聚焦數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教材案例研究
——數(shù)學(xué)概念界定的視角

陳靜安， 易文輝， 孟勝奇

(1.廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 廣東 廣州 510303； 2.東莞市教育局教研室，廣東 東莞 523000； 3.東莞市第一中學(xué)， 廣東 東莞 523000)

一、問題的提出

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到研究對象的素養(yǎng)(主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征),并明確指出“數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情景中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)……”[1]4-5。課標(biāo)關(guān)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的概念界定不僅清楚表明獲得概念、提出命題、形成思想與方法、認(rèn)識結(jié)構(gòu)與體系等教學(xué)過程正是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程，而且其中提到三次關(guān)系、兩次結(jié)構(gòu)和體系，表明引領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)整體觀對于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有重要的意義?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》也強(qiáng)調(diào)：“教學(xué)方案是教師對教學(xué)過程的‘預(yù)設(shè)’，教學(xué)方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造。理解和鉆研教材，應(yīng)以本標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，把握好教科書的編寫意圖和教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值”[2]50。因此，“教材作為教學(xué)的依據(jù)和藍(lán)本，尤其是教材中數(shù)學(xué)概念的界定、遣詞用句和內(nèi)容編排及其反映的嚴(yán)謹(jǐn)性對于教師的教材分析、教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)組織有沒有影響？具有怎樣的影響？”直接決定了數(shù)學(xué)概念教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)目標(biāo)的落實(shí)與達(dá)成。為此研究者應(yīng)用文獻(xiàn)研究法、課堂觀察法和案例分析法，基于數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)教材編寫“嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性相結(jié)合”原則的視角，對人教版數(shù)學(xué)教材中的幾個概念課題，進(jìn)行培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教材案例分析，旨在拋磚引玉、引發(fā)教材編寫者和教學(xué)同行們的思考，使教材的編寫與研究更好地引領(lǐng)教師培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐。

二、關(guān)于嚴(yán)謹(jǐn)與量力相結(jié)合的教學(xué)原則

正如《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出的:“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律”[1]1。其中，科學(xué)指分科的系統(tǒng)知識；抽象則是確定和抽取事物的本質(zhì)屬性而舍棄其非本質(zhì)屬性的思維方法，簡而言之就是透過現(xiàn)象看本質(zhì)。特別地，數(shù)學(xué)抽象是舍棄事物即思維對象的其他非數(shù)學(xué)本質(zhì)特性，抽取其數(shù)量關(guān)系或空間形式的本質(zhì)特征，并加以概括，最終形成數(shù)學(xué)概念與結(jié)論的過程。概括是把從若干個別事物抽象出共同屬性，推廣到同類事物中去的思維過程。抽象和概括是互相聯(lián)系、不可分離的，數(shù)學(xué)的抽象程度越高，概括性就越強(qiáng)，應(yīng)用范圍也越廣。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的抽象呈現(xiàn)為逐級抽象、多次抽象。因此數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)。抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性特點(diǎn)在數(shù)學(xué)科學(xué)的知識體系中具體表現(xiàn)為嚴(yán)密的公理化系統(tǒng)，即從盡可能少的未經(jīng)定義的原始概念和一組不證自明的原始命題出發(fā)，運(yùn)用純邏輯演繹方法——具體而言就是概念必須定義、命題必須證明建立起來的演繹系統(tǒng)。因此，數(shù)學(xué)教材編排與教學(xué)設(shè)計(jì)組織中是否注重和落實(shí)這個嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性特點(diǎn)，對于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有直接的影響。

但是，由于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的對象大多是青少年，而青少年的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維水平等存在發(fā)展的階段性特點(diǎn)，使得作為連接數(shù)學(xué)與中小學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)概念和命題體系難于或不能完全按數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性來呈現(xiàn)。這清楚地表明，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材與生俱來的數(shù)學(xué)與教育雙重屬性的特點(diǎn)，決定了中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與組織勢在必然地產(chǎn)生數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與學(xué)生的量力性匹配的問題。因此，作為連接數(shù)學(xué)科學(xué)和中小學(xué)學(xué)生的橋梁，嚴(yán)謹(jǐn)和量力相結(jié)合的原則——即在學(xué)生力所能及的基礎(chǔ)上盡可能的嚴(yán)謹(jǐn)，不僅是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本原則，也是數(shù)學(xué)教材的編寫原則，是數(shù)學(xué)教材的編寫和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與組織的應(yīng)然要求和必然結(jié)果。換言之，在數(shù)學(xué)教材的編寫、數(shù)學(xué)教學(xué)活動的設(shè)計(jì)與組織中，都要依據(jù)嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性相結(jié)合的原則，在學(xué)生力所能及之處保證數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在學(xué)生力所不及之處適度淡化嚴(yán)謹(jǐn)性[3]。然而，課堂觀察及教材分析中發(fā)現(xiàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中某些數(shù)學(xué)概念界定的嚴(yán)謹(jǐn)性則是在學(xué)生的力所能及范圍內(nèi)而有所缺失、亟待加強(qiáng)的。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教材中概念嚴(yán)謹(jǐn)性缺失的案例分析

