“銳角三角函數(shù)”問題易錯(cuò)點(diǎn)剖析

王磊

在求解銳角三角函數(shù)問題時(shí)，部分同學(xué)由于對(duì)銳角三角函數(shù)的定義理解不到位，或邊角關(guān)系對(duì)應(yīng)出錯(cuò)，或忽視正弦、余弦的取值范圍，或在非直角三角形中直接求解，或沒有分類討論等，而出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.下面對(duì)經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤加以剖析.

一、意義理解不清

例1若Rt△ABC的各邊都擴(kuò)大4倍，那么銳角A的正切值（ ）.

A.擴(kuò)大4倍

B.縮小為原來的1/4

C.不變

D.不確定

錯(cuò)解：選A.

剖析：銳角三角函數(shù)值等于直角三角形中相應(yīng)邊的比，因此銳角三角函數(shù)值與邊的長度無關(guān)，與角的大小有關(guān).邊長同時(shí)擴(kuò)大4倍，其比值不變，故應(yīng)選C.

二、邊角關(guān)系對(duì)應(yīng)出錯(cuò)

剖析：誤把AC當(dāng)成∠B的鄰邊，事實(shí)上，∠B的鄰邊是BC.本題應(yīng)根據(jù)勾股定理求得BC的長，再計(jì)算cosB的值，應(yīng)選A.

剖析：本題求銳角三角函數(shù)值，應(yīng)先判斷△ABC是不是直角三角形，由勾股定理的逆定理易知△ABC不是直角三角形，故需要構(gòu)造直角三角形.

剖析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦值等于銳角所對(duì)的直角邊長與斜邊長的比，而直角邊長肯定小于斜邊長，故O

五、錯(cuò)把坡度當(dāng)成傾斜角度

例5如圖1.某人沿著山坡AB從山腳下的點(diǎn)A走200 m后到達(dá)山頂上的點(diǎn)B，已知點(diǎn)B與山腳的垂直距離BC為100 m，則此山坡的坡度為____ .

錯(cuò)解：填30°.

剖析：坡度是坡角的正切值，有些同學(xué)沒有理解定義，誤以為坡度是傾斜角度.

正確答案：填√3/3

六、考慮問題不全面導(dǎo)致漏解

例6 Rt△ABC的兩條邊的長分別是12和16.求其最小角的正弦值.

錯(cuò)解：因?yàn)?2和16是直角三角形的兩邊長，所以斜邊長是20，所以最小角的正弦值是3/5，

剖析：已知條件中并沒有說明12和16是兩條直角邊的長，所以本題應(yīng)分類討論：（1）12和16是兩條直角邊的長.（2）12是直角邊的長，16是斜邊的長.錯(cuò)解忽視了第（2）種情況，

正確答案是3/5或√7/4.