“數(shù)格子法”引起的話題：度量本質(zhì)及其他

鄭大明

[摘 要]度量觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，它是貫通數(shù)量關(guān)系和空間形式的橋梁，是人類認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的又一重要工具。度量的本質(zhì)是指人們用數(shù)量知覺(jué)和空間知覺(jué)去感受數(shù)量的多少與空間的距離，形成度量知覺(jué)，并自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去創(chuàng)造度量的標(biāo)準(zhǔn)和方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的度量意識(shí)，使學(xué)生形成必要的度量能力是十分必要的。

[關(guān)鍵詞]度量;本質(zhì);知覺(jué);意識(shí)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2020）05-0001-04

新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材研究與應(yīng)用基地和名師工作室參與的“度量”教學(xué)專題答辯活動(dòng)完美地落下了帷幕。每場(chǎng)辯論都讓人感覺(jué)驚艷和震撼，因?yàn)檫@是針對(duì)一個(gè)大家很不熟悉的主題——“度量和度量意識(shí)培養(yǎng)”而開(kāi)展的活動(dòng)。但是在辯課過(guò)程中，涉及度量和度量的本質(zhì)的地方，很多都沒(méi)有說(shuō)到位，比如對(duì)于平行四邊形的面積計(jì)算，大家說(shuō)“數(shù)格子”的方法就是體現(xiàn)度量的本質(zhì)——一個(gè)格子代表1平方厘米，一個(gè)格子一個(gè)格子地?cái)?shù)，得出面積，即度量單位的累加。既然都體現(xiàn)本質(zhì)了，為什么后來(lái)計(jì)算面積又不用數(shù)格子的方法，而采用公式計(jì)算呢？度量是什么？度量的本質(zhì)是什么？度量意識(shí)呢？可見(jiàn)，不能撿到一兩個(gè)關(guān)于度量的詞語(yǔ)，就在那里拋來(lái)甩去地夸夸其談，那樣還是不著邊際，觸碰不到度量的本質(zhì)。

要說(shuō)明度量的本質(zhì)特征，先要從數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征說(shuō)起。所謂本質(zhì)就是一種事物區(qū)別于其他事物的基本特征或特性，比如三角形與四邊形的本質(zhì)區(qū)別就是邊數(shù)、角數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)不一樣;本質(zhì)特性的區(qū)別就是穩(wěn)定性不相同。而其他的，如圖形每邊的粗細(xì)、長(zhǎng)短，以及每個(gè)角的大小等，都不是影響造型屬性（即三角、四邊）的主要因素。

一、數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維的符號(hào)和工具

哲學(xué)是研究世界觀和方法論的系統(tǒng)理論。其中，世界觀就是對(duì)于世界的本質(zhì)及其發(fā)展的根本規(guī)律、人的思維與存在的根本關(guān)系等方面的認(rèn)識(shí)，方法論則是研究人類認(rèn)識(shí)世界的各種基本方法及其恰當(dāng)應(yīng)用的適應(yīng)性。而數(shù)學(xué)從哲學(xué)中切入，選擇了“人類思維”和運(yùn)用人類思維認(rèn)識(shí)客觀世界的“思想方法”兩個(gè)方面進(jìn)行專門(mén)研究。

黑格爾說(shuō)：“數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號(hào)?！?/p>

柏拉圖說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一切知識(shí)中的最高形式?！?/p>

克萊因說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度?！?/p>

恩格斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！?/p>

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》沿用了恩格斯的論述，指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。

近代研究表明，數(shù)學(xué)是研究人們對(duì)于事物或者現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系、內(nèi)部結(jié)構(gòu)、變化規(guī)律、空間形式以及信息處理等方面的認(rèn)識(shí)的一門(mén)學(xué)科。

從本質(zhì)上看，人類認(rèn)識(shí)事物的關(guān)鍵能力是思維能力，所以數(shù)學(xué)屬于研究思維及其表現(xiàn)形式的科學(xué)，它是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的思維工具。數(shù)學(xué)也是當(dāng)前其他各門(mén)科學(xué)和技術(shù)的語(yǔ)言形態(tài)和思維工具。

