載流子帶正負(fù)電時(shí)的安培力的起源及其霍爾效應(yīng)

周嘯峰

首先，由于許多讀者對于載流子為電子的常規(guī)情況有所誤解，所以先對其進(jìn)行解釋。

下面是幾種常見的解釋，但其中或多或少都存在一些問題：

1 通過碰撞來傳遞的解釋

由于導(dǎo)體中的電流是由自由電子的定向移動(dòng)形成的，在磁場中電子受到洛倫茲力作用而向側(cè)向漂移，與晶格上的正離子進(jìn)行碰撞，把力傳給導(dǎo)線，所以載流導(dǎo)線在磁場中也要受到磁力的作用，把這個(gè)力叫做安培力。

對于這種解釋有以下幾個(gè)比較矛盾的地方：首先，電子手洛倫茲力，而洛倫茲力并不能改變電子動(dòng)量的大小，所以也就無法給晶格提供動(dòng)量，并且由于并不是正碰，所以不就會有縱向的安培力，還應(yīng)該會有沿導(dǎo)線方向的安培力但是在實(shí)際中沿導(dǎo)線方向的安培力并不存在。其次，由于安培力是持續(xù)的那么碰撞也是持續(xù)的，這將導(dǎo)致晶格熱運(yùn)動(dòng)加劇，不斷產(chǎn)生焦耳熱，那么也就是說給分別處于磁場內(nèi)外的兩條相同的導(dǎo)線同意相同的電流，磁場內(nèi)的那條導(dǎo)線應(yīng)該產(chǎn)生更多的熱，然而實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程中并非如此。再者，當(dāng)產(chǎn)生的霍爾電場對電子的力與磁場對于電子的力相等時(shí)便不再會有離子的偏移，安培力就應(yīng)該不存在了，然而安培力是一直存在的。這幾點(diǎn)疑問說明給解釋并不完備。

2 經(jīng)典的導(dǎo)電理論解釋

金屬導(dǎo)體是由帶正點(diǎn)的原子實(shí)組成的晶格結(jié)構(gòu)，晶格之間有帶有負(fù)電的自由電子，同樣加上一個(gè)磁場之后，會產(chǎn)生霍爾效應(yīng)，進(jìn)而產(chǎn)生霍爾電場，電子在霍爾電場力與洛倫茲力的作用下會保持平衡，但是帶正電的晶格會因此受到一個(gè)霍爾電場的電場力，宏觀上表現(xiàn)為安培力。這種解釋方法看似十分可信，但其實(shí)也存在一定的問題，即帶正電的晶格所受的電場力為載流導(dǎo)體的內(nèi)力，不存在宏觀的表現(xiàn)。

3 載流子解釋

當(dāng)載流導(dǎo)體處在磁場中時(shí)，磁場以洛倫茲力作用于漂流運(yùn)動(dòng)的載流子，載流子以電流作用于分布在導(dǎo)體表面的電荷，這些電荷既受載流子的作用又受到晶格正離子的作用和力為零，而他們對正離子的作用力就表現(xiàn)為載流導(dǎo)體所受的安培力，即分布在導(dǎo)體表面的電荷對導(dǎo)體的作用。這種解釋方法對一些概念進(jìn)行了混淆，首先導(dǎo)體表面的但和不等價(jià)于載流子，因?yàn)橐徊糠衷趯?dǎo)體表面累計(jì)，另一部分仍然在導(dǎo)體內(nèi)部移動(dòng)，安培力應(yīng)等于全體載流子在洛倫茲力作用下的效果，且導(dǎo)體表面的載流子不只受這幾個(gè)力，還受到來自電源穩(wěn)恒驅(qū)動(dòng)電場的作用從而縱向運(yùn)動(dòng)，受到洛倫茲力。

分析了以上幾種常見的，但是并不完善的解釋，想必讀者一定十分困惑，下面就來對安培力產(chǎn)生的機(jī)理進(jìn)行一下討論：首先，安培力與洛倫茲力的區(qū)別很大，安培力為電流源受到的宏觀力，而洛倫茲力是帶電粒子受到的力。其次，我們還要認(rèn)清在本問題中的內(nèi)力和外力，我們可以這樣認(rèn)為，晶體中本來就存在將電子與正電子結(jié)合在一起的力場。安培力是電流源的所有組分所受的洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)。而我們研究的對象是電流元整體，電流源是一種宏觀極小微觀極大的物體，組成電流源的正負(fù)離子之間是存在著非常復(fù)雜的相互作用力的，形成一個(gè)非常復(fù)雜的電場，并不是只用一個(gè)洛倫茲力就能解釋清楚的，這個(gè)力場會使他們結(jié)合起來，并且使組成他們的電流元的電子和正離子的作用的洛倫茲力作用到電流元上，從而體現(xiàn)出安培力的作用。

