單元整體視角下的命題設(shè)計路徑初探

【摘 要】通過對數(shù)列單元的整體分析，大致梳理了立足單元整體的數(shù)列創(chuàng)新題的設(shè)計路徑。在命題技術(shù)層面，基于數(shù)列單元整體視角分析了問題載體和設(shè)問方式;參考已有的核心素養(yǎng)評價框架，通過具體案例，分析數(shù)列創(chuàng)新題考查學(xué)生核心素養(yǎng)水平的三個層級。

【關(guān)鍵詞】單元整體;命題設(shè)計;核心素養(yǎng)評價

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2020）03-0015-04

【作者簡介】任念兵，華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)（上海，201203）教師，高級教師。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》采用了“內(nèi)容主線—內(nèi)容主題—核心內(nèi)容”的課程結(jié)構(gòu)，從總體到局部，從局部到總體，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本身的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)。在教學(xué)實施層面，提倡單元教學(xué)設(shè)計，強調(diào)“整體把握課程”，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的認(rèn)識，形成良好的體系，是幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)課程、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要突破口。在教學(xué)評價層面，命制揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的創(chuàng)新試題，是檢測學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)達(dá)成情況的關(guān)鍵課題。

近些年來，高考中的數(shù)列創(chuàng)新題不少，其中有兩類難度還相當(dāng)大。其一是通過限定某個集合中元素的關(guān)系來構(gòu)造數(shù)列，比如北京卷壓軸題多年來似乎都具有該特點;其二是利用函數(shù)迭代an+1=f（an）來構(gòu)造數(shù)列，只是有些迭代函數(shù)十分復(fù)雜，令人望而生畏。雖然這些數(shù)列創(chuàng)新題，具有很高的區(qū)分度，便于選拔具有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛力的高水平人才，但似乎與教材中的數(shù)列內(nèi)容聯(lián)系不夠緊密，命題設(shè)計對日常教學(xué)的引導(dǎo)作用不夠顯著。倘若能基于對數(shù)列單元內(nèi)容的教材分析，站在單元整體視角下命制創(chuàng)新試題，既能有效檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成情況，又能基于課本高于課本，發(fā)揮考試命題對日常教學(xué)的反向引導(dǎo)作用。

本文以“數(shù)列”單元為例，在分析單元內(nèi)容的前提下，梳理近幾年來相關(guān)創(chuàng)新試題的命制思路，探討單元整體視角下的命題設(shè)計路徑。

一、數(shù)列單元分析

“數(shù)列”單元的研究脈絡(luò)遵循一般數(shù)學(xué)對象的研究脈絡(luò)，即數(shù)列的定義—表示—性質(zhì)—應(yīng)用—特殊的數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）。數(shù)列的表示，主要研究通項公式和遞推公式，前者是函數(shù)解析式的具體形式，后者則體現(xiàn)了數(shù)列的離散特征。數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其性質(zhì)的研究也主要立足于函數(shù)性質(zhì)和離散特征兩個方面，離散特征重點體現(xiàn)在數(shù)列的單調(diào)性（只需要研究an+1與an的大小關(guān)系）、部分和（前n項和Sn=a1+a2+…+an），這些與一般的連續(xù)函數(shù)有本質(zhì)的不同。類比于函數(shù)研究，通過對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角和反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的有限次復(fù)合和運算，可以得到各種初等函數(shù);數(shù)列的研究中，可以通過對兩類特殊數(shù)列（等差、等比數(shù)列）的運算、變換生成各種不同類型的數(shù)列。

代數(shù)的根本在于運算和運算律，而“運算”也正是數(shù)列研究過程中的靈魂所在。從概念的名稱就可知，研究數(shù)列的基本手段是運算：施行減（除）法運算而發(fā)現(xiàn)“差（比）相等”，于是有“等差（比）數(shù)列”。而它們的通項公式、基本性質(zhì)、前n項和公式等等，都是在運算中出現(xiàn)的規(guī)律性、不變性。在研究了等差數(shù)列之后，可以從“運算”角度類比研究等比數(shù)列：若{bn}為等差數(shù)列，則{ab }（常數(shù)a>0）為等比數(shù)列;若正項數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則{logabn}（常數(shù)a>0且a≠1）為等差數(shù)列。

在學(xué)生掌握了等差（比）數(shù)列的基本性質(zhì)之后，可以從“運算”角度展開對一般數(shù)列性質(zhì)的研究，主要有三大問題：

①數(shù)列的兩種表示方式——遞推公式和通項公式之間的轉(zhuǎn)化。最常見的問題就是由遞推式求通項公式，方法是通過某些運算技巧轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列來研究。