二、度量的本質(zhì)是思維的標(biāo)準(zhǔn)和程序

1.度量

在古代文獻(xiàn)中，經(jīng)?？梢钥吹剑憾龋褪浅咦樱瑴y(cè)量長(zhǎng)度的工具;量，就是桶子，測(cè)量容量的工具。秦始皇統(tǒng)一了度量衡。其中，“衡”是量的衍生工具，即測(cè)量輕重的工具。因此，度量的最初含義就是去測(cè)量距離和容量（包括輕重），滿足人們對(duì)事物的長(zhǎng)短、遠(yuǎn)近、大小、多少等屬性的認(rèn)知需要。

隨著人們認(rèn)知事物的范圍擴(kuò)大和程度加深，特別是進(jìn)位制的產(chǎn)生，促使度量意義向計(jì)數(shù)、模型、表征等方面進(jìn)行了多維度延伸。新興數(shù)學(xué)集合論產(chǎn)生以后，度量空間的定義更加規(guī)范化了。集合中元素的有限性和無(wú)限性，使得完備度量空間成為數(shù)學(xué)度量的普遍原理。

因此，有人稱度量是數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言和工具，其核心要義就是從數(shù)學(xué)的角度去刻畫(huà)人們常說(shuō)的多少與遠(yuǎn)近。

2.數(shù)量知覺(jué)與空間知覺(jué)

要通俗地理解和表述度量的意義，就必須借助數(shù)學(xué)教育心理學(xué)方面的知識(shí)解讀數(shù)量知覺(jué)和空間知覺(jué)。

所謂數(shù)量知覺(jué)，是指對(duì)事物數(shù)量信息的多少進(jìn)行快速地感受、理解、確認(rèn)、估計(jì)等的知覺(jué)。數(shù)量知覺(jué)對(duì)于形成數(shù)量建模、數(shù)據(jù)表征以及數(shù)量間關(guān)系的理解能力有很大的促進(jìn)作用。它是一個(gè)基于神經(jīng)元的快速反應(yīng)、攝取并行加工的過(guò)程。例如，大腦的中外側(cè)頂內(nèi)溝區(qū)就存在豐富的對(duì)特定數(shù)量值反應(yīng)的神經(jīng)元。

所謂空間知覺(jué)，是指對(duì)物體距離、形狀、大小、方位等空間特性的知覺(jué)。人的兩個(gè)眼睛的視網(wǎng)膜上略有差異的映象，就是觀察物體空間關(guān)系的重要線索。它能讓人在兩維的視網(wǎng)膜刺激的過(guò)程中形成3D的空間映象。對(duì)事物不同部位的遠(yuǎn)近感知稱為3D知覺(jué)或DP知覺(jué)（發(fā)展性知覺(jué)）。

高等數(shù)學(xué)中的賦范線性空間、內(nèi)積空間、度量空間、希爾伯特空間對(duì)于教師來(lái)說(shuō)都比較難理解。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，賦范線性空間，就是指可數(shù)事物數(shù)量的單位元素的累加性，比如數(shù)羊的只數(shù)，無(wú)論是采用“一群”還是“一排”，總能得出若干個(gè)單位組合起來(lái)的總數(shù)量。而度量空間就是指不可數(shù)事物數(shù)量的單位元素的可分性，比如稱羊的重量，由于無(wú)法直接數(shù)數(shù)，因此就要借助一定重量作為標(biāo)準(zhǔn)，如我國(guó)古代的斤、兩、錢等，現(xiàn)代的噸、千克、克等。無(wú)論是多少只羊，無(wú)論是大羊還是小羊，總能經(jīng)過(guò)不斷分解、組合，進(jìn)而稱出個(gè)幾斤幾兩來(lái)。在實(shí)際生活中，這些空間思維往往會(huì)綜合應(yīng)用，在計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的不斷累加和細(xì)分的過(guò)程中，空間知覺(jué)趨于完美。

3.度量知覺(jué)與度量意識(shí)

度量觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是貫通數(shù)量關(guān)系和空間形式的橋梁，它是人類認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的又一重要工具。

怎么才知道測(cè)量出來(lái)的距離有多遠(yuǎn)，東西有多少呢？借助心理學(xué)研究方法，我們提出了度量知覺(jué)和度量意識(shí)兩個(gè)比較新穎的概念。