下面在研究當(dāng)載流子為正離子的情況下的安培力的起源之前，由于我們已經(jīng)搞懂了當(dāng)載流子為負(fù)離子的情況下的原理現(xiàn)在我們需要先研究一下兩者之間的關(guān)系，看我們剛剛的討論結(jié)果是否能再次應(yīng)用。由于半導(dǎo)體既存在負(fù)電荷為載流子又存在正電荷為載流子，所以就以半導(dǎo)體的代表硅為例進(jìn)行解釋。每個(gè)硅原子有四個(gè)價(jià)電子，硅晶粒內(nèi)的每個(gè)硅原子都受到鄰近的4個(gè)硅原子的束縛，這個(gè)原子的每個(gè)價(jià)電子都與相鄰原子的價(jià)電子結(jié)合在一起組成一個(gè)共價(jià)鍵。雖然是價(jià)電子，但因受到本原子及4個(gè)相鄰的院子的原子實(shí)的作用所以并不自由。當(dāng)溫度較高時(shí)，或者有其他因素影響時(shí)，價(jià)電子的平均動(dòng)能較大，少數(shù)價(jià)電子可以掙脫共價(jià)鍵而成為自由電子，并使自己的原位置被騰空，這種共價(jià)鍵內(nèi)的空位稱為空穴?？昭ㄔ谕怆妶龅淖饔孟乱材苓\(yùn)動(dòng)，因而也能導(dǎo)電。其原理是：由于硅的禁帶較窄，電子只需要不多的能量就能從價(jià)帶激發(fā)到導(dǎo)帶，從而在價(jià)帶中留下空穴。周圍電子可以填補(bǔ)這個(gè)空穴，同時(shí)在原位置產(chǎn)生一個(gè)新的空穴，因此實(shí)際上電子的運(yùn)動(dòng)看起來就如同是空穴在反向移動(dòng)。所以空穴與電子一樣可被視為載流子，空穴導(dǎo)電其實(shí)是一系列共價(jià)鍵中的電子一個(gè)一個(gè)的填充空穴的運(yùn)動(dòng)。但這種只由熱激發(fā)的運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)電率較低。比如在+5價(jià)的元素磷。一個(gè)磷原子有5個(gè)價(jià)電子，其中四個(gè)與相鄰的4個(gè)硅原子結(jié)合成共價(jià)鍵，而第五個(gè)由于不受束縛很容易成為自由電子。雖然還有空穴也進(jìn)行導(dǎo)電，但是主流的還是電子，相反若加上+3j價(jià)的元素，就會空余一個(gè)空穴，導(dǎo)致空穴運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電，也就是我們所說的這點(diǎn)和導(dǎo)電，利用此原理還可制作二極管。

由此可知，表面上的正負(fù)電荷的載流子的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上都是電子的運(yùn)動(dòng)，所以其各方面受力都是與剛剛我們得出的結(jié)論相同，所以說載流子為正電荷時(shí)的安培力的起源也就清楚了。

既然我們已經(jīng)談到了載流子的正負(fù)等概念，下面就對正

負(fù)載流子對于霍爾效應(yīng)的影響再來進(jìn)行一下討論：首先，我們要明確，晶體內(nèi)的電子與晶格的原子實(shí)之間都會或多或少的存在相互作用力，即使是自由電子也不例外，所以在討論時(shí)要涉及內(nèi)部作用的影響。加速度是外力與內(nèi)部作用的綜合結(jié)果，但是也可以寫成表面上與之無關(guān)的牛頓第二定律的形式，只是質(zhì)量要改成有效質(zhì)量。對于空穴導(dǎo)電的情況，計(jì)算表明電子的有效質(zhì)量小于零，所以這樣我就可以把它看成一個(gè)質(zhì)量大于零，電荷大于零的離子的加速度，能帶論中把這種粒子稱為空穴，所以現(xiàn)在就可以很好的解釋正負(fù)電荷時(shí)的霍爾效應(yīng)了：

如果存在兩種載流子的情況，分別設(shè)其濃度為n和p，馳豫時(shí)間為τ_e和τ_h，質(zhì)量分別為m_e和m_h，則在高斯單位制下，空穴與電子的遷移率分別為：

若我們在x方向施加電場，在z方向施加磁場，則空穴與電子在y方向上引起的電場為。

當(dāng)穩(wěn)定的霍爾電場還沒有形成之前，在樣品的y方向所引起的總電流為：

在穩(wěn)定平衡的情況下，橫向霍爾電場E_y將阻止載流子沿y方向的偏轉(zhuǎn)，載流子不受y方向的里的作用，從而使y方向的電流為零。所以E_y應(yīng)該滿足：

解得霍爾電場為：

且x方向的電流為：

則我們可以得到，當(dāng)有兩種載流子濃度的時(shí)候，系統(tǒng)的霍爾系數(shù)為：

（作者單位：北京師范大學(xué)）