眾所周知，數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，概念必須定義，命題必須證明。概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念則是反映空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。一個概念所反映對象的本質(zhì)屬性叫做這個概念的內(nèi)涵；內(nèi)涵是對概念質(zhì)的規(guī)定。而概念所反映對象的全體組成的集合叫做概念的外延。換言之，概念由內(nèi)涵與外延構(gòu)成，內(nèi)涵不同則概念相異。例：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形；僅有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。中小學(xué)數(shù)學(xué)教材由于受學(xué)生思維水平的限制，有的數(shù)學(xué)概念會采用不嚴(yán)格的描述性代替。因此，中小學(xué)數(shù)學(xué)概念嚴(yán)謹(jǐn)性的標(biāo)準(zhǔn)是概念的界定與表述應(yīng)在學(xué)生力所能及即量力性的基礎(chǔ)上達(dá)到最大化的嚴(yán)謹(jǐn)。倘若某個數(shù)學(xué)概念的表述，沒有充分滿足學(xué)生的量力性(教材中對這個數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)的嚴(yán)謹(jǐn)性再高一些，學(xué)生是能接受的)，則認(rèn)為這個數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性是有缺失的。

(一)九年級教材中圓周角概念的嚴(yán)謹(jǐn)性分析與再建構(gòu)

基于這個標(biāo)準(zhǔn)，首先對課標(biāo)人教版九年級上冊教材中圓周角概念的嚴(yán)謹(jǐn)性進(jìn)行分析，其次嘗試對圓周角概念進(jìn)行再建構(gòu)。

人教版九年級上冊將圓周角概念界定為：“頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角”[4]。這個概念是否嚴(yán)謹(jǐn)呢？這首先需要弄清楚角和邊的概念。依據(jù)七年級教材“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩邊”[5]132。而七年級教材在四年級教材“把線段向一端無限延伸就得到一條射線。射線只有一個端點(diǎn)”[6]的敘述基礎(chǔ)上，對射線的界定是：“用圖1的方式來表示射線OA，其中點(diǎn)O是射線的端點(diǎn)”[5]126。由此概念界定可知，射線是包含端點(diǎn)的，而角是由射線組成的，所以角這個圖形是包含端點(diǎn)的。

OA

圖1 射線OA

那么，圖2所示的兩個角是圓周角嗎？

教材判定圖2所示的兩個角都不是圓周角。但是，愛鉆研的學(xué)生依據(jù)概念會發(fā)現(xiàn)自己的判斷與教材中給出的答案是相悖、矛盾的。首先，圖2所示這兩個角的頂點(diǎn)都在圓上；其次角的兩邊是射線，而射線是包含端點(diǎn)的，所以這兩個角的兩邊分別和圓都是相交的(與圓相交于兩條射線公共的端點(diǎn))。因此，這兩個角都滿足圓周角的概念，所以它們都是圓周角。

上述悖論說明，教材中圓周角概念的嚴(yán)謹(jǐn)性有明顯的缺失。不僅如此，這個概念還制約著后續(xù)圓周角的定量研究。即圖2這樣的所謂圓周角的大小不滿足圓周角定理的條件與結(jié)論：圓周角等于同弧所對應(yīng)的圓心角的一半。

進(jìn)一步地，由概念內(nèi)涵與外延的反變關(guān)系并結(jié)合以上分析不難發(fā)現(xiàn)，悖論來自圓周角概念界定的嚴(yán)謹(jǐn)性缺失，導(dǎo)致其外延包含了圖2這類本質(zhì)屬性有所缺失的角。要消除悖論，必須增加本質(zhì)屬性、進(jìn)行圓周角概念的重構(gòu)，以剔除圖2這類特殊的角——即兩邊和圓相交于射線的公共端點(diǎn)的角。為此，對圓周角的概念進(jìn)行以下再建構(gòu)就勢在必然：頂點(diǎn)在圓上，且兩邊與圓相交于頂點(diǎn)之外的兩個點(diǎn)所構(gòu)成的角叫做圓周角。