所謂度量知覺(jué)，就是指需要快速地通過(guò)度量的方式去感受和認(rèn)識(shí)事物的多少、大小和形狀相關(guān)的特征、性質(zhì)和形態(tài)的知覺(jué)。因?yàn)槭挛锏倪@些特征和屬性，光靠眼睛看、耳朵聽(tīng)、伸手摸已經(jīng)不能滿足我們的需要了。比如，“今天很冷！”到底多冷？今天比昨天冷還是昨天比今天冷？我們都很想知道。定性“冷”顯然不夠用。再比如，“我們班成績(jī)很好！”到底有多好？定性“好”不夠用了，必須得定量出“好”的標(biāo)準(zhǔn)和“好”的數(shù)量。要做到這些，就必須樹(shù)立度量意識(shí)。

所謂度量意識(shí)，就是自覺(jué)地去感受和擁有使用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和計(jì)量工具的意識(shí)。昂利·彭加勒在《科學(xué)與方法》一書(shū)中說(shuō)道：“如果沒(méi)有測(cè)量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間?！边@里說(shuō)的工具就是我們常說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)。比如古代的“尺”，不但是計(jì)量長(zhǎng)度的工具，它自身的長(zhǎng)度也是古人約定的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。量，計(jì)量谷物多少的容器，但像升、斗等量具的容積就是古人約定計(jì)量容量（質(zhì)量）的標(biāo)準(zhǔn)。后來(lái)人們還發(fā)明了“衡”，這就體現(xiàn)了人們?cè)谟?jì)量事物的過(guò)程中，不斷根據(jù)計(jì)量需要而進(jìn)行創(chuàng)新的意識(shí)。

有了度量知覺(jué)和度量意識(shí)這兩個(gè)概念，我們就能解釋數(shù)學(xué)中多種度量現(xiàn)象和度量活動(dòng)的合理性和科學(xué)性。下面就運(yùn)用這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)解讀一個(gè)最基本的數(shù)學(xué)形態(tài)：

數(shù)和形被馬克思定義為數(shù)學(xué)的內(nèi)核。但是，在人們的意識(shí)里，數(shù)是抽象的，也是符號(hào)化的。對(duì)于“數(shù)”的初步感覺(jué)往往就是1、2、3……一一對(duì)應(yīng)事物與聲音符號(hào)、文字符號(hào)，一直數(shù)下去、寫(xiě)下去，數(shù)不完，也就寫(xiě)不完。事物有個(gè)數(shù)，符號(hào)也有個(gè)數(shù)，有序地?cái)?shù)，有序地寫(xiě)，習(xí)慣就成自然了。對(duì)于“形”的初步感覺(jué)就是，有些東西長(zhǎng)，有些東西短;有些地方近，有些地方遠(yuǎn);有些東西大，有些東西小;有些東西多，有些東西少（如下圖）。

在某位教師上完這一課后，我問(wèn)他：“如果不上這一課，學(xué)生會(huì)知道圖示的意思嗎？”他臉一紅，說(shuō)道：“肯定知道，幼兒園學(xué)過(guò)！”我又問(wèn)：“沒(méi)讀過(guò)幼兒園的，就不知道了？”他又說(shuō)：“知道的。多數(shù)小孩子在1歲的時(shí)候就可以抓大糖果，會(huì)爭(zhēng)多的東西了?！蔽艺f(shuō)：“那這課白上了？”他尷尬地笑了：“你說(shuō)這課該怎么上？”

問(wèn)問(wèn)孩子吧！他們想知道：誰(shuí)比誰(shuí)長(zhǎng)，長(zhǎng)多少;誰(shuí)比誰(shuí)短，短多少。有的孩子知道意思，但不會(huì)說(shuō);有的孩子說(shuō)不出是怎么比出來(lái)的，只會(huì)說(shuō)“看出來(lái)的唄！”可是眼尖的孩子發(fā)現(xiàn)：尺子比長(zhǎng)短那里，長(zhǎng)的比短多一大格子。對(duì)此，教材的編者就滲透了用標(biāo)準(zhǔn)分格子就能比出“多多少來(lái)”。

