“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算教學(xué)剖析及重構(gòu)

劉丹丹

[摘 要]三年級(jí)下冊的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算教學(xué)是一項(xiàng)系統(tǒng)的工程，筆算的算理、算法教學(xué)要依托直觀模型，在有限的課堂時(shí)間里聚焦本課重難點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)是提高課堂效率的關(guān)鍵。教師可從改編教材例題出發(fā)，采用專題式分步驟推進(jìn)方式進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，使學(xué)生能學(xué)在當(dāng)堂、練在當(dāng)堂，并拓展于課外。

[關(guān)鍵詞]兩位數(shù)乘兩位數(shù);算理;算法;先分后合;數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2020）05-0027-03

筆者研究了幾個(gè)不同版本的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算教學(xué)課例，發(fā)現(xiàn)一個(gè)普遍現(xiàn)象是課上算法多樣，但能當(dāng)堂掌握算法并正確計(jì)算的學(xué)生卻很少。尤其是公開課、觀摩課上，教師預(yù)設(shè)滿滿，恨不得把一切都裝進(jìn)學(xué)生腦子里，但呈現(xiàn)太多的算法擠占了學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)的時(shí)間，反倒造成學(xué)生似懂非懂，計(jì)算時(shí)容易出錯(cuò)。這樣的課堂看似精彩紛呈，但由于學(xué)生練習(xí)時(shí)間不夠，后測結(jié)果令人擔(dān)憂。如《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2018年第2期刊載的《主題式學(xué)習(xí)促進(jìn)系統(tǒng)化思考——從兩節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的研究課辯起》課堂實(shí)錄中，蔣徐巍老師提問：“我想問一下王老師，您覺得按照今天這樣的學(xué)習(xí)進(jìn)程，學(xué)生的達(dá)成情況怎么樣？”王瑾老師回答：“如果從會(huì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)這樣一個(gè)知識(shí)層面來說的話，我統(tǒng)計(jì)了45位學(xué)生的作業(yè)，第一題有7～8位學(xué)生沒有掌握?！币簿褪钦f，第一題的錯(cuò)誤率達(dá)16%～18%。這是正常現(xiàn)象嗎？筆者的同事教學(xué)了同一內(nèi)容后進(jìn)行后測，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤率高達(dá)24%。筆者也進(jìn)行了同一內(nèi)容的教學(xué)，在后測中發(fā)現(xiàn)有21%的錯(cuò)誤率。

難道盡力展現(xiàn)算法的多樣化就會(huì)影響學(xué)生計(jì)算的正確率嗎？不進(jìn)位的筆算兩位數(shù)乘法有如此高的錯(cuò)誤率是一種正?，F(xiàn)象嗎？能否通過改進(jìn)教學(xué)環(huán)節(jié)讓課堂更高效？帶著這樣的思考，筆者進(jìn)行了如下研究和教學(xué)重構(gòu)。

一、聚焦問題分析與思考

許多教師教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)都覺得時(shí)間不夠用，教學(xué)時(shí)間到底去哪了？筆者反復(fù)研究課例發(fā)現(xiàn)，教師依據(jù)例題展現(xiàn)算法多樣化的環(huán)節(jié)占用了半節(jié)課的時(shí)間，而講解本課教學(xué)重難點(diǎn)——筆算算理和算法的時(shí)間不足，更沒有足夠的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂練習(xí)。

