基于NES-雙管隔振器耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

李世霖

(中國民航大學(xué) 航空工程學(xué)院,天津 300300)

阻尼器廣泛存在于土木工程、航空航天工程和汽車工程等不同領(lǐng)域。NARKHEDE等[1]研究了非線性流體黏滯阻尼器在半周期正弦沖擊激勵(lì)下的瞬態(tài)響應(yīng)，并進(jìn)一步研究了非線性阻尼和附加阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響。鄭璐等[2]綜述了三種非線性黏性阻尼器的研究進(jìn)展，即非線性能量匯(NES)、粒子沖擊阻尼器(PID)和非線性黏滯阻尼器(PTC),并對(duì)非線性剛度和非線性阻尼進(jìn)行了分類。方智偉等[3]研究了非線性能量匯(NES)與超磁致伸縮材料(GMM)相耦合的新模型，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了振動(dòng)控制和能量采集。徐兆東等[4]研究了一種阻尼性能更好的小變形、高承載的沖擊減振裝置，并對(duì)物料和空氣彈簧進(jìn)行了考慮和建模。為了實(shí)現(xiàn)在航空航天工程中的應(yīng)用，戴宏華等[5]建立了精確的生物激勵(lì)分離模型，分析了在地面和空間環(huán)境中的減振性能。PEPE等[6]提出了一種變分反饋控制器，并將其應(yīng)用于半主動(dòng)激波中，證明了其在突變處理上的優(yōu)良性能。張玉新等[7]研究了一種S型雙腔振幅敏感阻尼器，通過提供連續(xù)的阻尼力，系統(tǒng)可以平穩(wěn)地在低阻尼和高阻尼之間切換，為車輛的乘坐舒適性和行車安全性能提供了優(yōu)化設(shè)計(jì)。此外，NIE等[8]研制了一種與速度相關(guān)的阻尼器，可以獲得半主動(dòng)阻尼器的動(dòng)態(tài)性能，而且結(jié)構(gòu)更加簡單緊湊。

采用諧波平衡-弧長延拓法對(duì)NES-雙管隔振器耦合系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)分析。先建立一體化耦合系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程[3,9-10]，運(yùn)用諧波平衡-弧長延拓法研究系統(tǒng)在基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通過研究耦合系統(tǒng)和NES系統(tǒng)位移幅頻響應(yīng)的最值，結(jié)果表明耦合系統(tǒng)具有更好的減振性能。對(duì)比分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)時(shí)域和功率的影響，揭示各參數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并進(jìn)一步通過系統(tǒng)的能量傳遞關(guān)系，驗(yàn)證一體化耦合系統(tǒng)在能量吸收方面的優(yōu)良性能。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)工作原理如圖1所示[9]，雙管隔振器產(chǎn)生阻尼力的油液存在于三個(gè)不同的油室，即儲(chǔ)油室、增壓室和回彈室。兩個(gè)進(jìn)出油液的閥門分別安裝在活塞和靜態(tài)閥座上，分別稱作壓縮閥和回彈閥。在壓縮行程中，增壓室的壓力增大，然后打開壓縮閥和壓縮基閥，增壓室體積減小，在油液流經(jīng)壓縮閥和孔口時(shí)產(chǎn)生阻尼力。在油液流過壓縮閥和節(jié)流口時(shí)，開啟進(jìn)氣閥和壓縮基閥，增壓室體積減小，產(chǎn)生壓縮阻尼力。相似地在回彈行程中，回彈室的液壓升高，而負(fù)壓發(fā)生在增壓室。因此，回彈室和儲(chǔ)油室中的油，通過兩個(gè)回彈閥和回彈孔流入增壓室，產(chǎn)生回彈阻尼力。

圖1 工作原理

如圖2給出了NES-雙管隔振器耦合系統(tǒng)連接在一個(gè)線性主系統(tǒng)上的力學(xué)模型。由牛頓第二定律列出如下非線性控制方程[3]

(1)

其中:m1,k1和c1分別為單自由度衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼；m2,k2和c2分別為NES的質(zhì)量、非線性剛度和阻尼；x1為單自由度衛(wèi)星系統(tǒng)的位移，x2為NES系統(tǒng)的位移；FD為雙管隔振器提供的等效阻尼力[9]，cd為油液的等效阻尼。在發(fā)射階段衛(wèi)星所受到的位移激勵(lì)x0作用在基座上，可以表示為：

x0(t)=Asin(2πfi)

