高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用分析

曹艷

【摘要】數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答中，數(shù)和形是密不可分的，同時(shí)它們也是抽象與直觀的具體展現(xiàn).高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)與形是兩個(gè)最基礎(chǔ)的概念，高中數(shù)學(xué)知識(shí)也是緊緊圍繞這兩個(gè)概念進(jìn)行拓展的.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想不但可以有效提升學(xué)生的理解能力，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).鑒于此，本文首先闡述了高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的不足之處，并論述了該種思想在解題中的具體應(yīng)用，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中;數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合

引 言

當(dāng)前，高中教師在講解相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，大多數(shù)只是對(duì)題目中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行講解，而忽略了相應(yīng)解題方法的傳授過(guò)程.事實(shí)上，學(xué)生在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答中能夠體會(huì)到相應(yīng)習(xí)題的解題方法，這也是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要目標(biāo).而數(shù)形結(jié)合是利用圖像實(shí)現(xiàn)數(shù)與圖形之間的轉(zhuǎn)換，它能夠使問(wèn)題變得更加直觀.所以，高中數(shù)學(xué)習(xí)題解答中，教師要大力講解此種方法的應(yīng)用，幫助學(xué)生更好地解答相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.高中是學(xué)生學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)過(guò)程中至關(guān)重要的轉(zhuǎn)折階段，在這一時(shí)期，學(xué)生的學(xué)業(yè)壓力較重，學(xué)習(xí)難度較大，在數(shù)學(xué)解題中會(huì)遇到很多難題，這些難題教師必須幫助其解決，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，幫助學(xué)生放松身心，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和解題準(zhǔn)確度.

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中存在的問(wèn)題

（一）數(shù)學(xué)教學(xué)思維比較淺顯

高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種很好的解題方法，然而學(xué)生對(duì)其的理解不夠深入，與此同時(shí)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也存在教學(xué)思維較為膚淺的情況，這造成學(xué)生在解決一些較為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)感到束手無(wú)策.正因如此，學(xué)生解答一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通常只是結(jié)合題目中給出的條件，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)它們的良好轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致學(xué)生探索問(wèn)題能力的不足，數(shù)學(xué)能力得不到良好的提升.此外，一些學(xué)生不具備良好的抽象思維，只會(huì)解答部分淺顯易懂的問(wèn)題，在面對(duì)那些較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，通常不得其法，無(wú)法抓住問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

（二）學(xué)生數(shù)學(xué)思維的差異性

每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，這樣他們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)習(xí)題的過(guò)程中思維也會(huì)有所不同，并且每個(gè)學(xué)生的思維方式也存在一定差異，這導(dǎo)致解答相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，其認(rèn)識(shí)的程度和理解的深度會(huì)存在一定差異.另外，一些學(xué)生在解答數(shù)學(xué)習(xí)題的過(guò)程中沒有充分發(fā)掘題目中的隱藏條件，給解答帶來(lái)一定阻礙.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值

（一）有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念

高中數(shù)學(xué)知識(shí)涵蓋很多數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定義，高中數(shù)學(xué)與初中和小學(xué)數(shù)學(xué)相比，具有較大的學(xué)習(xí)難度，抽象化的數(shù)學(xué)概念逐漸增加，有一些可能會(huì)超出學(xué)生的理解能力和接受范圍.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，有利于幫助學(xué)生理解抽象化的數(shù)學(xué)概念，將抽象化的數(shù)學(xué)概念以另一種學(xué)生能夠輕松理解的形式進(jìn)行呈現(xiàn)，這不僅可以有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，還能在降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念難度的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信，端正學(xué)生的學(xué)習(xí)心態(tài).通過(guò)數(shù)形結(jié)合還能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，提高學(xué)生的聯(lián)想力，不斷促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升.

