培元固本：弄清數(shù)學(xué)抽象的基本內(nèi)涵

楊理想

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，數(shù)學(xué)抽象是第一要素，要對(duì)數(shù)學(xué)抽象培元固本，就必須真正弄清數(shù)學(xué)抽象的基本內(nèi)涵. 數(shù)學(xué)抽象的過程是認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界本質(zhì)的過程，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是以抽象的形式反映客觀世界. 數(shù)學(xué)抽象遠(yuǎn)不是將形象的物體轉(zhuǎn)換為形（或以數(shù)述形）那么簡(jiǎn)單，其背后有豐富的數(shù)學(xué)思想方法與思維活動(dòng)作為支撐.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)理解

在致力于培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的時(shí)候，教師需要思考一些根本的問題，如對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的六個(gè)要素是不是有準(zhǔn)確的理解. 一個(gè)基本的邏輯是，如果對(duì)核心素養(yǎng)要素理解不準(zhǔn)確，那數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)乃至于核心素養(yǎng)的培育，就是一句空話. 從這個(gè)角度來(lái)看，理解核心素養(yǎng)要素的過程，就是一個(gè)培元固本的過程. 在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，數(shù)學(xué)抽象是第一要素，而且在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)中，對(duì)數(shù)學(xué)抽象本來(lái)就有著高度的重視，但對(duì)于相當(dāng)多的一線教師而言，數(shù)學(xué)抽象并不是一個(gè)非常熟悉的概念，甚至很多時(shí)候只是經(jīng)驗(yàn)性的理解，甚至只是望文生義式的理解，顯然這樣的理解是不夠的，要對(duì)數(shù)學(xué)抽象培元固本，就必須真正弄清數(shù)學(xué)抽象的基本內(nèi)涵.

■核心素養(yǎng)培育需要怎樣的數(shù)學(xué)抽象理解

在核心素養(yǎng)的視角之下，理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，常常認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征且能夠適應(yīng)個(gè)人（學(xué)生）終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn). 而數(shù)學(xué)抽象位居六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，史寧中教授給出的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 顯然，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，本質(zhì)上是用自己的思維加工數(shù)學(xué)研究對(duì)象的過程，而數(shù)學(xué)研究對(duì)象又是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，所以理解數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵，其實(shí)就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提. 筆者在參考了相關(guān)理論文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵提出如下兩點(diǎn)理解：

第一，數(shù)學(xué)抽象的過程是認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界本質(zhì)的過程. “一切科學(xué)的抽象，都更深刻、更正確、更完整地反映著自然”（列寧語(yǔ)），在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)對(duì)象更多的是抽象之后的數(shù)與形，其中“數(shù)”又常常被用來(lái)描述“形”. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)習(xí)的對(duì)象是已經(jīng)抽象后的對(duì)象，因而學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)就感覺比較困難，但這樣的認(rèn)識(shí)確實(shí)容易讓學(xué)生陷入一種認(rèn)識(shí)誤區(qū)，即無(wú)法認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是建立在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)之上的，從而也就無(wú)法體驗(yàn)一個(gè)認(rèn)識(shí)世界本質(zhì)的過程.

第二，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是以抽象的形式反映客觀世界. 相比較于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)抽象所追求的是用抽象的結(jié)果反映客觀世界，而這樣一個(gè)過程，對(duì)于高中學(xué)生而言是相對(duì)陌生的，因?yàn)樵趹?yīng)試形態(tài)下，高中生所理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)并利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解題，這樣的過程自然不能反映數(shù)學(xué)抽象的過程，自然也不能反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì). 而在教學(xué)中承認(rèn)數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是以抽象的形式反映客觀世界，實(shí)際上還有另外一層含義，那就是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系是十分密切的，數(shù)學(xué)是反映現(xiàn)實(shí)世界的重要方式.