實(shí)踐證明，九年級的學(xué)生，其思維能力、認(rèn)知水平都有了長足的發(fā)展，對圓周角概念進(jìn)行科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕缍?，既切?shí)必要而又充分可行。

O′O

圖2 圓周角的判斷

(二)八年級教材中分式概念的嚴(yán)謹(jǐn)性分析與再建構(gòu)

(三)高中教材中任意角概念界定的缺失及其對教師概念理解與教學(xué)組織的影響

1.人教版高中數(shù)學(xué)必修4第一章第一節(jié)“任意角”的教材分析

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性主要表現(xiàn)為概念必須定義、命題必須證明。但遺憾的是，課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)必修4教材第一章“任意角的三角函數(shù)”中卻沒有給出任意角的概念。而任意角是后面弧度概念和“任意角的三角函數(shù)”的鋪墊性基礎(chǔ)知識。因此，教學(xué)中，具有教材分析能力和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教師會對任意角的概念進(jìn)行再創(chuàng)造。

事實(shí)上，深入分析高中必修4第一章第一節(jié)“任意角”課題，不難發(fā)現(xiàn)其中不僅包括按照射線的旋轉(zhuǎn)方向劃分而產(chǎn)生的正角、負(fù)角、零角及任意角，還包括按照終邊所在位置劃分而產(chǎn)生的象限角、軸線角、終邊相同的角，以及角的始邊、角的終邊共9個相關(guān)概念(7個角概念和2個邊概念)，因此這是一節(jié)典型的概念教學(xué)課。只有掌握這些概念，學(xué)生才能提高計(jì)算與判斷終邊相同的角的技能。

這些新知識的生長點(diǎn)也就是學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，不僅與小學(xué)和初中的角概念、角的大小比較和角的范圍有關(guān)，也與坐標(biāo)系、象限、軸線有關(guān)。這些生長點(diǎn)的內(nèi)容非常豐富，關(guān)系交錯復(fù)雜。其教學(xué)設(shè)計(jì)考驗(yàn)著教師對9個概念形成的因果先后等內(nèi)在邏輯關(guān)系的認(rèn)知與揭示，以及對于幾何教學(xué)必然蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、觀察、比較的思想方法的認(rèn)知與揭示，以及類比數(shù)系從自然數(shù)擴(kuò)充到正數(shù)、負(fù)數(shù)的建構(gòu)，產(chǎn)生正角、負(fù)角、零角，以及類比七年級整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)的外延式定義去再創(chuàng)造與建構(gòu)任意角的概念，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、抽象概括等思想方法獲得象限角、軸線角、終邊相同的角等創(chuàng)造活動[9]。

2.“任意角”教材對于教師理解任意角概念及其教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)組織的影響

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在教材編寫建議中強(qiáng)調(diào)“教材的編寫既要充分反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性與嚴(yán)謹(jǐn)性，也要符合高中生的認(rèn)知規(guī)律。教材不能只是數(shù)學(xué)結(jié)論的簡單表述，應(yīng)該體現(xiàn)結(jié)論產(chǎn)生的背景和形成發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生在背景和過程中主動探究、認(rèn)識建構(gòu)、理解結(jié)論”[1]94。對于任意角課題能否從課題包含的9個概念、概念之間的內(nèi)在邏輯先后關(guān)系、概念形成發(fā)展過程中蘊(yùn)含的思想方法這3個方面清晰剖析與理解，不僅反映了教師對數(shù)學(xué)概念的形成發(fā)展過程以及其中蘊(yùn)含的思想方法的認(rèn)知、理解與掌握，而且反映了教師對數(shù)學(xué)知識整體和本質(zhì)的理解，以及教師對概念界定的內(nèi)涵式定義與外延式定義等邏輯知識的應(yīng)用及其蘊(yùn)含的抽象素養(yǎng)。

為此，研究者設(shè)計(jì)了以下問題串，并以某省普通高中數(shù)學(xué)教師職務(wù)網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)專題研討的形式進(jìn)行了問卷調(diào)查：“針對高中數(shù)學(xué)必修4的1.1.1任意角第一課時，請您分析解答以下問題：(1)該課題教學(xué)是不是概念教學(xué)課？(2)教科書中并沒有定義任意角，請問什么是任意角？(3)該課題包含哪些概念與哪些角？(4)請按照教科書中這些概念發(fā)生發(fā)展的過程，梳理出這些概念之間的邏輯順序或概念網(wǎng)絡(luò)圖，并分析其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想與方法。(5)請界定這個課題具體的三維教學(xué)目標(biāo)”。研究者考慮到網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)的需要，在該專題研討網(wǎng)絡(luò)發(fā)布2周后，以答疑輯要的形式提供了上述問題的參考解答。