(2)

其中A為基礎(chǔ)位移幅值，f是激勵(lì)頻率。

圖2 系統(tǒng)模型

2 對(duì)比分析

由于整星隔振系統(tǒng)是強(qiáng)非線性激勵(lì)系統(tǒng),通過諧波平衡法對(duì)方程(1)進(jìn)行近似求解,假設(shè)方程(1)的諧波解滿足如下形式：

x1(t)=a11cos(ωt)+b11sin(ωt)+a31cos(3ωt)+b31sin(3ωt)x2(t)=a12cos(ωt)+b12sin(ωt)+a32cos(3ωt)+b32sin(3ωt)

(3)

其中a和b表示一階、三階傅里葉系數(shù)(i=1,3;j=1,2)。將方程(2) (3)代入方程(1)，借助mathematica的符號(hào)推導(dǎo)功能，對(duì)代數(shù)方程組進(jìn)行推導(dǎo)和簡化得到cos(ωt),sin(ωt),cos(3ωt)和sin(3ωt)系數(shù)分別相等的8個(gè)代數(shù)方程式。在給定的激勵(lì)頻率下，通過牛頓迭代法和弧長延拓法進(jìn)一步求解方程，最終可以求得控制方程的解。

根據(jù)文獻(xiàn)[3][9][10]選取如表1所示的系統(tǒng)參數(shù)，并將相關(guān)參數(shù)代入整星隔振控制方程，研究耦合系統(tǒng)在振動(dòng)抑制和能量傳遞方面的性能。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

圖3為通過諧波平衡-弧長延拓法與四階龍格庫塔法分別求解系統(tǒng)幅頻響應(yīng)得到的結(jié)果對(duì)比圖，研究表明解析解和數(shù)值解高度重合，證明了研究方法的正確性。

圖3 解析解與數(shù)值解

圖4給出了雙管隔振器對(duì)耦合系統(tǒng)的位移幅值響應(yīng)的結(jié)果對(duì)比圖，NES-雙管隔振器耦合系統(tǒng)更好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)衛(wèi)星主系統(tǒng)的振動(dòng)抑制，并在固有頻率附近將整星系統(tǒng)位移降低到原來的35.2%，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的減振性能。

圖4 系統(tǒng)減振效果圖

3 參數(shù)分析

圖5為外激勵(lì)幅值A(chǔ)分別是0.0001，0.0002，0.0003m時(shí)與主系統(tǒng)位移幅值的結(jié)果對(duì)比圖。研究表明，系統(tǒng)位移隨外激勵(lì)的增大而增大，因此可以通過對(duì)比外激勵(lì)的幅值來研究主系統(tǒng)的減振性能。圖6給出了雙管隔振器等效阻尼cd分別為100,300和500 Ns/m 時(shí)與主系統(tǒng)位移幅值的結(jié)果對(duì)比圖。研究表明，系統(tǒng)位移隨著等效阻尼的增大而減小,因此選擇合適的等效阻尼參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)更好的系統(tǒng)減振。

圖5 外激勵(lì)與位移響應(yīng)

圖6 等效阻尼與位移響應(yīng)

雙管隔振器工作時(shí)的平均功耗為[9]

(4)

圖7為外激勵(lì)幅值A(chǔ)分別是0.0001，0.0002，0.0003 m 時(shí)與所需功率的結(jié)果對(duì)比圖。在相同頻率下，隨著外激勵(lì)幅值的增加平均功耗隨之增加，并在固有頻率處達(dá)到最大值。研究表明，隨著外激勵(lì)幅值的增大，需要消耗更多的能量來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)減振。圖8給出了雙管隔振器等效阻尼cd分別為100，300和500 Ns/m 時(shí)與所需功率的結(jié)果對(duì)比圖。在相同頻率下，平均功耗隨著等效阻尼的增加而減小，在固有頻率處減小的效果更明顯。因此，通過增加隔振器流體的壓強(qiáng)，可以提高系統(tǒng)等效阻尼的效果，進(jìn)而在相同功率下可以實(shí)現(xiàn)更好的系統(tǒng)減振性能。

圖7 外激勵(lì)與功率

圖8 等效阻尼與功率

4 能量關(guān)系

根據(jù)能量守恒原理，系統(tǒng)的總能量E(t)表示為[3]