原來(lái)，圖示都是兩個(gè)物體相比。用數(shù)的方法，得到的答案一樣：兩個(gè)東西。假如教師能夠想到給它們編個(gè)號(hào)，如“1號(hào)××，2號(hào)××”，這樣就“語(yǔ)詞化”，方便敘述了。至此，還是解決不了孩子們的疑問(wèn)：到底大（高/長(zhǎng)）多少？也就是只有定性是滿足不了定量需求的。這里就出現(xiàn)了樸素的度量意識(shí)：想知“1號(hào)事物”和“2號(hào)事物”到底相差多少。

顯然，采用標(biāo)準(zhǔn)化法就能知道相差多少。只要注意到尺子和它的刻度，就能夠發(fā)現(xiàn)度量的優(yōu)勢(shì)。其他的相似度量，以后就會(huì)有類比的辦法了。這就是真實(shí)地通過(guò)度量知覺(jué)獲得了度量意識(shí)。

因此，我們常說(shuō)“量是數(shù)、形的橋梁”。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，直接可數(shù)而得到的數(shù)量，它們之間沒(méi)有中間數(shù)量鏈接，比如1只羊，2只羊，3只羊……叫作離散量。離散量可以是排成一排的，也可以是圈在一起的，還可能是放在地上和樹(shù)上的，等等（如下圖）。但只要還是羊，無(wú)論走到哪里，都可以數(shù)出它們的頭數(shù)。

但是一杯水有多少？一條路有多長(zhǎng)？一頭牛有多重？這就不好數(shù)了。

聰明的人類發(fā)明了尺子、量杯、臺(tái)秤，約定一定的長(zhǎng)度、一定的容量、一定的重量為標(biāo)準(zhǔn)?？雌渌愋褪挛锉人噙€是比它少。比它多，量了又量，標(biāo)準(zhǔn)累加;比它少，分成小塊，再量了累加;如果還有比“第二個(gè)它”少的，又分成更小塊……

這樣，幾杯水和半杯水可以量，有數(shù)據(jù)了;幾頭牛、大牛、小牛、小小?？梢粤?，有數(shù)據(jù)了。再通過(guò)位置賦值，比如104，103，102，101，10-1，10-2，10-3，10-4，將計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)不斷累加和細(xì)分，使若干標(biāo)準(zhǔn)系列建立起來(lái)，滿足了記數(shù)的需要。

看，原來(lái)不可數(shù)的，經(jīng)過(guò)我們的思考，創(chuàng)造出了新標(biāo)準(zhǔn)，再經(jīng)過(guò)分與合，把原來(lái)不可數(shù)的變成可數(shù)的，而且可以無(wú)限地做下去。這樣，兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之間就能無(wú)限地鏈接起來(lái)，無(wú)限地度量下去。于是，數(shù)學(xué)家把這樣測(cè)量出來(lái)的量叫作連續(xù)量。

這樣，“數(shù)”和“形”通過(guò)“量”的刻畫(huà)，就和諧地相處起來(lái)了。這就是創(chuàng)造度量標(biāo)準(zhǔn)和度量方法的意義和價(jià)值。

因此，記錄數(shù)數(shù)的結(jié)果通常是用語(yǔ)言、文字、符號(hào)。于是有人說(shuō)，只要你熟悉了，數(shù)數(shù)、寫(xiě)數(shù)都不再需要真實(shí)地一個(gè)個(gè)去比、去量、去稱，只需要眼睛看看、腦筋動(dòng)動(dòng)就辦到了。比如要數(shù)10萬(wàn)輛車，一般人不會(huì)親自一輛一輛地去數(shù);把一個(gè)餅平均分成1000份，可以分，但很少有人真的去做，就連畫(huà)圖都不愿意去畫(huà)。數(shù)學(xué)家把這一類符號(hào)化的度量叫作抽象的度量。

相反，要稱牛的重量或量箱子的容量時(shí)，即使是眼力再好或者經(jīng)驗(yàn)很豐富的人，通常都要親自去看一看、量一量、稱一稱，才能獲得一些真實(shí)的數(shù)據(jù)信息，或者還要經(jīng)過(guò)計(jì)算才能得到想要的結(jié)果。數(shù)學(xué)家把這一類標(biāo)準(zhǔn)化的度量叫作具象的度量。

