用消元法解決多變量表達(dá)式的范圍問題

沈瑜敏

[摘要]消元法是求解多變量表達(dá)式的范圍問題的有效路徑.結(jié)合幾則例題，從三個(gè)方面探討消元法的具體運(yùn)用，以幫助學(xué)生解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

[關(guān)鍵詞]消元法;多變量;表達(dá)式;范圍

[中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058（2020）02-0021-02

多變量表達(dá)式的范圍問題，是一類形式復(fù)雜、解法靈活的問題，這類問題一般采用消元法來處理.當(dāng)表達(dá)式含有多個(gè)變量，而且這些變量又是相互制約時(shí)，如何消元？消元主要有哪些方法與技巧？消元后表達(dá)式會(huì)發(fā)生哪些變化？消元時(shí)應(yīng)注意哪些問題？

一、利用等量關(guān)系消元

有些題目，給出幾個(gè)變量之間的等式，在此基礎(chǔ)上求某個(gè)關(guān)于這幾個(gè)變量的另一個(gè)表達(dá)式的取值范圍.我們通常把這個(gè)已知等式看成條件等式，利用這個(gè)等量關(guān)系，寫出變量的函數(shù)，進(jìn)而代入待求關(guān)系式，達(dá)到減少變量的結(jié)果，最后將問題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)的值域問題.

[例1]（1）已知a，x，y∈R，且滿足，那么xy的取值范圍是??? .

（2）已知a>0，b>0，c>0，且ab=1，a²+b²+c²=4，則ab+bc+ac的最大值為??? .

分析：（1）.

由及可得，

解得..

（2）因?yàn)閍b=1，所以ab+bc+ac=1+c（a+b）.

由a²+b²+c²=4可得a²+b²=4-c²，于是，

這樣.于是原多元表達(dá)式化成了一個(gè)關(guān)于c的函數(shù).

再由4-c²=a²+b²≥2ab=2可得c²≤2，即這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?

故.于是當(dāng)c²=2時(shí)，.

點(diǎn)評(píng)：本例的（1）問中，因?yàn)閤y可用x+y，x²+y²來表示，所以最終得到一個(gè)關(guān)于a的函數(shù)，再確定a的取值范圍，原問題便迎刃而解.破解本例的（2）問的關(guān)鍵是選擇c作為變量，發(fā)現(xiàn)（a+b）可用c來表示，從而使三元變成一元，得到函數(shù)，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

二、利用換元法消元

當(dāng)表達(dá)式中出現(xiàn)一個(gè)整體時(shí)，往往可以將這個(gè)整體看作一個(gè)新元，采用整體換元法;當(dāng)條件等式是二次時(shí)，尤其是二次曲線時(shí)，可以采用三角換元法，采用二次曲線的參數(shù)方程，將原表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來處理.

[例2]如果實(shí)數(shù)x，y滿足條件x²-y²=1，那么代數(shù)式的取值范圍是??? .

思路1：因?yàn)閤²-y²=1，所以，于是.

設(shè)，它的幾何含義就是（x，y）與（0，0）連線的斜率.而點(diǎn)（x，y）在雙曲線x²-y²=1上，所以這個(gè)斜率的絕對(duì)值必須滿足小于漸近線的斜率的要求，即t∈（-1，1），則f（t）=-t²+2t+1=-（t-1）²+2∈（-2，2）.故答案為（-2，2）.

思路2：本題也可以考慮利用三角換元.設(shè)，原式轉(zhuǎn)化為.由可知的范圍為（-2，2）.故答案為（-2，2）.

點(diǎn)評(píng)：本例分別采用了兩種換元法.但無論是哪種，必須要滿足兩點(diǎn)：一是有利于確定新元的取值范圍;二是有利于化為常見的基本函數(shù).本例最終都化為二次函數(shù)，有利于求出它的值域，即所求的多元表達(dá)式的取值范圍.

三、利用放縮法消元

對(duì)于有些多元表達(dá)式的最值問題，已知條件中給出的不是條件等式，而是條件不等式，此時(shí)往往需用到放縮法與不等式的傳遞性技巧來消元.要求解題者仔細(xì)分析題目特征以及各個(gè)未知元之間的關(guān)系，通過合理放縮，將不等關(guān)系傳遞下去.但需保證等號(hào)依然可以取到，這一點(diǎn)是處理這類問題的難點(diǎn)所在，也是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)所在.

[例3]（1）設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²≤c≤1，則a+b+c的最大值為??? .

（2）若當(dāng)x∈R時(shí)一元二次不等式ax²+bx+c≥0恒成立，且題目中的系數(shù)a，b滿足a

解析：（1）由a+b+c想到（a+b）與a²+b²的內(nèi)在聯(lián)系，即，故.接著可利用a²+b²≤c這個(gè)關(guān)系進(jìn)一步放縮消元，于是得.再應(yīng)用條件c≤1即可求得最大值，所以a+b+c的最大值為.其中等號(hào)成立條件為.故答案為.

（2）由不等式恒成立可得△=b²-4ac≤0，且a>0，于是想到消去c，

即由△≤0得到，所以，

再將分式的分子與分母同時(shí)除以，得.

設(shè)，根據(jù)a

因?yàn)?，從?故答案為3.

點(diǎn)評(píng)：本例（1）問也可從a²+b²入手，進(jìn)行三角換元，根據(jù)a¹+b²≤c可得到，再由不等號(hào)的方向情況進(jìn)行連續(xù)放縮，從而消去θ，r，c就可得到最值.而本例（2）問的關(guān)鍵在于消去c，保留a，b，使得最終得到的是一個(gè)關(guān)于a，b的輪換式，為進(jìn)一步利用換元法消元?jiǎng)?chuàng)造有利條件.

以上三種消元的方法雖然形式不同，但消元的原則是一致的，即消元后化為一元表達(dá)式，然后再求它的取值范圍.或利用常見函數(shù)，利用求函數(shù)值域的方法求出它的范圍;或利用基本不等式，先構(gòu)造出具備使用基本不等式的條件，再利用基本不等式快速得到最值;或利用三角函數(shù)，最終轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題.