以上兩點(diǎn)理解，分別從過程與結(jié)果角度闡述了數(shù)學(xué)抽象的理解，雖然這樣的理解偏理論，而且顯得比較學(xué)術(shù)化，但筆者以為，要想超越經(jīng)驗(yàn)化的理解，就必須站在一定的理論高度，真正洞察數(shù)學(xué)抽象所描述的現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)的關(guān)系. 而高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，顯然需要建立在這一認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上.

■數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要素的落地如何得到實(shí)現(xiàn)

在上述理解基礎(chǔ)之上，教師要思考的一個(gè)基本問題，自然就是數(shù)學(xué)抽象這一素養(yǎng)要素如何落地. 教師的任務(wù)是教學(xué)，很多時(shí)候教師的第一反應(yīng)就是教師通過自己的“教”去落實(shí)核心素養(yǎng). 但是有研究者指出：素養(yǎng)是無(wú)法教的！因此在一線教學(xué)實(shí)踐中教師該如何真正落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是每個(gè)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該思考的問題. 對(duì)這個(gè)觀點(diǎn)，筆者的認(rèn)識(shí)是這確實(shí)是一個(gè)問題，而素養(yǎng)尤其是核心素養(yǎng)作為學(xué)生成長(zhǎng)的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)，未必能夠在教師即時(shí)的課堂上“教”出來(lái)，但這并不意味著教師就應(yīng)該無(wú)所作為，相反，素養(yǎng)作為學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一種積淀，恰恰需要教師進(jìn)行有效的設(shè)計(jì)，這樣才能讓學(xué)生有所吸收，有所沉淀. 相應(yīng)的，也有研究者提出可從理解核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象概念、發(fā)掘核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵、在數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)階段中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力等角度來(lái)進(jìn)行. 可以來(lái)看一個(gè)例子：

在“圓與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中，站在學(xué)生的角度分析知識(shí)的建構(gòu)過程，可以發(fā)現(xiàn)教師如下選擇：直接基于邏輯去建構(gòu)圓與圓的位置關(guān)系，其主要的依據(jù)就是兩個(gè)圓的半徑之和（r1+r2），與兩個(gè)圓的圓心之間的距離d的關(guān)系. 由于這兩者關(guān)系之間的邏輯性，所以學(xué)生可以通過邏輯推理建構(gòu)出圓與圓的位置關(guān)系. 但教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在理解這一關(guān)系的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)障礙，而究其原因是學(xué)生大腦中的表象并不清晰，由于沒有一個(gè)形象的表象作為支撐，故學(xué)生思維加工的對(duì)象也就不會(huì)清晰，這自然會(huì)對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響. 為了幫學(xué)生建立這一表象，教師就可以為學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的學(xué)習(xí)過程. 考慮到高中學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，這個(gè)數(shù)學(xué)抽象的出發(fā)點(diǎn)不一定是生活中的圓，而可以是學(xué)生大腦中對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí).

筆者是這樣設(shè)計(jì)的：首先讓學(xué)生在草稿紙上任意畫出兩個(gè)圓，在此過程中教師巡查并且對(duì)學(xué)生的畫圖結(jié)果進(jìn)行分類，然后借助于現(xiàn)代教學(xué)手段進(jìn)行呈現(xiàn). 如果不出意外，學(xué)生畫得最多的是兩圓相離的情形，少有兩圓相交的情形，另外兩圓內(nèi)切或外切的情形則比較少見甚至沒有. 這個(gè)時(shí)候教師就可以進(jìn)一步提出問題：兩個(gè)圓除了已經(jīng)呈現(xiàn)出的位置關(guān)系之外，還有沒有其他的位置關(guān)系了？

根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)時(shí)候相當(dāng)一部分學(xué)生的第一反應(yīng)仍然是看自己在草稿紙上畫的圖，或者在草稿紙上再次進(jìn)行畫圖. 這一事實(shí)再次表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一知識(shí)的時(shí)候，仍然是需要表象作為支撐的. 而表象來(lái)自學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生畫圖，實(shí)際上就是讓學(xué)生將自己生活經(jīng)驗(yàn)中的與圓的位置有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)提取出來(lái)，這樣學(xué)生的大腦當(dāng)中就可以進(jìn)行一個(gè)比較純粹的數(shù)學(xué)抽象過程. 這個(gè)抽象不是將實(shí)物圓變成數(shù)學(xué)意義上的圓，而是將自己大腦當(dāng)中與圓的位置有關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，變成可以用“兩個(gè)圓的半徑之和與兩個(gè)圓的圓心之間的距離的關(guān)系”來(lái)描述的對(duì)象.