人教版教材三年級(jí)下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的例題選用了14×12。編者的意圖很明顯，12既可以看成2×6或3×4，也可以看成10+2，同時(shí)可以把另一個(gè)因數(shù)看成幾乘幾或幾十加幾。如14×12=14×2×6，14×12=14×3×4，14×12=14×（10+2），14×12=14×（6+6），14×12=（10+4）×12，等等。從表面上看，教師引導(dǎo)學(xué)生把新知轉(zhuǎn)變?yōu)榕f知來解決問題，以學(xué)生為主體，關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，而且盡可能地展現(xiàn)了算法的多樣化，即既可以用乘法結(jié)合律將算式轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘多位數(shù)來計(jì)算，如14×12=14×2×6，也可以根據(jù)乘法分配律來計(jì)算，如14×12=14×（10+2）=14×10+14×2（雖然還沒學(xué)到乘法結(jié)合律、分配律，但學(xué)生可以結(jié)合實(shí)例領(lǐng)悟），為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律、分配律積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。但這樣教學(xué)實(shí)際卻是把大量的時(shí)間花在算法多樣化的探究上，導(dǎo)致沒有足夠的時(shí)間來關(guān)注筆算的算理和算法，更沒有時(shí)間進(jìn)行當(dāng)堂鞏固練習(xí)。這也是學(xué)生后測時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤率高的原因。筆者認(rèn)為造成這一現(xiàn)象的原因在于本課設(shè)計(jì)的知識(shí)目標(biāo)重難點(diǎn)不明確——是關(guān)注解決問題的算法多樣化，還是聚焦“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算算理算法的教學(xué)？從學(xué)生心理角度考慮：我已經(jīng)用自己喜歡的連乘方法算對(duì)了，如14×12=14×2×6，為什么還要學(xué)別的方法？故而有些學(xué)生會(huì)滿足于自己的算法而消極被動(dòng)聽課，這樣缺少內(nèi)心需求的學(xué)習(xí)是沒有動(dòng)力的，是低效的。筆者認(rèn)為，如果一定要讓學(xué)生探索算法的多樣化，完全可以在他們掌握筆算的算理和算法后進(jìn)行。

基于以上分析，筆者對(duì)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了重新定位。一是過程性目標(biāo)切口要小，引導(dǎo)學(xué)生利用點(diǎn)子圖、方塊圖，通過數(shù)形結(jié)合理解算理，經(jīng)歷探究筆算方法的過程。二是結(jié)果性目標(biāo)要分步驟實(shí)施：理解算理、掌握算法、知道豎式寫法，并能正確驗(yàn)算。在學(xué)完“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”之后，再以專題式分步驟推進(jìn)目標(biāo)提升。如學(xué)完面積后，可結(jié)合面積知識(shí)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)一步加深對(duì)算理的理解，溝通知識(shí)間的聯(lián)系。三是情感態(tài)度明確，考慮到三年級(jí)學(xué)生上課注意力易分散、持續(xù)時(shí)間短等特點(diǎn)，設(shè)計(jì)小目標(biāo)推進(jìn)學(xué)習(xí)，逐步深化理解。拓展方面，可在學(xué)完本單元內(nèi)容之后引導(dǎo)學(xué)生了解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的數(shù)學(xué)史，鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，并通過延后作業(yè)，如“假期說題”等讓學(xué)生把學(xué)習(xí)收獲與同學(xué)交流分享，提升綜合能力。

二、專題式分步驟推進(jìn)與實(shí)施

（一） 改編例題，突出筆算乘法算理算法目標(biāo)教學(xué)

基于上述思考，筆者把人教版教材“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的例1進(jìn)行了如下改編：

【活動(dòng)一】每套書有12本，王老師買了13套。一共買了多少本？

師：誰能解決這個(gè)問題？能說說道理嗎？

生1：12×13。每套有12本，13套就是13個(gè)12本，用乘法計(jì)算。

師：對(duì)，這就是我們今天要研究的內(nèi)容——兩位數(shù)乘兩位數(shù)。你們會(huì)計(jì)算嗎？

生2：我先算10套，有12×10=120（本），再算3套，有12×3=36（本），因此一共買了120+36=156（本）。

生3：我把1套的12本看成10本和2本，買13套就是買13個(gè)10本和13個(gè)2本。10×13=130（本），2×13=26（本），所以一共買了130+26=156（本）。

師：兩種思路的計(jì)算結(jié)果一致，都是“先分后合”計(jì)算，為什么都分出了整十?dāng)?shù)來乘？（生：計(jì)算簡便）你們能通過把新知轉(zhuǎn)化成舊知來解決問題，真棒！

改編后的例題直接指向用乘法分配律來解決問題，解決了原先因要展現(xiàn)太多算法而造成的筆算算理算法教學(xué)時(shí)間不足和理解思路上的沖突（乘法分配律和結(jié)合律兩種不同思路），為教學(xué)筆算重難點(diǎn)爭取了寶貴的時(shí)間。此外，教師的引導(dǎo)滲透了優(yōu)化思想，為高效課堂做了鋪墊。

