二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用

文 孫 艷

二次函數(shù)是初中階段數(shù)學(xué)中的一個重要組成部分，也是中考中的必考內(nèi)容，它的重要性顯而易見。而隸屬其中的在實際生活中的應(yīng)用又是二次函數(shù)的一個難點，很多同學(xué)從心理上就怵它，學(xué)起來便顯得很吃力。在實際生活中，橋梁、隧道、噴泉、經(jīng)濟、球類運動軌跡等都融合了二次函數(shù)的相關(guān)知識點。下面我們從常見的二次函數(shù)與實際生活問題之間的關(guān)系中選擇橋梁和經(jīng)濟兩種類型來分析，希望能使同學(xué)們的學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果。

一、二次函數(shù)在橋梁中的應(yīng)用

例1有一座拋物線形拱橋，在正常水位時，水面AB 的寬為20 米；在警戒水位時，水面寬12 米。如果水位上升3 米時，水面CD的寬為16米。

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求此拋物線表達(dá)式；

（2）在正常水位時，有一艘寬8 米、高3.5米的船只，能否通過此橋？

（3）若正常水位時，水深4 米，為了保證船只順利通過，水面寬度不得小于警戒水位，求水深超過多少時會影響船只通行？

（4）現(xiàn)有一輛距橋440 千米的貨車以36千米/小時的速度開向此橋，行使2小時后，接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時0.5 米的速度上漲，問如果貨車按原速行駛，能否安全過橋（橋長忽略不計，達(dá)到警戒水位時不能過橋）。若能，說明理由；若不能，要使貨車安全過橋，速度應(yīng)不小于多少千米每小時？

【分析】（1）求拋物線表達(dá)式是解決二次函數(shù)相關(guān)問題的基礎(chǔ)。求二次函數(shù)表達(dá)式的方法有：

①一般式：已知拋物線上三點坐標(biāo)，可設(shè)y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；

②交點式：已知拋物線與x 軸的兩個交點，可設(shè)y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；

③頂點式：已知拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，可設(shè)y=a（x-h）2+k（a≠0）。

本題也可建立其他的平面直角坐標(biāo)系，答案不唯一。

（2）根據(jù)船只的寬度和拋物線表達(dá)式，當(dāng)橫坐標(biāo)是4 時，求出此點到橋面的距離；再根據(jù)正常水位時的條件，求出水面到橋面的距離。這兩個距離之差與3.5比較，大于3.5時能通過，否則不能。

（3）當(dāng)水面寬度就是警戒水位時，求出此時水面到橋面的距離，再根據(jù)正常水位時水面到橋面的距離，可求不影響船只通行的水深的最大值。

（4）本題實質(zhì)上是行程類問題，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，算出到達(dá)警戒水位時的時間，求出貨車行駛的路程。若求出的路程大于等于440千米時，可順利通過橋，反之，不能。

解：（1）如圖1 所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2（a≠0），OH=h。

∵AB=20，CD=16，OH=h，EH=3，

∴BE=10，DH=8，OE=h+3，

∴B（10，-h-3），D（8，-h）。

∴船只能順利通過。

∵456＞440，∴貨車能夠安全過橋。

【點評】本題考查二次函數(shù)在橋梁中的應(yīng)用，借助平面直角坐標(biāo)系確定二次函數(shù)表達(dá)式及利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵。

二、二次函數(shù)在銷售中的應(yīng)用

例2在抗擊“新冠”疫情期間，某藥店以每個2 元的進價購進一批某型口罩售賣。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按定價每個3 元銷售，每天可銷售500 個。定價每增加1 元，每天將少賣100 個。按相關(guān)政策，該型口罩售價不能超過6 元，同時假設(shè)定價不低于每個3 元。設(shè)定價為每個x元，每天銷售量為y個。

（1）請寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍；

（2）設(shè)該藥店銷售這批口罩一天的利潤為W元，求W與x的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)藥店將口罩定價為每個多少元時，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少元？

（4）該藥店老板熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出100 元給希望工程。為保證捐款后每天剩余利潤不低于700 元，請寫出該口罩售價的范圍。

【分析】（1）定價每個3元，可銷售500個，定價每增加1 元，每天將少賣100 個，即x 比3大多少就少賣多少個100。

（2）本問考查二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，理清成本、利潤之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵?？偫麧?總銷售額-總成本，總銷售額=售價×銷量，總成本=進價×銷量。

（3）二次函數(shù)最值的求法：配方法或頂點公式法。需注意自變量的取值范圍、對稱軸、函數(shù)圖像增減性等。

（4）捐款后的利潤=銷售利潤-100，即W-100≥700。還可利用解方程或數(shù)形結(jié)合思想解決。

解：（1）由 題 意，得y=500-100（x-3）=800-100x（3≤x≤6）。

（2）由題意，得W=xy-2y=（x-2）y=（x-2）（800-100x）=-100x2+1000x-1600。

（3）∵W=-100x2+1000x-1600=-100（x-5）2+900，

又∵-100＜0，3≤x≤6，

∴當(dāng)x=5時，W最大=900。

答：當(dāng)藥店將口罩定價為每個5 元時，每天所獲利潤最大，最大利潤為900元。

（4）W-100=-100x2+1000x-1600-100。

∵-100x2+1000x-1600-100≥700，

∴x2-10x+24≤0，

∴（x-4）（x-6）≤0。

∴4≤x≤6。

或如圖2所示：

令y′=x2-10x+24，

∵x2-10x+24≤0，

∴y′≤0，由圖可得4≤x≤6。

答：該口罩售價的范圍是4≤x≤6。

【點評】本題考查了二次函數(shù)在銷售方面的應(yīng)用及二次函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系。理清題中的數(shù)量關(guān)系并明確二次函數(shù)的表達(dá)式與相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵。

利用二次函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，用數(shù)學(xué)思維來分析實際問題，才是真正搭建了數(shù)學(xué)與生活的橋梁。