E(t)=Tps(t)+Vps(t)+Wps(t)+TNES(t)+VNES(t)+WNES(t)+ED(t)

(5)

其中：TPS(t)和VPS(t)分別為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的動(dòng)能和勢(shì)能；WPS(t)為基礎(chǔ)阻尼的耗散能。TNES(t)和VNES(t)分別為NES系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能；WNES(t)為NES阻尼的能量耗散；ED(t)為雙管隔振器等效阻尼耗散能[9]。

各能量計(jì)算如下[3,11]：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

為了深入研究NES與雙管隔振器的內(nèi)部機(jī)理，對(duì)系統(tǒng)中輸入能量的分布進(jìn)行了初步的計(jì)算。當(dāng)系統(tǒng)受基礎(chǔ)位移激勵(lì)時(shí)，對(duì)整星隔振系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)能量計(jì)算，基礎(chǔ)系統(tǒng)吸收的能量占輸入總能量的百分比表示為

(12)

NES-雙管隔振器耦合系統(tǒng)吸收的能量占輸入總能量的百分比表示為

(13)

圖9給出了雙管隔振器等效阻尼cd分別為100，300和500Ns/m時(shí)與基礎(chǔ)能量吸收的結(jié)果對(duì)比圖，在固有頻率下基礎(chǔ)能量吸收率隨等效阻尼的增加而減小。研究表明，適當(dāng)增加系統(tǒng)的等效阻尼，基礎(chǔ)可以傳遞更多的外激勵(lì)能量。圖10給出了雙管隔振器等效阻尼cd分別為100，300和500Ns/m時(shí)與耦合系統(tǒng)能量吸收的結(jié)果對(duì)比圖。在固有頻率下，耦合系統(tǒng)能量吸收率隨著等效阻尼的增加而減小。研究表明，適當(dāng)增加等效阻尼的參數(shù)，耦合系統(tǒng)可以耗散更多機(jī)械能，為以后的科學(xué)研究提供了參考依據(jù)。

圖9 基礎(chǔ)能量吸收對(duì)比

圖10 耦合系統(tǒng)能量吸收對(duì)比

圖11給出了雙管隔振器對(duì)基礎(chǔ)系統(tǒng)能量吸收的結(jié)果對(duì)比圖。在基礎(chǔ)系統(tǒng)受到外激勵(lì)時(shí)，NES-雙管隔振器耦合系統(tǒng)比單一NES系統(tǒng)更好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)衛(wèi)星主系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)移，并在9s后提升了5.74%的能量傳遞效率，表明耦合系統(tǒng)具有更優(yōu)良的能量吸收性能。

圖11 有無隔振器對(duì)基礎(chǔ)能量吸收的影響

圖12相應(yīng)的給出了雙管隔振器對(duì)耦合系統(tǒng)能量吸收的結(jié)果對(duì)比圖。在基礎(chǔ)系統(tǒng)受到外激勵(lì)的9s時(shí)間內(nèi)耦合系統(tǒng)吸收了主系統(tǒng)能量的97.60%，NES系統(tǒng)吸收了主系統(tǒng)能量的91.86%，結(jié)果表明耦合系統(tǒng)的能量耗散率比單一NES系統(tǒng)提高約5.74%，再次證明耦合系統(tǒng)具有更優(yōu)良的能量吸收性能。

圖12 有無隔振器對(duì)耦合系統(tǒng)能量吸收的影響

5 結(jié)論

研究NES-雙管隔振器一體化耦合系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和能量耗散，通過諧波平衡-弧長延拓法和四階龍格庫塔法驗(yàn)證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，討論雙管隔振器對(duì)主系統(tǒng)位移幅值的影響，并進(jìn)一步對(duì)比分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)時(shí)域和功率的影響，研究耦合系統(tǒng)能量吸收的變化情況。得到以下結(jié)論：

(1) 諧波平衡-弧長延拓法的近似解與四階龍格庫塔的數(shù)值解高度一致，驗(yàn)證了分析方法的正確性。

(2) 對(duì)比分析主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，結(jié)果表明耦合系統(tǒng)比單一NES系統(tǒng)，具有更優(yōu)良的減振性能。

(3) 研究雙管隔振器對(duì)系統(tǒng)的能量吸收的影響，結(jié)果表明耦合系統(tǒng)的能量吸收率比單一NES系統(tǒng)提高約5.74%。