（二）數(shù)形結(jié)合，加深筆算乘法算理算法理解

【活動(dòng)二】把計(jì)算的方法和道理在圖上表示出來。

1.如果1個(gè)點(diǎn)代表1本書，請(qǐng)把你的想法在點(diǎn)子圖（如圖1）上表示出來。（學(xué)生嘗試，方法一和方法二分別如圖2、圖3所示）

方法一：12×10=120（本）

12×3=36（本）

120+36=156（本）

方法二：10×13=130（本）

2×13=26（本）

130+26=156（本）

師：我們可以用1個(gè)點(diǎn)表示1本書，也可以用1個(gè)方塊表示1本書。如果1個(gè)方塊代表1本書，10個(gè)方塊為1列，那么12本書（1套）就是1列加2個(gè)方塊。（教師出示如圖4所示的兩張直觀圖，分別是10套和3套）

2.你能用豎式計(jì)算這道題嗎？（教師將方塊與豎式對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生回顧多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法）

方法一：把13套分成10套和3套，3套就是3個(gè)12本，即12×3，利用筆算一位數(shù)乘多位數(shù)的方法計(jì)算即可;10套就是10個(gè)12本，教師利用數(shù)形結(jié)合講解筆算過程與寫法（如圖4），強(qiáng)調(diào)12×10的積在豎式里表示時(shí)，個(gè)位的0可以不寫。

師：完成筆算后，我們可以用另一種方法（方法二）來驗(yàn)算。

方法二：筆算乘法時(shí)，先把零散的方塊算出來。13套包含13個(gè)2本，即26本，再算整列方塊即13個(gè)10本，有130本，最后把兩部分加起來（如圖5）。

具體筆算時(shí)，要對(duì)照豎式明確：先用12個(gè)位上的2去乘13，得26個(gè)一，即26，所以26末位上的6應(yīng)與個(gè)位對(duì)齊;再用12十位上的1去乘13，得13個(gè)十，即130，個(gè)位上的0可以省略不寫，所以13末位上的3應(yīng)與十位對(duì)齊;最后把兩次乘得的積相加。

3.比較兩個(gè)豎式的異同點(diǎn)，說說自己的發(fā)現(xiàn)。

相同點(diǎn)：筆算時(shí)都從個(gè)位乘起，先用第二個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)，乘得的積的末位與個(gè)位對(duì)齊;再用第二個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)，乘得的積省去個(gè)位上的0后，末位與十位對(duì)齊;最后把兩次乘得的積相加。都是先分后合，積不變。

不同點(diǎn)及發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)豎式因數(shù)的位置相反，但積不變?？梢杂眠@個(gè)方法來驗(yàn)算乘法。

4.筆算練習(xí)。（略）

通過點(diǎn)子圖，學(xué)生能順利把前面兩種不同的算法清楚地展現(xiàn)出來（如圖2、圖3），但對(duì)于列豎式計(jì)算，點(diǎn)子圖幫助不大，學(xué)生大都還是用口算的方法來計(jì)算的。因此，筆者運(yùn)用更直觀、能突出十進(jìn)制和位值制的方塊圖，數(shù)形結(jié)合多角度整合，幫助學(xué)生理解筆算豎式的算法和算理，加深學(xué)生對(duì)本課重難點(diǎn)的理解和掌握。

（三）拓展時(shí)空，以文化熏陶提升綜合素質(zhì)

1.練習(xí)與整合。

人教版教材中有道計(jì)算雞蛋個(gè)數(shù)的練習(xí)題（如圖6），很有趣，但筆者認(rèn)為如果調(diào)整一下出現(xiàn)的位置會(huì)更好。學(xué)生剛學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算，急需進(jìn)行練習(xí)，鞏固算理和算法。如果在學(xué)生沒有形成筆算技能之前練習(xí)此題，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，增加了學(xué)生理解的難度，而且無法充分發(fā)揮練習(xí)題數(shù)形結(jié)合的價(jià)值。而在學(xué)完本單元，即掌握了筆算技能之后再來練習(xí)本題，學(xué)生就會(huì)自然地發(fā)現(xiàn)：原來筆算的每一步都能在雞蛋圖上找到相應(yīng)的部分，數(shù)與形結(jié)合真有趣！

此外，在學(xué)完面積之后出示更抽象的面積與筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)對(duì)應(yīng)的練習(xí)，能讓學(xué)生驚嘆于數(shù)形結(jié)合的精妙。