②數(shù)列通項與部分和之間的關(guān)系。各種數(shù)列求和問題都需要運算技巧的呈現(xiàn)，比如通過“配對”將不同數(shù)的和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的和，通過“錯位相減”消去中間項等，而裂項相消法更是體現(xiàn)了數(shù)列求和的本質(zhì)，對學(xué)生思維能力提出了極大挑戰(zhàn)。

③新數(shù)列的構(gòu)造。對于單個數(shù)列，可以進(jìn)行各種變換（取絕對值、取倒數(shù)、取子列等）構(gòu)造出新數(shù)列;對于兩個數(shù)列，可以進(jìn)行四則運算構(gòu)造出新的組合數(shù)列。

通過運算，可以將一般數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列來研究;通過運算和變換，可以由等差（比）數(shù)列生成各種復(fù)雜的數(shù)列。總之，從“運算”角度入手，由一般到特殊、由特殊到一般，是研究數(shù)列的“基本套路”。

二、創(chuàng)新命題設(shè)計

“數(shù)列”創(chuàng)新題的設(shè)計，關(guān)鍵是構(gòu)造出新數(shù)列。為了讓考生思維集中，在命制一道數(shù)列題時可引入一或兩個數(shù)列，一般不超過三個數(shù)列。從單元內(nèi)容分析中不難發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列和等比數(shù)列是命制數(shù)列創(chuàng)新題的基本載體，其他數(shù)列都通過轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列來研究。立足于等差（比）數(shù)列，通過運算、變換、約束、生成等路徑設(shè)計新數(shù)列，是單元整體視角下命制創(chuàng)新試題的基本思路。

路徑1：著眼于運算。

任意兩個有理數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍然是有理數(shù)，我們稱有理數(shù)集關(guān)于四則運算是“封閉”的。類似地，實數(shù)集、復(fù)數(shù)集也具有對四則運算的“封閉”性，平面向量對加法、減法也具有“封閉”性。類比到數(shù)列中，我們不難發(fā)現(xiàn)：兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的和數(shù)列{an+bn}仍然是等差數(shù)列，即等差數(shù)列對和運算是封閉的。兩個等比數(shù)列{an}、{bn}的積數(shù)列{an·bn}仍然是等比數(shù)列，即等比數(shù)列對積運算是封閉的。由此，可以考慮“滿足什么條件的等比數(shù)列，其連續(xù)兩項的積仍是該數(shù)列中的項？”“滿足什么條件的等差數(shù)列，存在兩個連續(xù)項的和仍是該數(shù)列中的項？”等問題。

在運算封閉性的思路指引下，可以自然地命制如下試題。

題1：若數(shù)列bn=aqn（a、q為常數(shù)，且aq≠0），對任意正整數(shù)m，存在正整數(shù)k，滿足bmbm+1=bk，試求a、q滿足的條件。（答案：a=qc，其中整數(shù)c≥-2）

題2：若an=3n+1，是否存在m，k∈N*，使得am+am+1=ak？（答案：不存在m，k∈N*使等式6m+5=3k+1成立。）

路徑2：著眼于變換。

根據(jù)等差（比）數(shù)列的概念，修改關(guān)系（比如“等”改為“不等”）、數(shù)字（比如1改為2）等，可以“改造”出各種新的數(shù)列來。將等差數(shù)列定義中的關(guān)系——差“相等”改為“不等”，可以定義“增差數(shù)列”：若對任意n∈N*，都有an+1-an

除了修改等差（比）數(shù)列定義中的某些要素外，最簡單的改造數(shù)列的方法，是將兩個簡單的等差（比）數(shù)列進(jìn)行“拼接”、取公共項等，得到新的組合數(shù)列。例如：

題3：已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）。將集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，…（具體問題略）

題4：若存在常數(shù)c、d、k（k∈N*，k≥2），使

得無窮數(shù)列{an}滿足? an+1=? ? ? ? ，則稱

數(shù)列{an}為“段比差數(shù)列”。（具體問題略）

路徑3：著眼于約束。

對于單個數(shù)列，可以定義該數(shù)列具有某種特殊性質(zhì)，例如：（2014年高考江蘇卷）若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數(shù)列”。

對于兩個數(shù)列，可以定義兩者之間具有某種特殊聯(lián)系，常常是用一個數(shù)列約束另一個數(shù)列。比如：（2018年高考上海卷）給定無窮數(shù)列{an}，若無窮數(shù)列{bn}滿足：對任意n∈N*，都有

|bn-an|≤1，則稱{bn}與{an}“接近”。這樣的約束具有深刻的背景，我們可以利用特殊的等差（比）數(shù)列來“接近”一般的某個數(shù)列。類似地，還可以將一般的數(shù)列“嵌入”特殊的等差（比）數(shù)列中。