（二）有利于幫助學(xué)生學(xué)習(xí)更多的解題方法

對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，他們面臨的學(xué)業(yè)壓力比較重，同時(shí)要為高考做準(zhǔn)備，因此時(shí)時(shí)刻刻都不能放松，為此教師一定要幫助學(xué)生減輕學(xué)業(yè)壓力，提高學(xué)習(xí)效率，而引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用更加有效地方式來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是一個(gè)有效的途徑.數(shù)形結(jié)合思想是一種經(jīng)常會(huì)使用的解題方式，學(xué)生如果能夠扎實(shí)地掌握這一思想和方法，并且能夠?qū)⑵潇`活地應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)效率會(huì)有很大幅度的提升.教師通過(guò)教學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生掌握更加有效的解題方法，不斷推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)水平與解題能力的進(jìn)步，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合思想在方程式中的應(yīng)用

在對(duì)一元二次方程根的情況進(jìn)行研究的過(guò)程中，我們通常會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖像.如二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），我們?cè)趯?duì)方程ax2+bx+c=0求根時(shí)，也就是令y=0，實(shí)際上就是函數(shù)的縱坐標(biāo)為0，求其與x軸的交點(diǎn)，這樣問(wèn)題便得到一定轉(zhuǎn)化，能夠得到很好的解決.例如下面這道例題，“已知方程x2+4mx+6m=0，它的兩個(gè)根在區(qū)間（-1，3）中，求m的取值范圍.”在解答這道習(xí)題的過(guò)程中，我們就可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.假定f（x）=x2+4mx+6m，這樣便實(shí)現(xiàn)了方程到函數(shù)的轉(zhuǎn)化過(guò)程.我們可以根據(jù)題目中的要求畫出該二次函數(shù)的簡(jiǎn)圖，如圖1所示.

方程x2+4mx+6m=0的兩個(gè)根在區(qū)間（-1，3）中，實(shí)際上就是f（x）=0時(shí)，二次函數(shù)與x軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間（-1，3）之間.借助于這個(gè)圖像，我們能夠得知，要想使題目中的條件得以成立，必須同時(shí)滿足f（-1）>0，f（3）>0，f? -b[]2a =f（-2m）<0.將這幾個(gè)不等式聯(lián)立，最終得到答案- 1[]2 3[]2 .

（二）數(shù)形結(jié)合思想在集合問(wèn)題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中包含眾多知識(shí)點(diǎn)，集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列……其中集合是其他函數(shù)的基礎(chǔ)，只有學(xué)好集合，才能夠更加良好地進(jìn)行后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí).集合習(xí)題的解答中，因?yàn)橐恍﹩?wèn)題單純靠頭腦的想象存在一定困難，而利用圖形能夠使問(wèn)題變得更加直觀，所以數(shù)形結(jié)合思想也是集合問(wèn)題解答中經(jīng)常會(huì)用到的一種方法.

例如，“已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x<a+1}，a<1，且B∈A，求a的取值范圍.”首先2a<x<a+1，要想使其成立，就需要保證2a<a+1，由此得出a<1，而題目中也給出了a<1的已知條件，說(shuō)明集合B不是空集.我們又可以結(jié)合題意畫出相應(yīng)數(shù)軸，如圖2所示.

（三）數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

利用坐標(biāo)系可加強(qiáng)數(shù)和形之間的關(guān)聯(lián)性，實(shí)現(xiàn)從數(shù)到形的轉(zhuǎn)換，從而使問(wèn)題得到有效解決.例如，“已知x，y滿足方程 x2 16 + y2 25 =1，求y-3x的最小值和最大值是多少.”在這道習(xí)題的解答中，如果運(yùn)用普通的代數(shù)求解方法，問(wèn)題難以得到解決，而通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法能夠化繁為簡(jiǎn)，問(wèn)題得到良好解決.首先假定y-3x=a，可以得出y=3x+a，這樣原問(wèn)題便得到轉(zhuǎn)化，變?yōu)樵跈E圓 x2 16 + y2 25 =1上求取一點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)直線的斜率是3，求其在y軸上截距的最小值和最大值，這樣我們便可以畫出如圖3所示圖形.

從圖像中我們可以看出，在直線與橢圓相切時(shí)，截距最大或最小.于是我們可以聯(lián)立兩個(gè)方程式，得出169x2+96ax+16a2-400=0，再令根的判別式Δ=0，這樣可以得出a=±13，所以y-3x的最小值為-13，最大值為13.