為了進(jìn)一步調(diào)研任意角課題的教學(xué)現(xiàn)狀，運(yùn)用課堂觀察法，研究者還對沿海地區(qū)與民族貧困地區(qū)重點(diǎn)高中6節(jié)任意角課題的課堂教學(xué)進(jìn)行了觀摩實(shí)錄；運(yùn)用訪談法，對任教的4位教師(包括一位資深特級教師)進(jìn)行訪談。在分析教材的基礎(chǔ)上，研究者對教師的教案以及課堂教學(xué)的觀察和問卷調(diào)查進(jìn)行分析和研究。

問卷調(diào)查結(jié)果顯示，有近30%的教師不能確定這是一節(jié)概念教學(xué)課；超過50%的教師既不能解答任意角的概念，也不能明確指出7個角概念及這些概念發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯先后順序及其蘊(yùn)含的思想方法。雖然調(diào)查問卷中明確了任意角指的是高中數(shù)學(xué)必修4中第一章第一節(jié)第一課時的內(nèi)容，問題聚焦、要求清晰、表述準(zhǔn)確，但是調(diào)查問卷結(jié)果顯示，在問卷解答的教學(xué)目標(biāo)界定中，近40%的教師不明題意、似是而非，甚至將任意角與第一章第一節(jié)第二課時的弧度、整個第一章任意角的三角函數(shù)混在一起討論、回答問題，由此可見這部分教師對于概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的理解存在困難、教師專業(yè)發(fā)展的意識亟待加強(qiáng)。

課堂觀察發(fā)現(xiàn)，教師教學(xué)中大都重視正角、負(fù)角和零角的概念認(rèn)知與建構(gòu)，不重視象限角、非象限角(也稱軸線角)、終邊相同的角的概念認(rèn)知與建構(gòu)。觀察的6節(jié)課既沒有教師解釋何為任意角，也沒有教師解釋為什么要把角放在坐標(biāo)系里研究。教學(xué)與例習(xí)題的重點(diǎn)是判斷象限角和終邊相同的角、終邊相同的角的計(jì)算及集合表示等技能掌握上。特別地，訪談授課教師“什么是任意角”，沒有教師能夠準(zhǔn)確回答，有的教師竟然回答“隨便一個角就叫任意角”“我認(rèn)為不是每一個概念都需要定義的，所以任意角不一定要定義”。另外，針對答疑輯要教學(xué)目標(biāo)中的化歸思想方法，提問：任意角教學(xué)中化歸思想體現(xiàn)在哪里？值得一提的是，問卷調(diào)查的統(tǒng)計(jì)顯示，有個別教師能夠正確闡述本課題包括7個角概念以及7個角概念形成的先后順序：正角、負(fù)角、零角、任意角、象限角與軸線角、終邊相同的角，以及7個角概念建構(gòu)中蘊(yùn)涵的數(shù)形結(jié)合、分類討論和類比、化歸等思想方法[10]。

四、研究結(jié)論與思考

(一)概念嚴(yán)謹(jǐn)性缺失對于教師課前教材分析與教學(xué)設(shè)計(jì)的影響

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材編寫中既存在部分概念界定及其遣詞用句嚴(yán)謹(jǐn)性缺失和不夠準(zhǔn)確、簡潔的情形，也存在部分概念編排不符合數(shù)學(xué)知識發(fā)展和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。例如課標(biāo)人教版教材高中數(shù)學(xué)必修一第二章，對于五類基本初等函數(shù)中前三類的編排順序是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，這與數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律由易到難、由具體到抽象，即學(xué)生先學(xué)習(xí)相對低級和具體的乘方、開方運(yùn)算，進(jìn)而到相對抽象復(fù)雜的指數(shù)對數(shù)運(yùn)算的邏輯順序相背離。研究者在教師培訓(xùn)中也發(fā)現(xiàn)，這樣編排造成一線數(shù)學(xué)教師對于這三類函數(shù)概念教材的理解和教學(xué)設(shè)計(jì)產(chǎn)生困惑與混亂[11]。又如課標(biāo)人教版七年級教材關(guān)于數(shù)軸的定義從過去言簡意賅的“規(guī)定了原點(diǎn)、方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸”，改成冗長累贅的四段文字表述，對于七年級學(xué)生而言既無此啰嗦贅述的必要，更無助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。教材編寫中概念呈現(xiàn)排版邏輯上的無序與概念界定及其遣詞用句嚴(yán)謹(jǐn)性的缺失，一方面，不僅增大了教師備課的時間成本、考驗(yàn)著教師對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)理解和數(shù)學(xué)再創(chuàng)造能力，另一方面又直接制約了教師的教材分析、教學(xué)設(shè)計(jì)的質(zhì)效，進(jìn)而影響了學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展。事實(shí)上，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在教材編寫建議中明確提出“編寫者要認(rèn)真研究如何在數(shù)學(xué)內(nèi)容的表述中體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，編寫出數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融為一體的教材”[1]92。因此，如何在教材編寫中適切地解決這些問題，尤其在新版課程標(biāo)準(zhǔn)教材的概念內(nèi)容修訂中落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展無疑是亟待研究的問題。

