任意項級數(shù)斂散性的判定方法研究

許秀娟

【摘要】本文主要討論了任意項級數(shù)斂散性判定的幾種有效方法.根據(jù)冪級數(shù)收斂域的特點，構造冪級數(shù)，判定任意項級數(shù)的斂散性.

【關鍵詞】任意項級數(shù);斂散性;冪級數(shù);收斂域

無窮級數(shù)是高等數(shù)學的重要內(nèi)容之一，判定級數(shù)的斂散性是無窮級數(shù)理論的重要組成部分.在無窮級數(shù)的教學中，介紹正項級數(shù)斂散性[1]的方法較多，而對判定任意項級數(shù)的收斂與發(fā)散的方法沒有系統(tǒng)地討論說明.本文主要針對任意項級數(shù)收斂性判定問題進行探討.

所謂任意項級數(shù)，即在級數(shù)∑∞n=1un中，一般項un（n=1，2，…）的值正負沒有規(guī)律.

一、用級數(shù)收斂的必要條件判定

級數(shù)收斂的必要條件：如果級數(shù)∑∞n=1un收斂，則一般項 limn→∞un=0.

由級數(shù)收斂的必要條件知：如果 limn→∞un≠0，則級數(shù)∑∞n=1un發(fā)散.用此結論可以判斷級數(shù)是否發(fā)散.

例如，級數(shù)∑∞n=1（-1）nn（n+1）n2+1，由于un=（-1）n·n（n+1）n2+1，而 limn→∞|un|=limn→∞n（n+1）n2+1≠0，

則 limn→∞un≠0，故級數(shù)∑∞n=1（-1）nn（n+1）n2+1發(fā)散.

二、用冪級數(shù)的收斂域判定

用冪級數(shù)的收斂域判定時，根據(jù)級數(shù)∑∞n=1un的形式，構造冪級數(shù)∑∞n=1anxn，把數(shù)項級數(shù)看作是冪級數(shù)在x=x0處的級數(shù)，通過冪級數(shù)的收斂域范圍，判定對應的數(shù)項級數(shù)的收斂性.

例如，級數(shù)∑∞n=1（-1）nnnn！，設冪級數(shù)∑∞n=1nnn！xn，當x=-1時即為所求.級數(shù)∑∞n=1nnn！xn的收斂半徑為R=limn→∞nnn?。╪+1）n+1（n+1）！=limn→∞nn+1n=1e，故在x=-1時，級數(shù)∑∞n=1（-1）nnnn！發(fā)散.

如果是級數(shù)∑∞n=1nnn！（2e）n，因為冪級數(shù)∑∞n=1nnn！xn的收斂區(qū)間為-1e，1e，則在x=12e時，級數(shù)∑∞n=1nnn?。?e）n收斂.

三、用夾逼準則判定

在數(shù)列極限的存在準則中有夾逼準則，此準則可推廣到無窮級數(shù)的斂散性的判定上.

如果級數(shù)∑∞n=1an與∑∞n=1bn收斂，且an≤un≤bn（n=1，2，…），則級數(shù)∑∞n=1un也收斂.

例如，級數(shù)∑∞n=1（-1）nn10n，因為-n10n≤un=（-1）n·n10n≤n10n（n=1，2，…），而級數(shù)∑∞n=1n10n與∑∞n=1-n10n收斂，所以級數(shù)∑∞n=1（-1）nn10n也收斂.

四、用絕對收斂的性質(zhì)判定

定理?如果級數(shù)∑∞n=1|un|收斂，則級數(shù)∑∞n=1un也收斂[2].

此方法的優(yōu)點在于可以把任意項級數(shù)的收斂性問題轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)收斂性來判斷.但是如果∑∞n=1|un|發(fā)散，并不能斷定原級數(shù)∑∞n=1un也發(fā)散.但是用比值判別法 limn→∞un+1un=ρ>1或根值判別法 limn→∞n|un|=ρ>1判定級數(shù)∑∞n=1|un|發(fā)散，可以斷定級數(shù)∑∞n=1un也發(fā)散.

例如，級數(shù)∑∞n=1（-1）n1an1+1nn2（01，故級數(shù)∑∞n=1（-1）n1an1+1nn2發(fā)散.

此外，還可以用部分和{sn}的極限、萊布尼茨定理[3]、阿貝爾判別法[4]等來判定級數(shù)∑∞n=1un的斂散性.

上述論述闡述了高等數(shù)學中任意項級數(shù)斂散性判定的一些常用方法.在解決具體問題時，要根據(jù)級數(shù)自身的特點，靈活選擇方法.

【參考文獻】

[1]王帥，等.高等數(shù)學（上）[M].上海：同濟大學出版社，2015：6-9.

[2]盛祥耀.高等數(shù)學：第四版[M].北京：高等教育出版社，2008：265.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學：第六版[M].北京：高等教育出版社，2007：262.

[4]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010：24.