數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在解一元二次方程中的應(yīng)用

陳培明

【摘要】通常在學(xué)生解決一元二次方程的時(shí)候必須要求其重點(diǎn)分析方程的具體特征，然后靈活選擇解決方式。在其所有解決方式之中，公式法是通用方式，配方法是公式法的基礎(chǔ)，最直接的方式有開平方，而因式降次則是解決一些特殊方程最簡便的方法，對于這些方式來說都有一個(gè)共性，即轉(zhuǎn)化思想。基于此，本文就將重點(diǎn)對一元二次方程解決過程中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用策略進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想 ?一元二次方程 ?應(yīng)用策略

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）52-0051-02

引言

在數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中蘊(yùn)含有很多思想方法，其中轉(zhuǎn)化思想最為典型。從字面意思理解就是將未知問題轉(zhuǎn)化成為已有知識(shí)范圍中問題的一類思想方式。它在不斷轉(zhuǎn)化之下能夠?qū)⒃葟?fù)雜的、不規(guī)范的和不熟悉的內(nèi)容轉(zhuǎn)化成為熟悉的、規(guī)范的和簡單的問題。在教學(xué)過程中教師需要不斷訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，以此提升其思維能力及變通能力，實(shí)現(xiàn)觸類旁通。在解決一元二次方程時(shí)重點(diǎn)就是先進(jìn)行降次，將其轉(zhuǎn)化成學(xué)過的一元一次方程然后進(jìn)行解答。降次本質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化思想，以下就將重點(diǎn)對其應(yīng)用策略進(jìn)行分析。

一、轉(zhuǎn)化思想概述

轉(zhuǎn)化一般也被稱為化歸，在數(shù)學(xué)解題過程中比較常用，其思想實(shí)質(zhì)就是在簡單的、已有的、基本的和具體的知識(shí)基礎(chǔ)上，將未知轉(zhuǎn)化成已知，將復(fù)雜的簡單化，將非常規(guī)的常規(guī)化，將抽象的具體化，由此順利解決各種問題。在初中數(shù)學(xué)中該思想方法的應(yīng)用比較廣泛，是解決數(shù)學(xué)問題最重要的思想之一，包含了數(shù)學(xué)當(dāng)中特有的數(shù)、形、式的轉(zhuǎn)化。在數(shù)學(xué)解題過程當(dāng)中運(yùn)用該思想必須要解決三項(xiàng)問題，即為什么要進(jìn)行轉(zhuǎn)化、需要將其轉(zhuǎn)化成什么、以及怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

1.數(shù)和數(shù)之間的轉(zhuǎn)化

對于四則運(yùn)算來說，其之間是存在很大聯(lián)系的，其中減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，當(dāng)加數(shù)相等的時(shí)候，可以直接將加法轉(zhuǎn)換為乘法。因此在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候只要能夠把握住這一基本轉(zhuǎn)化思想，就能夠使很多數(shù)學(xué)問題迎刃而解。

2.形和形之間的轉(zhuǎn)化

在初中階段培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是非常重要的一項(xiàng)內(nèi)容，但這些對于學(xué)生而言，往往具有很大難度。因此教師在教學(xué)的時(shí)候通常還會(huì)將要學(xué)習(xí)的圖形轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)掌握的圖形，從而促進(jìn)學(xué)生理解和記憶，并找到正確的解題方法。

3.數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，直接將數(shù)轉(zhuǎn)化成圖形，能夠強(qiáng)化題目的直觀感，進(jìn)而減少計(jì)算過程和計(jì)算難度。數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，能夠把原先抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形相互結(jié)合在一起，由此提升學(xué)生思維的直觀性、形象性，從而使問題化難為易。

二、轉(zhuǎn)化思想在二元一次方程解題中的應(yīng)用

對于初中生而言，一元二次方程是其學(xué)習(xí)過程中相對比較棘手的模塊之一，所以教師在教學(xué)過程中將轉(zhuǎn)化思維有效融入進(jìn)去，能夠更好地幫助學(xué)生進(jìn)行理解和記憶。雖然傳統(tǒng)求根通式是萬能的，但是卻會(huì)給學(xué)生帶來巨大的計(jì)算量，不但需要消耗大量的時(shí)間，還會(huì)增加學(xué)生的壓力以及出錯(cuò)的概率，所以教師給學(xué)生傳授轉(zhuǎn)化思想極為必要。因此以下就將重點(diǎn)分析當(dāng)前在一元二次方程解題當(dāng)中比較常見的幾種轉(zhuǎn)化思想。

（一）因式分解

通常因式分解對于學(xué)生的要求都比較高，重點(diǎn)考查學(xué)生的技巧及觀察能力。在因式分解之中就重點(diǎn)用到了降次思想，實(shí)現(xiàn)以整劃歸。其具體步驟有四項(xiàng)：第一，先將等式右邊的所有項(xiàng)都移到左邊;第二，把左邊化解成十字相乘的形式;第三，確保每一個(gè)分解出來的因式都是0;第四，將兩個(gè)式子之中的x解出來[1]。在因式分解之中提公因式法相對比較簡單，也就是直接開平方，這是一種最直接的方式，其本質(zhì)就是把一元二次方程直接轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程。例如：2x2+3x=0，就可以分解成為x（2x+3）=0，得到x=0或2x+3=0，最后就能夠得到方程的解為0和。

