乘法分配律：遨游于數(shù)學(xué)王國(guó)

賴美琴

（福建省龍巖市松濤小學(xué)分校，福建龍巖 364000）

引 言

關(guān)于簡(jiǎn)便計(jì)算，有“五律”之說(shuō)，分別是加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律；另加“兩性質(zhì)”，即減法性質(zhì)、除法性質(zhì)?！拔迓伞薄皟尚再|(zhì)”是進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的依據(jù)與法則，同時(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)化學(xué)習(xí)起了決定性的作用[1]。在學(xué)習(xí)與應(yīng)用過(guò)程中，不斷拓展學(xué)生的思維，梯度學(xué)習(xí)，逐次呈現(xiàn)。特別是乘法分配律，它既是簡(jiǎn)便計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)。綜觀多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者反復(fù)思考這些困惑，心得體會(huì)油然而生。下面，筆者就談?wù)剛€(gè)人的一些粗淺看法。

一、啟蒙階段，提早滲透

在低年級(jí)教學(xué)中，教師務(wù)必做好前期滲透，做好鋪墊，讓學(xué)生在潛移默化中學(xué)習(xí)乘法分配律，為學(xué)習(xí)四年級(jí)上冊(cè)真正意義上的乘法分配律埋下伏筆。

例如，二年級(jí)學(xué)習(xí)乘法口訣后就會(huì)有“2 個(gè)5 加4 個(gè)5 等于幾個(gè)5”。這就是乘法分配律的雛形，教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)是學(xué)生能感悟出其中的計(jì)算方法即可。

圖1

在三年級(jí)教學(xué)中，有兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算，那是整數(shù)、小數(shù)計(jì)算的入門，如25×3=？你是怎么想的？請(qǐng)寫出你的思考過(guò)程：25×3=20×3＋5×3=75。三年級(jí)下冊(cè)初次學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法教學(xué)中，如圖1 所示：25×13=？教師可以先從25×3 導(dǎo)入，緊接著讓學(xué)生自主嘗試，可以巧妙地借助點(diǎn)子圖，讓學(xué)生自主分析算法的策略與依據(jù)，從拆數(shù)方法、運(yùn)算定律、轉(zhuǎn)化思想三個(gè)角度，進(jìn)行追溯分析，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)豎式算法進(jìn)行討論，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式算法；最后使學(xué)生通過(guò)算式、點(diǎn)子圖再聚焦豎式的拆分、分析，從而理解其中蘊(yùn)含的算理。在這個(gè)拆分過(guò)程中，用到了一個(gè)重要的思想方法：把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，也就是把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)。至此，學(xué)生完成以兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算為載體，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，經(jīng)歷了算法的分析和算理的反思、應(yīng)用的過(guò)程，發(fā)展了運(yùn)算能力。

在三年級(jí)上冊(cè)，學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的相關(guān)知識(shí)，那是幾何入門。學(xué)生啟蒙階段知識(shí)掌握得好不好，很大程度上影響到后續(xù)學(xué)習(xí)。在周長(zhǎng)知識(shí)的教學(xué)中，正方形的周長(zhǎng)明顯異于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。對(duì)于長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的教學(xué)，教師可首先讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖形的觀察、分析，量一量它一周的長(zhǎng)度，得知周長(zhǎng)的意義；其次，通過(guò)嘗試計(jì)算得到周長(zhǎng)，有長(zhǎng)＋寬＋長(zhǎng)＋寬，按量的順序有序計(jì)算，不重復(fù)、不遺漏，也有長(zhǎng)＋長(zhǎng)＋寬＋寬，因有相等長(zhǎng)度的邊而跳躍式相加；最后，通過(guò)思考再總結(jié)得出③長(zhǎng)×2＋寬×2，④（長(zhǎng)＋寬）×2。這種梯度思考，既體現(xiàn)了計(jì)算方法的優(yōu)化，又溝通了知識(shí)之間的聯(lián)系。計(jì)算不再是單純的計(jì)算，而是滲透在各個(gè)層面，原來(lái)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)也是離不開(kāi)乘法分配律的，或許這就是乘法分配律的前世吧！

二、意義學(xué)習(xí)，構(gòu)建知識(shí)

在四年級(jí)教學(xué)中，乘法分配律終于來(lái)了。在教材中呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)程序是，先觀察算式，看看左右兩邊是否相等；再次觀察左右兩邊算式的關(guān)系，進(jìn)而得出乘法分配律的規(guī)律。筆者在教學(xué)中巧妙地抓住學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以他們的知識(shí)落腳點(diǎn)為起點(diǎn)進(jìn)行講解，出示一系列的習(xí)題，告訴學(xué)生：“這是你們學(xué)過(guò)的，當(dāng)時(shí)你是怎么想的？請(qǐng)從中找出規(guī)律?！绷?xí)題如下：