三、度量的意識(shí)讓思維覺(jué)醒與創(chuàng)新

人們普遍認(rèn)為，度量就是人的本能反應(yīng)，如果具備了度量意識(shí)，就會(huì)在日常生活中有意無(wú)意地加以應(yīng)用。無(wú)論是教師還是學(xué)生，只要提供適當(dāng)?shù)臋C(jī)會(huì)，他們的思維就會(huì)覺(jué)醒，就會(huì)有創(chuàng)造與創(chuàng)新。比如，在這次辯課過(guò)程中，教師就能自覺(jué)、主動(dòng)、積極地運(yùn)用這次“度量”主題活動(dòng)中學(xué)到的一些“度量”常識(shí)，解讀教材和學(xué)生，解讀數(shù)學(xué)課堂。因此，筆者嘗試解讀大家的幾點(diǎn)疑惑。

1.“數(shù)格子”，度量就走到頭了？為什么還要用公式呢？

在“多邊形面積的度量”辯課中，很多小組都是組織學(xué)生用方格子數(shù)出圖形的面積，從而理解度量本質(zhì)，發(fā)展度量意識(shí)。

于是有人提出：“這就完了？”

“是完了，還想怎么樣？”

“那公式計(jì)算怎么體現(xiàn)度量？”

……

是的，看似走完了，其實(shí)還很遠(yuǎn)?！皵?shù)格子法”意義重大，大就大在它會(huì)引導(dǎo)我們將一維空間、二維空間、三維空間聯(lián)結(jié)起來(lái)，將具象度量逐漸與抽象度量結(jié)合起來(lái)。

數(shù)學(xué)教育家是這樣思考的：數(shù)格子法，是要學(xué)生體會(huì)圖形的等積變換。剪也好，拼也好，移也好，就是要學(xué)生通過(guò)觀察格子數(shù)不變的現(xiàn)象證明圖形變化前后的面積沒(méi)變。但是除了面積沒(méi)變，還有什么沒(méi)變呢？底變了嗎？高變了嗎？高跑到哪去了？底跑到哪去了？通過(guò)對(duì)比變化前后的數(shù)學(xué)信息，可以發(fā)現(xiàn)：原來(lái)通過(guò)數(shù)格子，就看到多邊形變化前后對(duì)應(yīng)的高與寬、高與高的相等關(guān)系不變，對(duì)應(yīng)的底與長(zhǎng)、底與底的關(guān)系不變。于是，再也不需要去稻田里數(shù)格子、比門(mén)板了，量邊長(zhǎng)、量高的問(wèn)題，用測(cè)量繩子長(zhǎng)度的方式就可以解決了。這就成功地把二維度量轉(zhuǎn)化為一維度量了。于是，面積計(jì)算公式就是在度量一維空間的前提下誕生了。

物體體積計(jì)算前的“數(shù)積木”活動(dòng)，也同樣是把三維空間度量轉(zhuǎn)化為一維空間度量，成功運(yùn)用一維空間度量的結(jié)果，通過(guò)公式計(jì)算，得出物體的體積。

這樣，就印證了前面“度量的本質(zhì)之一是測(cè)量距離”這句話的正確性。

2.“11”怎么個(gè)度量法？

在“古人計(jì)數(shù)”這一課上，教師要求學(xué)生數(shù)出11個(gè)物體。

“數(shù)11，這多簡(jiǎn)單呀！”“除了智力有障礙的孩子，現(xiàn)今一年級(jí)的孩子誰(shuí)不會(huì)數(shù)呢？”要說(shuō)體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，大家都會(huì)講數(shù)學(xué)故事，講有文化分量的數(shù)學(xué)家的故事。但是，要講度量，培養(yǎng)學(xué)生的度量意識(shí)，真是難倒了很多人。這里最關(guān)鍵的兩個(gè)問(wèn)題：一是學(xué)生會(huì)數(shù)數(shù)，知道答案是“11”，怎么設(shè)計(jì)一堂課把他們“唬住”;二是就數(shù)這11個(gè)物體，并不需要測(cè)量，難道去量一下教室有多長(zhǎng)？可是教材里另外有這一課，顯然不應(yīng)該安排在這里，況且教室也沒(méi)有11米長(zhǎng)，要去量桌子或者操場(chǎng)嗎？也不像。