在其因式分解之中，最難的就是十字相乘法，它主要就是運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想。十字相乘法就是運(yùn)用十字交叉線進(jìn)行分解：第一步，把常數(shù)系數(shù)及二次項(xiàng)系數(shù)都分解成兩個(gè)數(shù)的乘積;第二步，把四個(gè)數(shù)并排排列，使其相互交叉相乘;第三步，將相乘的數(shù)都加起來看其最終結(jié)果是否是一次項(xiàng)系數(shù)，如果不是就要把排列方法轉(zhuǎn)換成另外兩個(gè)數(shù)的乘積再繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算;但是是的話就可以直接將式子按照橫的方式去書寫，最終將答案求出來[2]。

（二）開平方與配方法

在具體教學(xué)過程中還可以要求學(xué)生運(yùn)用類比的方式將新知識(shí)和舊知識(shí)之間的聯(lián)系找出來，以此在這樣的類比過程中盡快掌握新的知識(shí)內(nèi)容。配方法的主要原理就是完全平方公式，即a2+b2±2ab=（a±b）2，該方式的主要步驟有五項(xiàng)：第一步，把原方程轉(zhuǎn)化成一般形式;第二步;給式子兩邊去除二次項(xiàng)系數(shù)，從而使其變成1，然后再把常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)移到方程的右邊;第三步，給方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;第四步，進(jìn)行配方，式子的右邊為常數(shù)，式子的左邊是完全平方式;第五步，開方進(jìn)行求解，并留意常數(shù)項(xiàng)的正負(fù)情況[3]。

一般這種方式的適用范圍主要為：倘若能夠把式子左邊在進(jìn)行變形之后轉(zhuǎn)化成平方的形式，右邊是一個(gè)比0大的常數(shù)，那么這時(shí)候就可以運(yùn)用這種方式進(jìn)行解題。主要類型有三種：①x2=a（a≥0）②（x+m）2=n（n≥0）③（mx+n）2=c（m≠0且c≥0）。這些都是運(yùn)用開方法去解答題目的通式，倘若能夠直接把原式轉(zhuǎn)化成這幾種，就可以有效提升解題效率。例如（x-5）2 ? ? ?-36=0，將其復(fù)原成一般式就是x2-10x-11=0，這樣一來就可以直接看到一次項(xiàng)系數(shù)及二次項(xiàng)系數(shù)能夠變成平方的形式，通常二次項(xiàng)系數(shù)是1的都能夠運(yùn)用開方的方式將其解答。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1，例如2x2-10x+25=0，就可以直接變形成（x-5）2=0，這樣就要求一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。從該方式的運(yùn)用之中能夠看出來，一方面它把方程形式直接開平方成所要求的形式，也就是對式子進(jìn)行了轉(zhuǎn)化;另一方面，它也實(shí)現(xiàn)了從未知到已知的轉(zhuǎn)化。這種方式要求學(xué)生必須要準(zhǔn)確看出來配方的形式，通過轉(zhuǎn)化直接將二次方程轉(zhuǎn)化成一次方程，對于提升計(jì)算能力和概括能力具有很大的優(yōu)勢。

（三）公式法

這種方式本質(zhì)上就是從配方法當(dāng)中得出的一種能夠適用所有一元二次方程的通用解法。這主要是因?yàn)榻鉀Q一元二次方程其基本思路就是從復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化，只要可以確定出方程的各項(xiàng)系數(shù)就能夠運(yùn)用方式將方程的根求出來。因此從這一點(diǎn)上也能夠看出來公式法的通用性。這種方式的出現(xiàn)能夠解決以上幾種方式存在的缺陷：第一，系數(shù)比較大，使用配方運(yùn)算相對來說比較煩瑣;第二，方程并無實(shí)數(shù)根要花費(fèi)大量的時(shí)間去進(jìn)行配方[4]。公式法的實(shí)質(zhì)與配方法是一樣的，即將一元二次方程降次成一個(gè)一元一次方程，然后再把答案算出來。運(yùn)用公式法的主要目的就是為了直接縮減配方過程，將固定的公式套入進(jìn)去。這一方式也重點(diǎn)體現(xiàn)出了轉(zhuǎn)化思想。

結(jié)束語

總的來說，對于初中生而言，一元二次方程是極難攻克的一項(xiàng)問題。從以上分析之中能夠發(fā)現(xiàn)，要想準(zhǔn)確解決該問題就必須要將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)比較容易的問題或者是已經(jīng)解決的問題，也就是必須要把新內(nèi)容轉(zhuǎn)化成舊內(nèi)容，將未知轉(zhuǎn)化成已知。因此教師在教學(xué)過程中就需要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以此給后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱文澤.例談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落實(shí)在課堂——以“一元二次方程的解法”為例[J].文理導(dǎo)航（中旬）， 2019（3）.

[2]陳兆宏.巧用數(shù)學(xué)思想方法解一道二元一次方程組試題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2018（18）.

[3]覃秋紅.化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[A].2018年“提升課堂教學(xué)有效性的途徑研究”研討會(huì)[C]. 2018.

[4]渠英.解決一元二次方程問題時(shí)常用的四種數(shù)學(xué)思想[J]. 初中生世界， 2014（39）：22-24.