（1）2×5＋4×5=（ ）×5

（2）根據(jù)上一小題的經(jīng)驗(yàn)，你會(huì)口算25×13 嗎？

25×10＋25×3 20×13＋5×13

（3）出示長(zhǎng)方形，長(zhǎng)5 厘米，寬3 厘米。你想怎么計(jì)算它的周長(zhǎng)？ 5×2＋3×2 （5＋3）×2

（4）出示生活實(shí)際問(wèn)題：小芳在超市買了方便面、薯片各5 包，方便面4元一包，薯片3元一包。一共用去多少錢？如果你是售貨員，你會(huì)怎么算錢？算一算，說(shuō)說(shuō)你的想法。

4×5＋3×5 （4＋3）×5

（5）在學(xué)生解答并匯報(bào)各自的想法后，出示問(wèn)題：第（2）（3）題分別有兩種不同的方法，答案一樣嗎？想法相同嗎？

（6）你能用字母或符號(hào)表示它們左右兩邊知識(shí)之間的關(guān)系嗎？

①a×c＋b×c=（a＋b）×c

學(xué)生通過(guò)自主嘗試、解決問(wèn)題，在不同方法中探究，在相同結(jié)果中思考，彰顯乘法分配律的本質(zhì)。這樣，學(xué)生能夠深刻構(gòu)建知識(shí)體系，并會(huì)靈活運(yùn)用，真正實(shí)現(xiàn)了訓(xùn)練思維，發(fā)散思考，殊途同歸。

三、遷移學(xué)習(xí)，練習(xí)運(yùn)用

在四年級(jí)剛學(xué)完乘法分配律后，直接進(jìn)入整數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算，學(xué)以致用，熟能生巧，但學(xué)生還是錯(cuò)誤層出不窮，特別是一些稍難易錯(cuò)題。優(yōu)生，掌握了知識(shí)，明白了道理，做起題來(lái)得心應(yīng)手、有條不紊；相反，學(xué)困生，不理解算理，困惑重重。還好，教材的編寫是循序漸進(jìn)的，到了五年級(jí)上冊(cè)，又過(guò)渡到了小數(shù)乘法的簡(jiǎn)便計(jì)算，此時(shí)看似新課教學(xué)，但中上的學(xué)生都可以自學(xué)完成，遷移學(xué)習(xí)即可，效果好多了；到了六年級(jí)上冊(cè)，分?jǐn)?shù)乘法的簡(jiǎn)便計(jì)算，使舊知識(shí)的再度遷移學(xué)習(xí)，連學(xué)困生都不再疑慮了。在高年級(jí)，乘法分配律還延伸至方程的計(jì)算，如2.3x＋2.7x=10。學(xué)生在練習(xí)中感悟、明理，實(shí)現(xiàn)正遷移。

四、深度學(xué)習(xí)，梯度應(yīng)用

到了高年級(jí)，乘法分配律的靈活應(yīng)用有了更高的要求，許多知識(shí)蘊(yùn)含著這一規(guī)律，需要教師和學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維探索世界，用數(shù)學(xué)的聲音描述世界，用數(shù)學(xué)的方法感悟世界。

在學(xué)習(xí)五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”一單元時(shí)，學(xué)生已了解正方體是特殊的長(zhǎng)方體，相比于正方體，長(zhǎng)方體的知識(shí)量大且難。單元復(fù)習(xí)中有一道題：一個(gè)長(zhǎng)方體，當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各擴(kuò)大2 倍時(shí)，它的棱長(zhǎng)總和、表面積、體積分別擴(kuò)大幾倍？這個(gè)問(wèn)題可是難倒了大片學(xué)生。這時(shí)，教師應(yīng)該怎么辦？

（1）舉例子，用數(shù)值帶入計(jì)算，得出規(guī)律，這是一個(gè)好方法。

如長(zhǎng)6 厘米，寬5 厘米，高3 厘米

（2）借助乘法分配律進(jìn)行理解，利用字母公式對(duì)棱長(zhǎng)總和、表面積、體積的計(jì)算進(jìn)行拓展思考。知識(shí)梳理如下：

棱長(zhǎng)總和：(a×2＋b×2＋c×2)×4=(a＋b＋c)×4×2

棱長(zhǎng)總和擴(kuò)大2 倍

表面積：(a×2×b×2＋a×2×h×2＋b×2×h×2)×2= (ab＋ah＋bh)×2×4 表面積擴(kuò)大4 倍

③體積：a×2×b×2×h×2=abh×8 體積擴(kuò)大8 倍

其中蘊(yùn)含著乘法分配律的學(xué)習(xí)，已經(jīng)是高層次、高級(jí)別的學(xué)習(xí)。學(xué)數(shù)學(xué)不能只著眼于眼前，更重要的是要提煉思維、深度學(xué)習(xí)、梯度應(yīng)用，重在體驗(yàn)獲取知識(shí)的過(guò)程，由學(xué)會(huì)變成會(huì)學(xué)。

結(jié) 語(yǔ)

總之，乘法分配律并不局限于計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)便運(yùn)用，從縱向上看，它貫穿于數(shù)學(xué)課程的始終，從小學(xué)到初中、高中、大學(xué)及步入社會(huì)運(yùn)用于生活；從橫向上看，它拓展運(yùn)用于代數(shù)、幾何各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域，遨游于數(shù)學(xué)王國(guó)，彰顯魅力，盡顯霸氣風(fēng)采。