殊不知，數(shù)數(shù)（計(jì)數(shù)）并不是本課的重點(diǎn)，而記數(shù)（寫(xiě)數(shù)）才是本課的關(guān)鍵?！澳銛?shù)出了‘11只羊，請(qǐng)問(wèn)怎么寫(xiě)？為什么要這樣寫(xiě)？”這下學(xué)生都傻眼了，問(wèn)題嚴(yán)重到很多教師也不知道怎么引出這個(gè)話題。

“十以內(nèi)的數(shù)”，一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地?cái)?shù)，一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)地寫(xiě)，都沒(méi)問(wèn)題?，F(xiàn)在，10個(gè)數(shù)和數(shù)字符號(hào)都用完了，連“0”都被“10”用了，怎么辦？對(duì)此，教師要組織學(xué)生去研究標(biāo)準(zhǔn)、創(chuàng)造標(biāo)準(zhǔn)、創(chuàng)新寫(xiě)法。這就是本課研究度量意識(shí)的全部含義。只要教師讓學(xué)生的思維自覺(jué)地活動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生的對(duì)話活動(dòng)自覺(jué)地開(kāi)展起來(lái)，新的標(biāo)準(zhǔn)、新的方法就會(huì)一串一串地跑出來(lái)。

3. 90°、10°、1°都是度量標(biāo)準(zhǔn)嗎？

在辯課“角的度量（一）”中，有個(gè)小組介紹的是首先用直角去測(cè)量角，然后估計(jì)出角的大?。ㄕJ(rèn)為直角是90°，能量出被測(cè)角的大?。?再通過(guò)比較，大致估出角度;然后，再用10°的角去量，發(fā)現(xiàn)沒(méi)量完，就會(huì)想到用1°的角去量。很多教師質(zhì)疑：“學(xué)生已經(jīng)用90°的角估出了被測(cè)角的度數(shù)了，為什么還會(huì)去用10°、1°的角去量呢？”小組回答：“不是一個(gè)學(xué)生用三種標(biāo)準(zhǔn)去量，而是調(diào)查中發(fā)現(xiàn)有學(xué)生用90°的角去量的。因此教師很重視這個(gè)創(chuàng)新量法，因?yàn)槎昙?jí)的時(shí)候，學(xué)生有了用三角板比直角、鈍角和銳角的經(jīng)驗(yàn)。”

還有質(zhì)疑聲：“二年級(jí)沒(méi)有學(xué)角的度數(shù)，不知道角是用‘1°來(lái)測(cè)量的。怎么今天就能估出角的度數(shù)呢？”

下面從度量知覺(jué)的角度回應(yīng)這個(gè)質(zhì)疑。首先，學(xué)生會(huì)不會(huì)好奇地先預(yù)習(xí)后面的內(nèi)容呢？他們會(huì)不會(huì)用預(yù)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)反過(guò)來(lái)應(yīng)付教師的問(wèn)題呢？從心理學(xué)的角度來(lái)看，完全是有可能的。如果站在學(xué)生的角度去揣摩他還會(huì)不會(huì)繼續(xù)往下去創(chuàng)造或者使用新標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量，這可能性是有的，但是可能性不大。因?yàn)?，大多?shù)學(xué)生都是“求答案”的心理，當(dāng)求得的答案被老師和同學(xué)認(rèn)可了，通常很少再繼續(xù)思考下去，只有得不到答案或者暫時(shí)沒(méi)有答案的時(shí)候，他們才會(huì)積極地去動(dòng)腦筋。因此，把這個(gè)獨(dú)特方法當(dāng)作普遍現(xiàn)象來(lái)說(shuō)是不太合適的。其次，從度量知覺(jué)本身來(lái)講，從粗略度量獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)知覺(jué)，到半粗略繼續(xù)獲得經(jīng)驗(yàn)知覺(jué)，再到最后想到用1°的角精確度量而獲得完整的度量知覺(jué)，尋到了準(zhǔn)確的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)和方法……從邏輯上看是沒(méi)有問(wèn)題的。正如任景業(yè)老師說(shuō)的，在執(zhí)行式課堂上，學(xué)生這類學(xué)習(xí)行為和學(xué)習(xí)結(jié)果的發(fā)生率會(huì)很高。因?yàn)榻處熃兴麄兏墒裁?，學(xué)生就干什么，但探究式課堂或者自學(xué)式課堂就不一定了。學(xué)生會(huì)用自己的思路和方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，獲得自己個(gè)性化的結(jié)果。

