高中數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化公式和定理的理解研究

胡志軍

(江蘇省如皋中學(xué) 226500)

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)涵蓋了大量的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)定理，邏輯性較強(qiáng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度增大.傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式側(cè)重于學(xué)生解題能力的提高，并未重視學(xué)生對(duì)公式和定理的理解，使得學(xué)生難以對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括和理解，進(jìn)而影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，無(wú)法取得理想的教學(xué)效果.因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視公式的推導(dǎo)條件和證明，深化學(xué)生對(duì)公式和定理的理解，幫助掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)公式和定理.使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果.

一、問(wèn)題情境，激發(fā)興趣

新課標(biāo)背景下，教師在教育教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該成為學(xué)生的領(lǐng)路人、好朋友、巧助手,教育教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該在教師的主導(dǎo)下，真正以學(xué)生為主體而開(kāi)展.因而，教師能不能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性也就很是關(guān)鍵，它甚至?xí)Q定一堂課是成功的還是失敗的.在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，每個(gè)學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)存在一定差異，部分學(xué)生的邏輯思維能力較弱，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感知停留在形象思維方向，在學(xué)習(xí)過(guò)程中極易受到外界環(huán)境的干擾和影響，難以集中注意力.因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)公式和定理的理解，首先需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生由被動(dòng)參與者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)者，深入思考數(shù)學(xué)公式和定理知識(shí)，養(yǎng)成自主探究的習(xí)慣，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量.問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的一個(gè)有效途徑，通過(guò)一系列的問(wèn)題，幫助學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓學(xué)生在思考中逐步認(rèn)識(shí)、理解公式和定理，并感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).

例如教學(xué)《數(shù)列》一課時(shí)，我首先設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：“數(shù)列是什么？”“數(shù)列有哪些類型？”“數(shù)列有哪些公式？”通過(guò)以上問(wèn)題，可讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時(shí)挑起學(xué)生的好奇心和求知欲，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.我再讓學(xué)生翻閱課本，這樣學(xué)生就會(huì)帶有疑問(wèn)去查看教材內(nèi)容，了解數(shù)列的基本公式和定理，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)本章節(jié)公式和定理的記憶.在學(xué)生了解等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)定理，掌握計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，引入例題，讓學(xué)生進(jìn)行解題訓(xùn)練：已知一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列為等比數(shù)列{an},首項(xiàng)為2，且前三項(xiàng)和為14，即a1+a2+a3=14，求a4+a5+a6的值.這道例題相對(duì)簡(jiǎn)單，且對(duì)于數(shù)列的基礎(chǔ)概念、公式定理的掌握具有代表性，學(xué)生在分析已知條件時(shí)，就可知a2+a3=12，而該數(shù)列為等比數(shù)列，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的突破口，利用等比數(shù)列的公式對(duì)本例題進(jìn)行解答，輕松求出前六項(xiàng)之和，從而得出結(jié)果值.再如，在學(xué)習(xí)“不等式”這堂課中，設(shè)置如下的“問(wèn)題情境”:有兩個(gè)商場(chǎng)在節(jié)日前進(jìn)行商品降價(jià)酬賓銷售活動(dòng)，分別采用兩種降價(jià)方案:甲商場(chǎng)是第一次打p折銷售,第二次打q折銷售;乙商場(chǎng)是兩次都打(p+q)/2折銷售.請(qǐng)問(wèn):哪個(gè)商場(chǎng)的價(jià)格更優(yōu)惠?這種問(wèn)題的設(shè)置貼近生活，貼近實(shí)際，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)觀察、聯(lián)想、抽象、概括、數(shù)學(xué)化的過(guò)程.在這樣的“問(wèn)題情境”下，再注意給學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的空間和時(shí)間，學(xué)生想學(xué)、樂(lè)想.主動(dòng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

二、猜想探究，感知數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也是幫助學(xué)生有效掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵.而猜想，作為一種思考問(wèn)題的思維方式，則是其中的重要組成部分，同時(shí)也是我們掌握和理解數(shù)學(xué)的最好辦法.高中生記憶和理解數(shù)學(xué)公式和定理的重難點(diǎn)在于，數(shù)學(xué)公式在不同使用條件下需進(jìn)行變化，這就導(dǎo)致記憶難度增大，學(xué)生僅僅對(duì)公式和定理進(jìn)行死記硬背，無(wú)法將其應(yīng)用于解題中.因此，公式的推導(dǎo)尤為重要，讓學(xué)生了解公式如何而來(lái)，進(jìn)而掌握公式的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，再將公式應(yīng)用于不同的使用條件下，靈活變化，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式和定理的記憶.公式推導(dǎo)應(yīng)注重學(xué)生的猜想和探究，讓學(xué)生在猜想中驗(yàn)證，體驗(yàn)公式推導(dǎo)的全過(guò)程，感知數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生的記憶，保證公式應(yīng)用的正確性.