如圖7所示，是一個(gè)長45厘米、寬26厘米的大長方形。大長方形面積=45×26，對(duì)應(yīng)豎式指出，每一步是求圖中哪個(gè)長方形的面積？

總之，筆算的每一步都能在長方形上找到對(duì)應(yīng)的面積部分。數(shù)形結(jié)合使乘法筆算算理與面積模型深度交融，溝通了數(shù)的運(yùn)算與幾何圖形間的聯(lián)系，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的知識(shí)是相互聯(lián)系的。

2.閱讀與分享。

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，在計(jì)算教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化能更好提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如：“你知道古代人是怎樣計(jì)算乘法的嗎？在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，筆算乘法也走過了不平凡的道路。明朝有一種叫‘鋪地錦的算法（如圖8），你能在圖中找到兩個(gè)乘數(shù)（13，12）和它們的乘積（156）嗎？”

學(xué)完本單元后，筆者給學(xué)生分發(fā)閱讀資料，讓學(xué)生進(jìn)行閱讀并分享。利用延后作業(yè) “假期說題”，學(xué)生充當(dāng)小主播講解，由家長協(xié)助拍攝微視頻，上傳到班級(jí)QQ群中進(jìn)行交流分享。如，有一位學(xué)生這樣介紹“鋪地錦”算法：“大家好！我是數(shù)學(xué)小主播，今天我給大家介紹一種古代計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的格子計(jì)算法，也叫‘鋪地錦算法。上面是13×12的計(jì)算過程?？吹椒礁裆厦媸?3，右面是12，乘得的每一步都寫在格子里。從右下方開始算起，二三得六，在個(gè)位寫6……最后斜著加起來（個(gè)位為6，十位為5，百位為1），合起來就是156。你們知道用‘鋪地錦計(jì)算乘法了嗎？畫出格子自己試一試計(jì)算24×21吧！”

同時(shí)，筆者還讓學(xué)生了解系列數(shù)學(xué)文化史知識(shí)，如算籌法、古印度豎式、劃線法等，借助“假期說題”微視頻分享，把課內(nèi)知識(shí)與課外知識(shí)相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)涵，知道知識(shí)的來龍去脈，在豐富知識(shí)面的同時(shí)感受數(shù)學(xué)文化的魅力，培養(yǎng)了學(xué)生的興趣，提升了學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

總之，這樣系統(tǒng)地重構(gòu)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算教學(xué)，取得了令人滿意的教學(xué)效果。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)有限，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)” 筆算教學(xué)一般安排7至8個(gè)課時(shí)完成，包括不進(jìn)位乘法、進(jìn)位乘法和解決問題教學(xué)。我們采用專題式小目標(biāo)分步驟推進(jìn)，兼顧了小學(xué)三年級(jí)學(xué)生的心理特點(diǎn)和接受能力，在學(xué)習(xí)的不同階段系統(tǒng)地整合筆算乘法內(nèi)容，有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)涵的理解。其實(shí)三年級(jí)學(xué)生乘法計(jì)算能力的提高，是一個(gè)長期的過程。筆者對(duì)三年級(jí)學(xué)生的一次期末測試情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤率達(dá)36%，其中有18%是加法進(jìn)位出錯(cuò)，13%是乘法口訣出錯(cuò)，5%是抄錯(cuò)或格式錯(cuò)誤。因此，要提高學(xué)生的計(jì)算能力，就要根據(jù)班級(jí)學(xué)生的具體情況，進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練與計(jì)算品質(zhì)培養(yǎng)，同時(shí)還要注意與學(xué)生專注力等身心發(fā)展相協(xié)調(diào)。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的一個(gè)環(huán)節(jié)，也是日常生活必需的一種基本技能?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。計(jì)算教學(xué)是發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的重要載體，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮計(jì)算教學(xué)獨(dú)特的育人價(jià)值，使培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實(shí)處。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 王瑾.經(jīng)歷有過程的探究? 感受有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)——“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算（不進(jìn)位）”教學(xué)新實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（2）：27-31.

[2] 蔣徐巍，潘小福，陳洪杰，等.主題式學(xué)習(xí)促進(jìn)系統(tǒng)化思考——從兩節(jié)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的研究課辯起[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（2）：35-39.

[3] 冷滿紅. 始于“深度理解” 行于“溫故知新”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（5）： 22.

[4] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)編 吳美玲）