這一點(diǎn)在教學(xué)當(dāng)中不需要明確闡述，只要學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)抽象的過程即可. 事實(shí)證明，通過上述教學(xué)過程，學(xué)生大腦當(dāng)中可以清晰地建立起圓與圓的5種位置關(guān)系，而且他們會(huì)對(duì)這5種關(guān)系進(jìn)行排序，排序的依據(jù)就是“兩個(gè)圓的半徑之和與兩個(gè)圓的圓心之間的距離的關(guān)系”（由大至小，或者由小變大）. 這樣的教學(xué)過程歷時(shí)不到十分鐘，但是學(xué)生大腦中的圓與圓的5種位置關(guān)系及其表達(dá)卻變得非常清晰，這說明數(shù)學(xué)抽象的過程是有效的.

■作為科學(xué)方法與思維活動(dòng)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

分析上面這樣一個(gè)教學(xué)過程，可以發(fā)現(xiàn)在研究圓與圓的位置關(guān)系的時(shí)候，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的一面，也就是數(shù)學(xué)抽象所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)是描述世界本質(zhì)的. 同時(shí)在教學(xué)中還應(yīng)當(dāng)注意到，在數(shù)學(xué)學(xué)科的視野里，抽象還是形成概念及其規(guī)律的必要手段，而且抽象是人類認(rèn)識(shí)世界的一種科學(xué)方法和思維活動(dòng).

從科學(xué)方法與思維活動(dòng)的角度來(lái)理解數(shù)學(xué)抽象，其實(shí)也是符合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的界定的. 核心素養(yǎng)原本強(qiáng)調(diào)的就是必備品格與關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)抽象更多的指向關(guān)鍵能力. 能力是什么？能力不是一個(gè)空洞的概念，能力往往體現(xiàn)在人的學(xué)習(xí)與生活當(dāng)中，尤其是生活中的問題解決. 良好的問題解決，總是以科學(xué)方法與高效的思維活動(dòng)作為支撐的，當(dāng)數(shù)學(xué)運(yùn)用于生活的時(shí)候，當(dāng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題，尤其是生活問題的時(shí)候，學(xué)生要做的第一件事情就是將生活對(duì)象進(jìn)行抽象，以使其變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題. 而對(duì)生活對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，就必須建立在科學(xué)方法與思維活動(dòng)的基礎(chǔ)之上.

高中數(shù)學(xué)當(dāng)中有很多這樣的情形，例如平面解析幾何的學(xué)習(xí)，無(wú)論是研究直線與方程的關(guān)系，還是研究圓與方程的關(guān)系，又或者更細(xì)致一點(diǎn)“研究直線的斜率”，看起來(lái)是一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)，但是這一知識(shí)原本卻是誕生于生活中描述直線傾斜程度的需要——很多生活情形可以抽象為這一需要. 所以站在這個(gè)角度去理解數(shù)學(xué)抽象，就可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象遠(yuǎn)不是將形象的物體轉(zhuǎn)換為形（或以數(shù)述形）那么簡(jiǎn)單，其背后有豐富的數(shù)學(xué)思想方法與思維活動(dòng)作為支撐，認(rèn)識(shí)到這一事實(shí)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中往往可以設(shè)計(jì)出更加符合學(xué)生認(rèn)知需要與數(shù)學(xué)課程目標(biāo)需要的流程，從而為核心素養(yǎng)的落地提供可靠的保證.