二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題

夏滿(mǎn)

【摘要】初中數(shù)學(xué)知識(shí)可以分為兩大類(lèi)：一類(lèi)為代數(shù)，其中代表知識(shí)為函數(shù);另一類(lèi)為幾何，其中三角形是初中階段學(xué)習(xí)的基本圖形之一.函數(shù)問(wèn)題與三角形的結(jié)合是常見(jiàn)的問(wèn)題，主要考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)及三角形的基本性質(zhì)是否熟練掌握，屬于綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);等腰三角形的性質(zhì);等腰三角形的畫(huà)法

一、等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性

如圖1所示，△ABC是以AB為底邊的等腰三角形.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，可得到以下重要性質(zhì)：

（1）CD所在的直線(xiàn)是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn);

（2）點(diǎn)D為線(xiàn)段AB的中點(diǎn).

二、畫(huà)等腰三角形

如圖2所示，已知平面內(nèi)有一條線(xiàn)段AB，請(qǐng)?jiān)谄矫鎯?nèi)找一點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形.

解 （1）若三角形是以AB為腰的等腰三角形，如圖3所示，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，則該圓上所有點(diǎn)（除與直線(xiàn)AB共線(xiàn)時(shí)的點(diǎn)外）均可以與線(xiàn)段AB構(gòu)成以AB為腰的等腰三角形，如△ABC1，△ABC2.

（2）若三角形是以AB為底邊的等腰三角形，如圖3所示，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，兩圓的交點(diǎn)分別記為點(diǎn)M、點(diǎn)N，連接MN，則該直線(xiàn)上所有的點(diǎn)（除與直線(xiàn)AB共線(xiàn)時(shí)的點(diǎn)外）均可以與線(xiàn)段AB構(gòu)成以AB為底邊的等腰三角形，如△ABC3.

（3）特別的，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M（或點(diǎn)N）重合時(shí)，此時(shí)△ABC為等邊三角形.

三、典例賞析

如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖像交坐標(biāo)軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點(diǎn).

（1）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是以BC為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)H，使△HBC是以BC為腰的等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 （1）方法一：已知△PBC是以BC為底邊的等腰三角形，B（4，0），C（0，-4），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線(xiàn)段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），過(guò)中點(diǎn)作BC的垂線(xiàn)，該垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

方法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a2-3a-4），利用兩點(diǎn)間的距離公式表示線(xiàn)段PB，PC，由PB=PC列出等量關(guān)系式，求出P點(diǎn)坐標(biāo).

（2）連接BC，分別以B，C為圓心、BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，該圓與x軸的交點(diǎn)即為所求的H點(diǎn).利用兩點(diǎn)間的距離公式可表示出線(xiàn)段BH，HC的長(zhǎng)，依據(jù)BH=HC列出等量關(guān)系式再求解（或借助圓與等腰三角形的對(duì)稱(chēng)性求解）.

解

（1）方法一：如圖5所示，∵B（4，0），C（0，-4），∴線(xiàn)段BC的中點(diǎn)H（2，-2）.

【參考文獻(xiàn)】

陳汝作，錢(qián)耀邦.初中數(shù)學(xué)解題技巧[M].上海：東方出版中心，1998.