靈活選用二次函數(shù)表達(dá)式

文 劉 丹

二次函數(shù)是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，其中用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式也是我們必須掌握的方法。我們?cè)谇蠖魏瘮?shù)的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目給出的條件，靈活地選用不同的方法。

用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式的步驟：1.根據(jù)題目條件設(shè)出合適的函數(shù)表達(dá)式；2.把已知條件代入函數(shù)表達(dá)式；3.解方程（組）求出待定系數(shù)的值，從而寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式。下面舉例說(shuō)明，希望對(duì)同學(xué)們有幫助。

（下文中提到的a、b、c、h、k、x1、x2均為常數(shù)，a≠0）

一、利用y=ax2求二次函數(shù)表達(dá)式

當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，通常選用y=ax2設(shè)表達(dá)式。

例1已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且點(diǎn)A（2，8）在拋物線上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

解：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2，把A（2，8）代入，解得a=2，所以拋物線的表達(dá)式為y=2x2。

【總結(jié)】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，所以設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2，然后將已知的點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式即可求出a的值。

二、利用y=ax2+k求二次函數(shù)表達(dá)式

已知拋物線的頂點(diǎn)在y 軸上或是以y 軸為對(duì)稱軸時(shí)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+k。

例2已知：拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為y軸，且過(guò)點(diǎn)A（0，-3）、B（2，0），求該拋物線的表達(dá)式。

解：由題可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2-3，將B（2，0）代入表達(dá)式，得4a-3=0，可得a=則拋物線的表達(dá)式為

【總結(jié)】由于拋物線的對(duì)稱軸為y 軸，且過(guò)點(diǎn)A（0，-3），所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），于是設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2-3，然后將B（2，0）代入求解即可。

三、利用y=a（x-h）2求二次函數(shù)表達(dá)式

如果二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)在x 軸上或最大（?。┲禐榱銜r(shí)，可設(shè)它的表達(dá)式為y=a（xh）2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，0）。

例3如圖1，已知二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)在x軸上，對(duì)稱軸為直線x=-2，且A（1，3）在函數(shù)圖像上，求它的表達(dá)式。

解：由題可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+2）2，將A（1，3）代入，得a（1+2）2=3，解得所以拋物線的表達(dá)式為

【總結(jié)】因?yàn)閽佄锞€圖像頂點(diǎn)在x 軸上，對(duì)稱軸為x=-2，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），由此可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+2）2，然后將點(diǎn)A（1，3）代入即可求出表達(dá)式。

四、利用y=a（x-h）2+k求二次函數(shù)表達(dá)式

已知拋物線圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），一般可設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a（x-h）2+k，然后根據(jù)其他條件確定a 的值。已知拋物線的對(duì)稱軸，即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；或已知拋物線的最大（?。┲?，即拋物線的最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也可用此形式求二次函數(shù)的表達(dá)式。

例4已知二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸為直線x=-1，且最大值為-3，同時(shí)圖像與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5），求該函數(shù)的表達(dá)式。

解：由題可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x+1）2-3，將（0，-5）代入得a=-2，從而得拋物線的表達(dá)式為y=-2（x+1）2-3，即y=-2x2-4x-5。

【總結(jié)】若已知條件是圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大（?。┲担稍O(shè)拋物線表達(dá)式為y=a（x-h）2+k，再將已知條件代入，求出待定的系數(shù)。

五、利用y=a（x-x1）（x-x2）求二次函數(shù)表達(dá)式

已知拋物線與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)表達(dá)式為交點(diǎn)式，即y=a（x-x1）（x-x2）。

例5如圖2，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0）、（0，3）。

（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式；

（2）求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3），將（0，3）代入得3=a（0+1）（0-3），解得a=-1，∴拋物線的表達(dá)式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3。

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）。

【總結(jié)】當(dāng)已知拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，且知道圖像上的另一個(gè)坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）來(lái)求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式。

六、利用y=ax2+bx+c求二次函數(shù)表達(dá)式

當(dāng)已知二次函數(shù)圖像上任意三點(diǎn)時(shí)，可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c，然后將三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入求出待定系數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，此方法計(jì)算比較繁瑣，只有當(dāng)三點(diǎn)坐標(biāo)不符合以上幾種情況時(shí)才使用。

例6已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x y……-1 0 0 1 2 3-5-8-9-8……

求此二次函數(shù)表達(dá)式。

解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c，

∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x-5。

【總結(jié)】實(shí)際上根據(jù)表中的情況，我們還可以利用“頂點(diǎn)式”或“交點(diǎn)式”求解。有興趣的同學(xué)可以嘗試一下。