例說數列中的存在性問題

(江蘇省南京市第三高級中學 南京市高中數學渠東劍名師工作室 210000)

數列是高中數學中的重要內容之一，也是各地高考的必考知識點，尤其在江蘇卷中，其常常作為解答題的壓軸題，是學生最頭疼的問題．數列本質上是特殊的函數，但是跟函數相比，數列問題千變萬化，學生常常覺得無從下手，沒有所謂的“套路”可尋．另一方面，因為數列解答題所處的位置，學生往往難以完成，大部分學生甚至覺得解題無望，直接跳過，這也導致在復習數列專題時學生感覺復習跟不復習是一回事．這也引起了筆者的反思，在一輪復習過程中，對于基礎一般的學生，數列到底有沒有必要復習？答案是肯定的，數列當然需要復習！數列是一類特殊的函數，是數學重要的研究對象，是研究其他類型函數的基本工具，在日常生活中也有著廣泛的應用．數列的學習能夠提升數學抽象、數學運算、數學建模和邏輯推理素養(yǎng)．數列的復習有利于提升學生的自信心，鍛煉學生不畏困難的品質．那么，數列到底該如何復習？學生的得分點在哪里？在高考的現實背景下，我們還能做哪些？下面，筆者將以“數列的存在性問題”為例，談一談數列的復習．

數列中的存在性問題，常常轉化為方程解的存在性問題，涉及的往往是兩類方程：①方程的個數大于等于可求解未知數的個數；②方程的個數小于等于可求解未知數的個數(不定方程)．對于類型①，解題往往比較簡單，找到足夠的方程，解出未知量，如果方程的個數大于可求解未知數，那就進一步驗證，如果都能滿足，則存在，否則舍解．類型②往往是學生覺得困難的地方，對于不定方程，該如何求解呢？

筆者從幾個簡單的例子下手，試圖找出這類問題的一般性規(guī)律．

例1已知an=2n，是否存在正整數p，q，r(p

解法1假設存在正整數p，q，r(p

變式1 已知an=2n，是否存在三個互不相等正整數p，q，r，且p，q，r成等差數列，使得ap-1，aq-1，ar-1成等比數列？并說明理由．

解法1因為p，q，r成等差數列，所以p+r=2q.假設ap-1，aq-1，ar-1成等比數列，則(ap-1)(ar-1)=(aq-1)2，即(2p-1)(2r-1)=(2q-1)2，化簡得2p+2r=2×2q.(*)

解法2因為p，q，r成等差數列，不妨設p

設計意圖解決此類問題的一般步驟是：條件轉化→化簡等式→合理判斷，其中最關鍵的一步是合理判斷，如果不存在，就要推出矛盾，如果存在，就要把解找出來．例1屬于不存在的情況，解法1是通過奇數與偶數的分析來推出矛盾，解法2是通過整數與分數的分析推出矛盾，解法3是通過正數與負數的分析推出矛盾；最后殊途同歸，都說明了不存在正整數p，q，r(p

“套期保值是全世界防范農產品價格風險的有效工具，可以使價格風險降低到最低限度，是保證農民收入的一種較好的方式?！苯瘗i期貨經紀公司營銷總監(jiān)周帥在講臺上，從國家農業(yè)政策解讀、套期保值的好處等方面分別進行了詳細的講解，他把高深的理論知識和實際發(fā)生的案例相結合，讓“套期保值”這個高大上的詞語變得通俗易懂，不時引來陣陣掌聲。原來，曙光農場正在舉辦農產品期貨服務實體經濟實操研討會。

《2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱(理科)》要求學生“了解數列是自變量為正整數的一類函數；了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系”．近幾年來，數列與函數的綜合題是高考命題的熱點，常作為壓軸題出現， 解決這類問題往往用到函數思想、方程思想、化歸思想等多種數學思想．數列是一類特殊的函數，是定義在正整數集或其子集上的函數， 我們可以運用函數思想來研究和解決數列的問題．愛因斯坦說過：“猜想比知識更重要.”在數學的學習過程中，應當鼓勵學生“大膽猜想，小心求證”．數列中的存在性問題，在處理過程中還應結合函數思想來考慮．如例1，讀完題不妨先去猜一猜存在還是不存在.數列{an}是一個單調遞增的指數型數列，而指數函數y=2x的圖象是單調遞增的，為凹函數，等差數列的通項是關于n的一次式，而一次函數的圖象是一條直線；直線與指數函數的圖象至多有2個交點，因而不可能出現有3項成等差數列．有了這樣一個直觀判斷，接下來就是去求證，這樣一來解題思路就會非常清晰．

解析因為Sn=n2，所以當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1．

又當n=1時，a1=S1=1，適合上式，所以an=2n-1(n∈N*)．

故當m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36時，分別存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8適合題意，即存在這樣m，且符合題意的m共有9個．

設計意圖例2的難點在于求不定方程的整數解，條件轉化后列出等式，基礎較差的學生不知如何下手．解決路徑：(1)兩個未知量、一個等量關系，可以進行未知量分離；(2)利用約數，篩選不定方程的可能解，縮小范圍，進而使枚舉檢驗成為可能．該題在化簡等式時還應該注意優(yōu)化計算，多觀察式子的結構特征，不要盲目地交叉相乘“硬解”，對于分式常?？梢圆捎萌〉綌?、分離常數等方法達到化繁為簡的目的．變式在例2的基礎上又增加了利用不等關系來縮小范圍的路徑．

上面兩組例題整體難度不大，筆者提供的是較簡單的數列模型，主要是想突出解決此類問題的一般路徑．數列中的存在性問題，按存在與否可分成兩大類，大體可按照下面的線路圖求解：(1)條件轉化→化簡等式→合理判斷→不存在→找矛盾(奇數與偶數、有理數與無理數、正數與負數、整數與分數等)；(2)條件轉化→化簡等式→合理判斷→存在→列舉(約數、求范圍等)．

反饋練習1已知bn=3·2n-1-2，試問:數列{bn}中是否存在不同的三項bp，bq，br(p，q，r∈N*)恰好成等差數列?若存在，求出p，q，r的關系；若不存在，請說明理由．

注：利用奇偶分析，說明不定方程無解．

注：利用有理數無理數分析，說明方程無解．

通過對數列中的存在性問題的探究，把復雜的數列問題分解開來，讓學生發(fā)現原本“高大上”的數列也可以“平易近人”，這讓學生對于數列的學習增強了自信心，這一點在高三的一輪復習中是非常重要的．在一輪復習中，如果直接就拋出一些數列綜合題讓學生來做，學生一定會覺得看不到希望，不愿意再嘗試，教師不如通過這樣的小專題來把難點分解，然后逐個擊破．此外，在對數列中的存在性問題探究的過程中，學生的邏輯推理能力得到了很大的提高，而通過運算也促進了數學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，如例1中需先說明q+1-p和r-p都是正整數，然后才能得到2q+1-p和2r-p都是偶數．