題5：對于項數(shù)為m（m≥3）的有窮數(shù)列{an}，若存在項數(shù)為m+1，公差為d的等差數(shù)列{bn}，使得bk

路徑4：著眼于生成。

由一個特殊數(shù)列A“生成”新數(shù)列B是指：當(dāng)給定數(shù)列A后，由A生成的數(shù)列B也確定了。比如：記Mn，mn為a1，a2，…，an中的最大數(shù)和最小數(shù)，則由無窮數(shù)列{an}可以生成數(shù)列{bn}，bn=Mn-mn;還可以生成數(shù)列{cn}，cn=Mn+mn。

2019年上海春季高考壓軸題就是研究由一個等差數(shù)列生成的新數(shù)列：已知等差數(shù)列的{an}公差d∈（0，π]，數(shù)列{bn}滿足bn=sin（an），集合S={x|x=bn，n∈N*}。（具體問題略）

三、命題技術(shù)分析

首先，在問題載體選擇上，數(shù)列創(chuàng)新題立足于等差（比）數(shù)列，主要考查數(shù)列通項、數(shù)列部分和等公式的靈活運用，等差（比）數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)和離散特征（比如通過研究數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值項）等，重點仍是對基本知識和基本技能的考查。

其次，在設(shè)問方式設(shè)計上，數(shù)列創(chuàng)新題一般會設(shè)計“計算”和“證明”兩部分。前者主要是求通項（或某些特殊項），求部分和，解不等式（或不等式恒成立時求參數(shù)范圍），求參數(shù)所滿足的約束條件等等;后者主要是判斷或證明數(shù)列新概念或性質(zhì)，證明（或否定）某些項或者某個性質(zhì)的存在性，證明兩個性質(zhì)之間的等價性（充要條件）等。在計算問題中，除了需要運用等差（比）數(shù)列的基本知識外，常常需要分類討論;在證明問題中，除了需要運用數(shù)列基本概念和性質(zhì)之外，常常需要靈活運用數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)方程思想等。

最后，在核心素養(yǎng)考查上，涉及“計算”的問題，主要考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng);涉及“證明”的問題，重點考查邏輯推理素養(yǎng)。當(dāng)然，有些數(shù)列創(chuàng)新題還涉及數(shù)學(xué)抽象等其他核心素養(yǎng)的考查。

南京師范大學(xué)喻平教授在《數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的一個框架》[1]一文中將學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平分成三個等級，即知識理解（一級水平）、知識遷移（二級水平）和知識創(chuàng)新（三級水平）。下面參考這個評價框架具體分析一道數(shù)列創(chuàng)新題：

若無窮數(shù)列{an}滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，則稱{an}具有性質(zhì)P。

（1）若{an}具有性質(zhì)P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21求a3;

（2）若無窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，無窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn，判斷{an}是否具有性質(zhì)P，并說明理由;

（3）設(shè){bn}是無窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）。求證：“對任意a1，{an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”。

命題技術(shù)分析：這里定義了具有某種特殊性質(zhì)的數(shù)列，并緊緊圍繞這個性質(zhì)設(shè)計問題。

第（1）問考查學(xué)生對“性質(zhì)P”這個抽象概念的理解，涉及遞推和簡單的一次方程，這些都是對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查，屬于一級水平。

第（2）問需要運用等差和等比數(shù)列的通項公式，才能求出an=20n-19+35-n，考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。通過判斷an+1-an的正負(fù)，研究數(shù)列{an}的單調(diào)性（a1>a2

第（3）問充分性的證明只需要理解“性質(zhì)P ”的內(nèi)涵即可，必要性的證明則需要借助反證法。假設(shè){bn}不是常數(shù)列，則存在k∈N*，使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b。接下來的任務(wù)就是找到適當(dāng)?shù)腶1，使得數(shù)列{an}不滿足“性質(zhì)P ”?？紤]到{bn}的前k項為常數(shù)，可以構(gòu)造a1=a2，即a1=b+sina1，而a1可以看成是函數(shù)f（x）=x-sinx-b的零點（由零點存在定理保證其存在性）。這樣的a1得到的數(shù)列{an}滿足a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1。所以{an}不具有性質(zhì)P。上述過程中，對“{bn}不是常數(shù)列”的數(shù)學(xué)抽象和表達(dá)，尋找“適當(dāng)?shù)腶1”，這兩大難點分別體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)（三級水平）的考查。

【參考文獻(xiàn)】

[1]喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的一個框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（2）：19-23，59.