(二) 教材中概念界定嚴(yán)謹(jǐn)性缺失對于教師課中教學(xué)組織與實(shí)施的影響

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出“教師應(yīng)揭示知識的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生厘清相關(guān)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等。數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性”[2]45。課堂觀察及其觀評課研討活動分析顯示，教材中概念界定嚴(yán)謹(jǐn)性的缺失對于教師的課堂教學(xué)組織與實(shí)施帶來以下5個方面直接或間接的影響與困難：制約著教師對概念本質(zhì)屬性的認(rèn)知、理解及其教學(xué)組織；制約著教師引領(lǐng)學(xué)生對新舊概念本質(zhì)屬性的聯(lián)系與區(qū)別的認(rèn)知和探究；制約著教師對于概念形成發(fā)展過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知與揭示；助推了傳統(tǒng)重知識、輕方法，重結(jié)果、輕過程，概念教學(xué)蜻蜓點(diǎn)水、不痛不癢，沉溺于題海戰(zhàn)術(shù)的觀念與傳統(tǒng)做法，導(dǎo)致概念建構(gòu)半生不熟、本質(zhì)屬性認(rèn)知零碎，學(xué)生思維負(fù)擔(dān)減負(fù)困難；制約教師對概念教學(xué)目標(biāo)的精準(zhǔn)界定和數(shù)學(xué)整體觀的建立，制約著教師運(yùn)用數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念、目標(biāo)、要求指導(dǎo)自己的教材分析和教學(xué)設(shè)計(jì)、組織、反思評價(jià)，以致增加了概念教學(xué)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其所反映的三維目標(biāo)界定與達(dá)成的難度。

五、教材編寫建議與啟示

(一)中小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和嚴(yán)謹(jǐn)與量力相結(jié)合的原則，并力求體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展過程

教材是教學(xué)的依據(jù)和藍(lán)本。中小學(xué)數(shù)學(xué)教材作為學(xué)科數(shù)學(xué)的主要載體，一個重要的目標(biāo)就是要把數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。數(shù)學(xué)知識在學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換時，既要遵循由易到難、由具體到抽象、由低級到高級等學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，還要堅(jiān)持嚴(yán)謹(jǐn)性和量力性相結(jié)合的原則，力求體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展過程，將課程標(biāo)準(zhǔn)提出的課程目標(biāo)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為實(shí)際的教學(xué)要求，“編寫出數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融為一體的教材”，以助力師生在背景和過程中主動探究概念所指對象的本質(zhì)屬性、能動建構(gòu)概念、進(jìn)而理解和掌握概念，發(fā)展抽象素養(yǎng)。否則，不僅增大了教師備課的時間成本、考驗(yàn)著教師對于數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)理解和數(shù)學(xué)再創(chuàng)造能力，又直接或間接地制約了教師的教材分析、教學(xué)設(shè)計(jì)的質(zhì)效，進(jìn)而影響著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

(二)教材編寫中要重視和加強(qiáng)概念界定及遣詞用句的嚴(yán)謹(jǐn)性表達(dá)，助力學(xué)生抽象素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學(xué)概念是反映空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。一個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個方面刻畫和規(guī)定了這個概念，每個概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體。概念的內(nèi)涵嚴(yán)格確定了概念的外延，反之，概念的外延也完全確定了概念的內(nèi)涵[12]。因此，概念之間是彼此互相區(qū)別、界限分明的，不容混淆,更不容互換。這就在客觀上明確要求數(shù)學(xué)概念的教材編寫應(yīng)重視和加強(qiáng)對概念界定嚴(yán)謹(jǐn)性的研究與分析，并且在數(shù)學(xué)教材的概念界定及其遣詞用句中，應(yīng)力求基于學(xué)生力所能及基礎(chǔ)上的嚴(yán)謹(jǐn)，力求準(zhǔn)確、簡潔、避免歧義。這不僅是助力師生對概念和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，助力教師提高概念教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)組織的質(zhì)效，而且也是助力學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展不可或缺的重要保障。