例如教學(xué)《正弦定理和余弦定理》一課時(shí)，由于數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的系統(tǒng)性，新公式、新定理可由舊公式、舊定理通過(guò)類比、猜想、遷移、轉(zhuǎn)化而來(lái)，我就先引入初中階段學(xué)生學(xué)過(guò)的勾股定理，先給出一個(gè)猜想：三角形的三邊a、b、c，c為最大邊，推導(dǎo)c2與a2+b2的關(guān)系，學(xué)生們回想勾股定理，就可輕松推導(dǎo)出，當(dāng)∠C=90°時(shí)，三邊關(guān)系為c2=a2+b2.當(dāng)學(xué)生們推導(dǎo)出這一公式時(shí)，就說(shuō)明其能夠考慮到不同三角關(guān)系下的三邊關(guān)系.由此，我就設(shè)置問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行猜想和探究：若∠C≠90°時(shí)，或斜三角形中，c2與a2+b2的關(guān)系又是怎樣的呢？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生都積極參與到猜想探究中，有的學(xué)生猜想：“是不是不等式關(guān)系呢？”還有的學(xué)生猜想：“三邊關(guān)系是否與∠C的變化有關(guān)？”這就給了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)力和方向，通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠C>90°，c2>a2+b2；當(dāng)∠C<90°，c2

三、合作學(xué)習(xí)，提升能力

公式和定理是數(shù)學(xué)學(xué)科中最簡(jiǎn)單的一種符號(hào)表達(dá)或文字表述，而且公式的緣起均是經(jīng)過(guò)真實(shí)的觀察、猜想、探究和證明而來(lái)，數(shù)學(xué)公式和定理不僅僅是文字和符號(hào)的堆砌，還充滿了人的思維過(guò)程.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為增強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式和定理的理解，光靠學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師引導(dǎo)學(xué)習(xí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，基礎(chǔ)較差學(xué)生可能難以跟上教師教學(xué)的進(jìn)度.這就需要教師引入合作學(xué)習(xí)，把班級(jí)內(nèi)的同學(xué)按學(xué)習(xí)能力分組，較好的同學(xué)帶領(lǐng)稍落后的同學(xué)，共同進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，解決問(wèn)題.

例如教學(xué)《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》一課時(shí)，我首先讓學(xué)生預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，學(xué)生翻看書本，就能夠理解指數(shù)函數(shù)公式中x的具體意義，我再應(yīng)用多媒體教學(xué)設(shè)備播放生物細(xì)胞的分裂過(guò)程：細(xì)胞第一次分裂由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)，第二次分裂由兩個(gè)變?yōu)樗膫€(gè)，…由于學(xué)生對(duì)細(xì)胞分裂的認(rèn)知度不夠，我就組織學(xué)生分組，讓學(xué)生以小組為單位，共同折一張紙，學(xué)生們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)中就會(huì)發(fā)現(xiàn)紙張第一次折疊厚度變?yōu)樵瓉?lái)兩倍，第二次折疊厚度變?yōu)樵瓉?lái)四倍，…有學(xué)生就提出：紙張折疊與細(xì)胞分裂的規(guī)律存在著相似性.我設(shè)置問(wèn)題：“若紙張第x次折疊，厚度變?yōu)樵瓉?lái)的y倍，那么y和x之間有著怎樣的函數(shù)關(guān)系呢？”學(xué)生在小組討論中，就能夠了解他人的思路，進(jìn)而推導(dǎo)公式：y=2x.讓學(xué)生與學(xué)生通過(guò)交流、討論和合作探究，豐富其知識(shí)面，拓展學(xué)生視野，促使更多的學(xué)生真正理解公式和定理，進(jìn)而一同提升數(shù)學(xué)能力.

四、總結(jié)歸納，深化理解

在學(xué)生積累數(shù)學(xué)公式和定理后，為加強(qiáng)學(xué)生的記憶和理解，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)感知和體驗(yàn)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式和定理進(jìn)行整理、總結(jié)和歸納，讓公式和定理變得更為系統(tǒng)化，體現(xiàn)出整體性，促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)公式和定理體系，方便學(xué)生在日后進(jìn)行復(fù)習(xí)和反思，從而深化理解.

例如教學(xué)《三角函數(shù)》一課時(shí)，由于學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)大量有關(guān)三角形的公式，因此學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)就建立起了初步認(rèn)知，公式呈現(xiàn)形式和應(yīng)用多樣且靈活，為加強(qiáng)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)公式和定理的能力，我就讓學(xué)生對(duì)之前學(xué)過(guò)的各種三角公式進(jìn)行總結(jié)歸納，學(xué)生在此過(guò)程中就能夠推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)的二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，并明白公式中2α并不僅僅是α的二倍形式.學(xué)生將公式總結(jié)歸納如下：在△ABC中，a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ….學(xué)生在總結(jié)歸納的過(guò)程中，就能夠逐步加深對(duì)公式和定理的記憶和理解，從而在日后學(xué)習(xí)中靈活應(yīng)用公式和定理解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生對(duì)公式和定理的理解，要求教師積極探索有效的教學(xué)途徑，通過(guò)多樣化的教學(xué)手段，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提升學(xué)生的推理能力和實(shí)踐能力，進(jìn)而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.