，

∴S的最大值為3[]2，此時x=2.

（3）如圖5，延長MP交CB于點Q，則有PQ⊥BC.

①若NP=CP，

∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x，

∴3x=4，

∴x=43.

②若CP=CN，

∵CN=4-x，PQ=3[]4x，CP=CQ2+PQ2=x2+3[]4x2=5[]4x，

∴4-x=54x，∴x=169.

③若CN=NP，

∵CN=4-x，CQ=x，∴NQ=4-2x.

又PQ=34x，

在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，

∴（4-x）2=（4-2x）2+34x2，∴x=12857.

綜上，x=4[]3或x=16[]9或x=128[]57.

總之，我們在具體解題時，一定要認真審題，緊緊抓住題目中的所有條件，不要忽略了任何一個條件.一道題和一類題之間有一定的共性，可以想想這一類題的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住這一道題的特殊性，以及這一道題與這一類題不同的地方.數(shù)學的題目幾乎沒有相同的，總有一個或幾個條件不盡相同，因此思路和解題過程也不盡相同.有些學生對于老師講過的題會做，其他的題就不會做，只會依樣畫瓢，題目稍有些小的變化就無從下手.其實，我們做題時可以選擇一個或幾個條件作為解題的突破口，看由這個條件能得出什么結(jié)論，得出的結(jié)論越多越好，然后從中選擇與其他條件有關(guān)的，或與題目中的隱含條件有關(guān)的結(jié)論進行推理或演算.一般難題都有多種解法，我們要相信利用這道題的條件，加上自己學過的知識，一定能推出正確的結(jié)論.

【參考文獻】

[1]張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]羅小偉.中學數(shù)學教學論[M].南寧：廣西民族出版社，2000.

[3]齊鳳華.開展中學數(shù)學小組合作，努力提高課堂效率[J].新課程學習（中），2014（12）：78.