4.溫度的“度”與度量的“度”是一樣還是不一樣？

在辯課平臺(tái)上，有專家提出問(wèn)題：“溫度的‘度與度量的‘度是一樣還是不一樣？”事實(shí)上，這兩個(gè)“度”既有聯(lián)系也有區(qū)別。

從前面的分析可以看出，溫度的“度”，反映的是氣溫的一種冷熱狀態(tài)，揭示的是一種自然現(xiàn)象，顯現(xiàn)的是它的變化程度，以及這樣的環(huán)境下相關(guān)事物的變化狀態(tài);它與長(zhǎng)度、角度、弧度等一樣，是反映事物或現(xiàn)象的某些靜態(tài)或者動(dòng)態(tài)的特征。而測(cè)量溫度變化的即時(shí)狀態(tài)，就必須要用到度量工具——溫度計(jì)。溫度計(jì)就是典型的測(cè)量氣溫高低的“尺子”。這與度量的“度”本身的含義相同——既含有標(biāo)準(zhǔn)的意義又是測(cè)量工具。也就是說(shuō)，因?yàn)橐獪y(cè)量溫度，于是產(chǎn)生了溫度計(jì)這個(gè)度量工具和使用溫度計(jì)度量的方法。這是一種因果聯(lián)系。

如前所言，度量的“度”，它單列是度量標(biāo)準(zhǔn)“1尺”的意思，也代表度量的工具。“度”“量”二字合起來(lái)，表示有序計(jì)量長(zhǎng)度的一種行為，也含有計(jì)量過(guò)程的意思。而溫度的“度”，是反映事物或現(xiàn)象的發(fā)生和發(fā)展?fàn)顟B(tài)。溫度計(jì)不像尺子那樣以自身狀態(tài)做標(biāo)準(zhǔn)去測(cè)量相同狀態(tài)的事物或現(xiàn)象，不是用溫度去測(cè)溫度的。溫度計(jì)和鐘表一樣，是間接利用一種事物的變化引起其他事物變化的狀態(tài)，從而確定標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)量的。雖然溫度、時(shí)間都看不見(jiàn)，但是人和事物能夠感受到它在變化。計(jì)量時(shí)間的鐘表，以天黑天亮的晝夜交替來(lái)做標(biāo)準(zhǔn)確定的依據(jù)。最初以一日影長(zhǎng)，后來(lái)以星星的位置移動(dòng)等做參考。 而溫度計(jì)因?yàn)榧s定者依據(jù)的事物變化狀態(tài)不一樣，制定的標(biāo)準(zhǔn)也就不一樣。比如，攝氏溫度以冰水混合狀態(tài)的氣溫為“零攝氏度”，以水沸騰時(shí)的氣溫為“一百攝氏度”，并以此做標(biāo)準(zhǔn)制作0～100℃的溫度計(jì);華氏溫度則是以氯化銨和冰水的混合物的溫度為溫度計(jì)的零度，以人體溫度為溫度計(jì)的100華氏度。這兩個(gè)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)本身就有很大的區(qū)別。

通過(guò)以上研究與分析可知，度量觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，它是貫通數(shù)量關(guān)系和空間形式的橋梁，它是人類認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的又一重要工具。度量的本質(zhì)就是指人們用數(shù)量知覺(jué)和空間知覺(jué)這種本能去感受數(shù)量的多少與空間的距離，形成度量知覺(jué)，然后自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去創(chuàng)造度量的標(biāo)準(zhǔn)和度量的方法。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的度量意識(shí)，使學(xué)生形成必要的度量能力是十分必要的。

（責(zé)編 金 鈴）