（四）數(shù)形結(jié)合在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也是高考必考的知識(shí)點(diǎn)，函數(shù)中包含很多數(shù)學(xué)概念，函數(shù)的種類也有很多，比如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，而縱觀高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用題題型，函數(shù)應(yīng)用題是經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)典型題型.針對(duì)函數(shù)問(wèn)題的解題通常是要先建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，通過(guò)直角坐標(biāo)系分析已知條件之間的關(guān)系，然后在直角坐標(biāo)系中通過(guò)各種條件來(lái)繪制函數(shù)圖像，因此函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常能用到數(shù)形結(jié)合思想，這不僅是解題的關(guān)鍵步驟，通過(guò)圖像將比較抽象的函數(shù)關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)，能夠幫助學(xué)生提高解題效率.例如，“已知方程|x2-4x+3|-a=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的值.”針對(duì)這道函數(shù)題，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題，通過(guò)圖像分析方程根的不同情況.教師要先要求學(xué)生繪制出y=|x2-4x+3|的圖像，通過(guò)圖像來(lái)觀察交點(diǎn)，其交點(diǎn)就是方程的解，也是函數(shù)的值，這樣會(huì)大大降低學(xué)生的解題難度，同時(shí)可以增強(qiáng)學(xué)生的自信心.

（五）數(shù)形結(jié)合在提高算理能力中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生一定要對(duì)每一種算法的由來(lái)及原理的推理過(guò)程有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)和掌握，這樣才能改變死記硬背的記憶方式，加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)算法及數(shù)學(xué)原理的理解和記憶.學(xué)生如果真正掌握了一個(gè)數(shù)學(xué)算法的原理及推理過(guò)程，在應(yīng)用的過(guò)程中也能夠更加得心應(yīng)手，從而有效減少計(jì)算中因計(jì)算原理出現(xiàn)的錯(cuò)誤.教師不能只關(guān)注學(xué)生最后的計(jì)算結(jié)果，而應(yīng)該深入了解學(xué)生的計(jì)算過(guò)程，幫助學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中掌握良好的計(jì)算技巧，縮短學(xué)生的計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算的準(zhǔn)確率.為了達(dá)到這一教學(xué)目標(biāo)，教師就可以充分借助數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢(shì).

四、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的注意事項(xiàng)

對(duì)于數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師要將教材作為基本點(diǎn)進(jìn)行研究，深入挖掘教材，從而適當(dāng)融入數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，教師要將所有的應(yīng)用形式都立足于教材之上，且要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深入的研究和分析，尋找教材中能夠應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的契機(jī).并不是每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都能夠應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)，如果教師強(qiáng)硬地將數(shù)形結(jié)合思想融入不適當(dāng)?shù)牡胤?，很容易造成相反的效果，影響高中?shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.因此，教師要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行全面研究，多思考，多實(shí)踐，將理論與實(shí)踐相結(jié)合，在教學(xué)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，吸取教訓(xùn)，引導(dǎo)學(xué)生正確使用數(shù)形結(jié)合思想.

另一方面，教師針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要選擇合適的方式進(jìn)行滲透，也就是說(shuō)，要針對(duì)學(xué)生的接受能力、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等多方面進(jìn)行綜合性考慮，當(dāng)學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生一些不理解的問(wèn)題時(shí)，教師要將教學(xué)節(jié)奏放慢，采取靈活的教學(xué)形式讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方式，從而真正發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的教育價(jià)值，提高學(xué)生的解題能力.

綜上所述，我們可以看出，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠顯著提升教師的教學(xué)質(zhì)量與效果.然而，在實(shí)際應(yīng)用這種思想的過(guò)程中，因?yàn)橐恍┤藶橐约袄斫馍系牟蛔愕仍?，?dǎo)致該種思想的真正價(jià)值并沒有得以真正體現(xiàn).因此，作為一名教師，要肩負(fù)起重任，對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)與激勵(lì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中的錯(cuò)誤要及時(shí)予以糾正，保證學(xué)生在解答相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠良好地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，從而達(dá)到提升他們數(shù)學(xué)能力的重要目標(biāo).

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