一道中考?jí)狠S題引出的數(shù)學(xué)模型

文 戚文理

我們先來(lái)看一下2019 年四川綿陽(yáng)數(shù)學(xué)中考第24題：

在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖像向右平移1 個(gè)單位，再向下平移2 個(gè)單位，得到如圖1 所示的拋物線，該拋物線與x 軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A 在點(diǎn)B 的左側(cè)），OA=1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5。

（1）求拋物線和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E 在一次函數(shù)的圖像下方，求△ACE 面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

【分析】（1）先寫(xiě)出平移后的拋物線表達(dá)式，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），可求得a 的值，由△ABD的面積為5 可求出點(diǎn)D 的縱坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式求出橫坐標(biāo)，由A、D 的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）作EM∥y 軸交AD 于M，如圖2，利用三角形面積公式，由S△ACE=S△AME-S△CME構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（3）如圖3，作E 關(guān)于x 軸的對(duì)稱點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)P，則∠BAE=∠HAP=∠HFE，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出，此時(shí)FH 最小，求出最小值即可。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)表達(dá)式的求法和數(shù)形結(jié)合的能力。要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問(wèn)題。第（3）問(wèn)是本題的壓軸點(diǎn)，屬于“胡不歸”模型。

“胡不歸”模型是一個(gè)非常古老的數(shù)學(xué)模型，也是歷史上非常著名的難題，近年來(lái)逐漸成為各地中考的熱門考點(diǎn)，很多同學(xué)不易把握。下面結(jié)合幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)說(shuō)這一模型。

一、“胡不歸”模型的建立

如圖4，點(diǎn)P是射線AM 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是射線外一定點(diǎn)。求k·PA+PB 取最小值時(shí)點(diǎn)P的位置（其中0＜k＜1）。

【分析】如圖5，將射線AM 繞A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得射線AM′，使sinα=k。過(guò)點(diǎn)P 作PE⊥AM′，垂足為E，那么有k·PA+PB=PE+PB。過(guò)點(diǎn)B 作BF⊥AM′，垂足為F，交AM 于點(diǎn)P′，易得，當(dāng)點(diǎn)P 與P′重合時(shí)，k·PA+PB 有最小值BF。

【理論依據(jù)】點(diǎn)到直線間垂線段最短。

二、“胡不歸”模型的運(yùn)用

例1（2019·湖北恩施）如圖6，拋物線y=ax2-2ax+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為與x軸交于A、B兩點(diǎn)。

（1）求拋物線的表達(dá)式。

（2）連接AC，E為直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△AOC∽△AEB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)和的值。

【分析】（1）將點(diǎn)C、D 的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（3）連接BF，過(guò)點(diǎn)F 作FG⊥AC 于點(diǎn)G，當(dāng)折線段BFG 與BE 重合時(shí)，取得最小值，即可求解；

（4）①當(dāng)點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，由Rt△QHM∽R(shí)t△FQM 得QM2=HM·FM；②當(dāng)點(diǎn)H 為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H（0，2），則點(diǎn)Q（1，2）；③當(dāng)點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得點(diǎn)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及一次函數(shù)、點(diǎn)的對(duì)稱性、三角形相似、圖形的面積計(jì)算等，其中第（4）問(wèn)要注意分類求解，避免遺漏。第（3）（4）兩小問(wèn)則是對(duì)“胡不歸”模型的應(yīng)用。

例2（2020·湖南湘西）已知直線y=kx-2 與拋物線y=x2-bx+c（b、c 為常數(shù)，b＞0）的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），點(diǎn)M（m，0）是x 軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)。

（1）當(dāng)直線y=kx-2 與拋物線y=x2-bx+c（b、c為常數(shù)，b＞0）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E 時(shí)，求k、b、c 的值及拋物線頂點(diǎn)E 的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，設(shè)該拋物線與y 軸的交點(diǎn)為C，若點(diǎn)Q 在拋物線上，且點(diǎn)Q 的橫坐標(biāo)為b，當(dāng)時(shí)，求m的值；

【分析】（1）將A 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線與拋物線的表達(dá)式中求得k 的值和b 與c 的關(guān)系式，再將拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求得的直線的表達(dá)式，便可求得b、c 的值，進(jìn)而求得E 點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先根據(jù)拋物線的表達(dá)式求得C、Q 點(diǎn)的坐標(biāo)，用m 表示出△EQM 的面積，再根據(jù)列出m的方程進(jìn)行求解；

（3）取點(diǎn)N（0，1），則∠OAN=45°，過(guò)點(diǎn)D作直線AN 的垂線，垂足為G，DG 與x 軸交于點(diǎn)M，此時(shí)的值最小，由列出關(guān)于b的方程求解便可。

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積公式、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)。第（2）小問(wèn)的關(guān)鍵是由面積關(guān)系列出m的方程，第（3）小問(wèn)的關(guān)鍵是利用“胡不歸”模型確定的最小值為2DG的值。